BiO-M Wiskundig Modelleren Hoorcollege 3 Kans- en wachtrijmodellen BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Onderwerpen Kansen Kansmodellen Wachtrijsystemen Aannames Verdelingen BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Kansen Relatieve frequentie “zweetkansen” Wiskundige modellen “weetkansen” Subjectieve schattingen “zwetskansen” BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Kansbepaling 1 Een schaamteloze fabrikant weet dat in een doos van 12 lampen die hij verkoopt aan een klant er 4 zitten die niet werken. De fabrikant wordt nerveus als de klant eist dat hij er drie uithaalt om te testen of ze het doen. Wat is de kans dat precies één van de drie het niet doet? BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

Antwoord kansbepaling 1 1e lamp 2e lamp 3e lamp 3 2 1 # kapot k g k g k g BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Kansbepaling 2 Wat is de kans dat in een gegeven groep van willekeurig gekozen personen er tenminste 2 op dezelfde dag van het jaar geboren zijn? BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

Antwoord kansbepaling 2 Stel de groep bestaat uit n personen P(tenminste 2 op zelfde dag jarig) = 1- P(niemand op zelfde dag jarig) = 1 n = 50  P(tenminste 2 op zelfde dag jarig) = 0,975 BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Kansmodellen Stochast: toevalsvariabele Discrete stochast  kansverdeling P(x = k)  0  P(x = k) = 1 Continue stochast  kansdichtheid f(x)  0, voor alle x BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Wachtrijsysteem grootte “Calling population” Wachtrij Service mechanisme Output wachtrijsysteem service-faciliteiten ... loketten aankomstproces gedrag Wachtrij-discipline bedieningsproces BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Kendalls notatie Aanduiding wachrijsysteem a/b/c a: verdeling aankomsttussentijden (aankomstproces) b: verdeling bedieningstijden (bedieningsproces) c: aantal loketten BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Aannames Oneindig grote “calling population” Aankomstproces: Poissonproces Gedrag geen weigering wachtrij niet weggaan voordat men geholpen is Wachrij-discipline: FIFO Bedieningsproces: negatief exponentieel 1 service-faciliteit, evt. meerdere loketten BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Poisson-proces Gebeurtenissen zijn onafhankelijk van elkaar Gemiddeld aantal gebeurtenissen per tijdseenheid is constant  = gemiddeld aantal gebeurtenissen BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

Negatief-exponentiële verdeling BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

Eigenschappen neg-exp verdeling Geen geheugen de resterende tijd tot de volgende gebeurtenis is altijd hetzelfde, ongeacht hoeveel tijd al verstreken is Relatie Poisson-proces indien gebeurtenissen volgens Poisson-proces gebeuren, dan zijn de tijden tussen de gebeurtenissen negatief-exponentieel verdeeld verwachte aantal gebeurtenissen per tijdseenheid is  BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

Beschouwde wachrijsystemen: M/M/k Aankomsten Poisson-proces gemiddeld  aankomsten per tijdseenheid tussen-aankomsttijden zijn neg-exp verdeeld (1/ ) Bediening neg-exp verdeeld gemiddelde bedieningstijd 1/ aantal bedieningen per tijdseenheid Poisson-verdeeld () k loketten BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

Toestanden van het systeem Transient state wachtrij-systeem is net opgestart toestand van het systeem is erg afhankelijk van hoeveel tijd er verstreken is formules zijn niet bruikbaar Steady state wachtrij-systeem functioneert al enige tijd toestand van het systeem is stabiel formules zijn bruikbaar BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002

BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002 Waarschuwingen Waag geen sprong in het duister Alleen volgens handleiding gebruiken Een menukaart is niet eetbaar Legaliseer polygamie Pygmalion BiO-M Wiskundig Modelleren 2001-2002