Operational Research (OR) Hoorcollege (Week 7) R.B.J. Pijlgroms Hogeschool van Amsterdam Instituut voor Informatica & Elektrotechniek

Inhoud De tentamenstof Enkele voorbeelden van tentamenvragen Poissonverdeling Kendall-classificatie 2* M/M/1 systeem versus M/M/2-systeem

De Tentamenstof Beschrijvende statistiek Kansverdelingen Blad- steeldiagram, box plot, mediaan, kwartielen, modus, gemiddelden, variantie, spreidingsmaten,… Kansverdelingen Discrete: N-aselector, Bernoulli, binomiale, geometrische, logaritmische, Poisson Continue: uniforme, normale, negatief-exponentiële Wachtrijmodellen Kendall-notatie, Little’s results, M/M/1, M/M/s

Tentamenstof Geen formules uit het hoofd leren. Formules kunnen gebruiken. Formules worden gegeven, zie voor de wachtrijformules: het formuleblad.

Tentamenvraag (5 nov 1999) Poissonverdeling / Negatief exponentiële kansdichtheid Als je in het helpbestand van MS-Excel opzoekt: Poisson, dan krijg je de werkbladfunctie Poisson.verd() voorgeschoteld. Als je vervolgens op de hyperlink Zie ook: klikt dan krijg je alleen verwijzingen naar Expon.verd() Statistische functies Verklaar waarom de Poissonverdeling en de (negatief-)exponentiële kansdichtheid kennelijk zó veel met elkaar te maken hebben dat bij de één alleen naar de ander verwezen wordt?

Tentamenvraag (vervolg) Beide verdelingen zijn de twee keerzijden van één medaille. Toelichting: Neem waarden die getrokken zijn uit een neg. exp. verdeling en interpreteer deze (bijv.) als tijdsintervallen tussen aankomsten van opeenvolgende klanten bij een loket en zet deze intervallen aaneen-gesloten uit langs een tijdas (langs de as staan dan de tussenaankomsttijden). Kies nu een vast tijdsinterval, bijv. Van één uur en tel het aantal aankomsten voor elke achtereenvolgend uur. Deze aantallen per uur zijn dan Poisson-verdeeld.

Tentamenvraag (vervolg) Beide verdelingen zijn de twee keerzijden van één medaille. Toelichting: Neem waarden die getrokken zijn uit een neg. exp. verdeling en interpreteer deze (bijv.) als achtereenvolgende levensduren van gloeilampen in één bepaald verlichtingspunt Zet de tijdstippen van vervanging uit langs een tijdas. Kies nu een vast tijdsinterval, bijv. één jaar en tel het aantal lampen per jaar. Deze aantallen per jaar zijn dan Poisson-verdeeld.

Tentamenvraag (vervolg) De overeenkomst met een Poisson-verdeling wordt beter naarmate er meer aankomsten zijn (Wet van de grote aantallen). Zeg de tussenaankomsttijd is gemiddeld 15 s. Gemiddeld verwachten we dan 60x60/15 = 240 aankomsten per uur. De neg. exp. verdeling heeft dan parameter l = 1/15 sec-1 en de Poissonverdeling m = 4 aankomsten per minuut = 240 aankomsten per uur.

Tentamenvraag Bij een verbinding voor transport van digitale data gaat gemiddeld 1 bit per minuut verloren. Door foutcorrectie kan een overgezonden frame nog gecorrigeerd worden als er minder dan 3 bits verloren gegaan zijn. (minder dan 3 = 0, 1 of 2) Bereken de kans dat er in 3 minuten een goede overdracht is. Aanwijzing: De formule voor de kansen bij een Poissonverdeling is: P( X=k ) = e- µ µ k /k!

Tentamenvraag (vervolg) We beschouwen een tijdsperiode van 3 minuten. De parameter is dan m = 3 bit/3min. P(k=2)= exp(-3)*32/2! = 0,224042 P(k=1)= exp(-3)*31/1! = 0,149361 P(k=0)= exp(-3)*30/0! = 0,049787 Totaal: 0,423190 Dit is de kans op het verloren gaan van twee bits of minder.

Tentamenvraag (vervolg) Een andere verbinding is 60 keer zo snel, maar verliest 6 keer zoveel bits. Door de snelheid kan de correctie alleen gebeuren als er minder dan 2 bits verloren gegaan zijn. Als dezelfde hoeveelheid bits als in de vorige vraag overgebracht moet worden, bij welke verbinding heb je dan de grootste kans op goede overdracht van de data?

Tentamenvraag (vervolg) 3 min m=1 bit / 1min = 3bit / 3min maal 1/60 De data 0 0,59049 0,23730 0,03802 0,03125 0,02548 0,00098 0,00001 1 0,91854 0,63281 0,21350 0,18750 0,16350 0,01563 0,00046 2 0,99144 0,89648 0,53746 0,50000 0,46254 0,10352 0,00856 3 0,99954 0,98438 0,83650 0,81250 0,78650 0,36719 0,08146 4 0,99999 0,99902 0,97452 0,96875 0,96198 0,76270 0,40951 5 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 1,00000 0 0,59049 0,23730 0,03802 0,03125 0,02548 0,00098 0,00001 1 0,32805 0,39551 0,17548 0,15625 0,13802 0,01465 0,00045 2 0,07290 0,26367 0,32396 0,31250 0,29904 0,08789 0,00810 3 0,00810 0,08789 0,29904 0,31250 0,32396 0,26367 0,07290 4 0,00045 0,01465 0,13802 0,15625 0,17548 0,39551 0,32805 5 0,00001 0,00098 0,02548 0,03125 0,03802 0,23730 0,59049 (3/60) min = (1/20) min =0,05 min maal 6 m= 6 bit / min = 6* 0,05 bit / 0,05 min = 0,3 bit / 0,05 min

Tentamenvraag (vervolg) Dezelfde hoeveelheid data wordt verzonden in 3/60 = 1/20 = 0,05 minuut. Het verlies is gemiddeld 6 bit/min. De parameter m = 6*0,05 = 0,3 bit / (0,05min). P(k=1) = exp(-0,3)*(0,3)1/1! = 0,222245 P(k=0) = exp(-0,3)*(0,3)0/0! = 0,740818 Totaal: 0,963064 (Dit is de kans op het verloren gaan van geen of één bit.) De snellere verbinding geeft dus de grootste kans op een goede overdracht (ondanks het grotere verlies).

Tentamenvraag Wat is het verwachte aantal klanten in een single server-systeem, met negatief exponentieel verdeelde aankomst- en bedieningstijd, met een bezettingsgraad van 85% ? M/M/1  E(Nq) = l/(m-l) = r/(1-r) [r=l/m] E(Nq)=0,85/(1-0,85)=0,85/0,15=5,666…

Tentamenvraag Geef voor de volgende beschrijvingen de juiste Kendall-notatie; geef ook telkens de waarde van l en m. A) Een tankstation met 6 identieke benzine-pompen; bij het oprijden van het terrein kiest men voor een bepaalde pomp. Aankomst- en bedieningsproces zijn negatief-exponentieel verdeeld. Het terrein is groot genoeg om alle klanten te verwerken. Per uur komen gemiddeld 50 klanten zich melden; de gemiddelde duur van een bezoek is 5 minuten.

Tentamenvraag (vervolg) Antwoord A) M/M/6 (of 6 maal M/M/1 ??) l=50 uur -1 m=12 uur -1 r = l/(s.m) = 50/(6 . 12) = 50/72 = 0,6944 . . .

Tentamenvraag (vervolg) B) Een computernetwerk met 8 servers en 1250 terminals. De terminals doen elk gemiddeld 20 maal per uur een server-request, dat in gemiddeld één seconde wordt afgehandeld. Een terminal die een request heeft gedaan, staat te wachten op antwoord en er kan intussen niet op gewerkt worden. Aankomst- en bedieningenproces zijn Poisson-processen.

Tentamenvraag (vervolg) Antwoord B) M/M/8/1250/1250 l = 1250 . 20 = 25000 uur -1 m = 3600 uur -1 r = l/(8m) = 25000/(8 . 3600)=0,8680555

Tentamenvraag (M/M/2 versus 2*M/M/1) Laat met behulp van berekeningen zien dat een postkantoor met twee loketten beter met één centrale wachtrij kan worden ingericht, dan met twee 'aparte' loketten, ieder met hun eigen wachtrij. Ga bij de berekeningen uit van de volgende gegevens: Poisson aankomst- en bedieningsproces, gemiddeld 30 aankomsten per uur, gemiddeld 3 minuten per bediening. De ruimte om te wachten is groot genoeg en iedereen wordt in het postkantoor binnengelaten. (Gegevens: l=30 uur -1 ; E(Ts)=3 min; m = 20 uur -1 )

Tentamenvraag (vervolg) Hier staan twee modellen tegenover elkaar: Een M/M/2-model met centrale wachtrij en l = 30 [aankomsten/uur]. Een "2 maal M/M/1-model" met twee aparte rijen en l = 30 [aankomsten/uur] (hele systeem). In beide gevallen is m=20 [klanten/uur] (per server). Om de situaties te vergelijken zouden we bijv. de theoretische verwachtingen van de doorlooptijd E(Tq) kunnen berekenen.

Tentamenvraag (vervolg Schema van de berekeningen (zie het formuleblad) P0  E(Nw)  E(Tw)= (1/l) E(Nw) (Little’s result)  E(Tq)= E(Tw)+E(Ts)

Tentamenvraag (vervolg) M/M/2-model  formuleblad: r = l/(sm); hier: 30/(2*20)=3/4 Bereken eerst P0 1+3/2

Tentamenvraag (vervolg) De verwachting van het aantal wachtenden

Tentamenvraag (vervolg) De verwachting van de gemiddelde wachttijd E(Tw)=(1/l) E(Nw) = 1/30 . 27/14 = = 9/140 uur = 27/7 min = = 3,85… min.

Tentamenvraag (vervolg De verwachting van de gemiddelde verblijfstijd (= gemiddelde doorlooptijd). E(Tq) = E(Tw)+E(Ts) = 3,85…+3 =. = 6,85 min = 6 min 51 s.

Tentamenvraag (vervolg Nu het “2 maal M/M/1-model” Dit model levert dus een bijna twee- maal zo grote gemiddelde doorlooptijd. (om precies te zijn: 12/(48/7)=1,75. )

Variaties op een thema Queues with baulking Continental queueing When long queue customer chooses not to enter queue (with a certain probability) Continental queueing servers pick customer at random Post Office queues Several lines; servers enter and leave the system at random Last come, first served Group service (lift and bus queues) Student discipline Arriving customers jump the queue, joining it where a friend is standing