Inleiding Meten 8E020 8C120 College 15a Technische Universiteit Eindhoven

De Meetcyclus Control en/of Feedback Object Signaal Meting Analyse 8C120 College 15a De Meetcyclus Control en/of Feedback Object Signaal Meting Analyse Informatie Technische Universiteit Eindhoven

De Meetcyclus Transfer function Control en/of Feedback Object Signaal 8C120 College 15a De Meetcyclus Control en/of Feedback Object Signaal Meting Analyse Informatie Transfer function 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Transfer functions - overview 8C120 College 15a Transfer functions - overview In colleges 3 en 4 lag de focus op het beschrijven van een signaal in termen van sinussen en cosinussen met verschillende frequenties en fasen Het gedrag van een elektrisch circuit (meetsysteem) kan worden beschreven met een transfer function (overdrachtsfunctie) Transfer function is frequentie afhankelijk! 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Transfer fuctions - overview 8C120 College 15a Transfer fuctions - overview Inleiding complexe getallen Transfer functies van schakelingen met alleen weerstanden zijn onafhankelijk van de frequentie Transfer functies van schakelingen met condensatoren en/of spoelen zijn frequentie-afhankelijk Definitie: complex impedance Frequentie-afhankelijke transfer functie wordt beschreven m.b.v. complexe getallen 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Complex Numbers 8E020 Inleiding Meten 8C120 College 15a Technische Universiteit Eindhoven

Complex numbers ofwel j c b  a is de afstand tot de oorsprong 8C120 College 15a Complex numbers ofwel j a b c  is de afstand tot de oorsprong is de hoek van de vector met positieve x-as 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Complex numbers Uit de gegeven definities volgt en en College 6 8C120 College 15a Complex numbers Uit de gegeven definities volgt en en College 6 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

8C120 College 15a Complex numbers Technische Universiteit Eindhoven

Complex numbers Als dan In het algemeen: We moeten dus bewijzen: 8C120 College 15a Complex numbers Als dan In het algemeen: We moeten dus bewijzen: Bewijs: zelf doen Technische Universiteit Eindhoven

Transfer Functions 8E020 Inleiding Meten 8C120 College 15a Technische Universiteit Eindhoven

Vaak wordt ook admittance gebruikt: 8C120 College 15a Transfer functions Electrisch domein: effort = voltage U flow = current I Wet van Ohm: U = I × R, met R de impedance Vaak wordt ook admittance gebruikt: G = 1 / R 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

8C120 College 15a Transfer functions Voorbeeld: Spanningsverschil U1 (uitgang) over R2 kan worden beschreven in termen van spanningsverschil U0 (ingang) en weerstanden R1 en R2 R1 U0 U1 R2 + - 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

U0 U1 Transfer functions Transfer functie H wordt gedefinieerd door: 8C120 College 15a Transfer functions Transfer functie H wordt gedefinieerd door: H is dus een uitdrukking voor de ratio uitgang U1 / ingang U0 In dit voorbeeld: R1 U0 U1 R2 + - 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Transfer functions Voor dit voorbeeld geldt: 8C120 College 15a Transfer functions Voor dit voorbeeld geldt: H is makkelijk te berekenen H is een constante, onafhankelijk van de frequentie van ingang U0 Ad 1: Transfer functies voor schakelingen met veel weerstanden zijn moeilijker Ad 2: Transfer functies voor schakelingen met condensatoren en spoelen zijn wèl afhankelijk van de frequentie van U0 College 6 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

U1 U0 Transfer functions Voorbeeld: 8C120 College 15a Transfer functions Voorbeeld: Transfer functie H = U1/U0 is moeilijker te bepalen, maar het is niet onmogelijk (probeer dit zelf) R3 U0 U1 R1 R2 R4 R5 R6 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

8C120 College 15a Transfer functions Transfer functies voor schakelingen met condensatoren en spoelen zijn wèl afhankelijk van de frequentie van U0 Condensatoren en spoelen zijn “buffers”: Condensator (capaciteit) C: “buffer of displacement” Spoel (inductie) L: “buffer of impulse” Transfer functies van schakelingen zonder buffers zijn frequentie-onafhankelijk en kunnen niet fungeren als “filter” 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Transfer functions - frequency dependent 8C120 College 15a Transfer functions - frequency dependent Voorbeeld met condensator: Gedrag van een condensator (en een spoel) is afhankelijk van de frequentie Transfer functie H = U1/U0 is frequentie-afhankelijk U0 U1 R1 R2 C 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Transfer functions - frequency dependent 8C120 College 15a Transfer functions - frequency dependent Stel stroom I(t) door condensator is gegeven door: Bereken de spanning U(t) over de condensator: Technische Universiteit Eindhoven

Transfer functions - frequency dependent 8C120 College 15a Transfer functions - frequency dependent Als de stroom amplitude A heeft, dan heeft de spanning amplitude A/(ωC) Als de stroom een cosinus is, dan is de spanning een sinus Dus de spanning loopt ½π achter, ofwel de condensator introduceert een faseverschil van −½π tussen spanning en stroom 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Transfer functions - frequency dependent 8C120 College 15a Transfer functions - frequency dependent Omdat een condensator eigenlijk een integrator voor stroom is: blokgolf IC(t) levert zaagtand UC(t) Zaagtand UC(t) Blokgolf IC(t) Sinus UC(t) Sinus IC(t) 8E020 Inleiding Meten Tijd Technische Universiteit Eindhoven

Complex Impedance 8E020 Inleiding Meten 8C120 College 15a Technische Universiteit Eindhoven

8C120 College 15a Complex impedance Om dit gedrag met één formule te beschrijven introduceren we de term impedance Deze definitie is equivalent met de definitie van impedance Z voor een pure dissipator (weerstand R): Z = effort / flow (R = U / I) G = flow / effort (de admittance = 1/Z) 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

De ratio effort / flow moet echter twee aspecten beschrijven: 8C120 College 15a Complex impedance De ratio effort / flow moet echter twee aspecten beschrijven: Verandering in amplitude geϊntroduceerd door de condensator Verandering in fase geϊntroduceerd door de condensator Impedance Z beschrijft beide aspecten m.b.v. een complex getal 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Impedance Z is dus een complex getal: Z = a + bj zodanig dat 8C120 College 15a Complex impedance Impedance Z is dus een complex getal: Z = a + bj zodanig dat |Z| = |effort| / |flow| arg(Z) = phase shift effort vs flow 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Voor een condensator wordt de impedance gegeven door: 8C120 College 15a Complex impedance Voor een condensator wordt de impedance gegeven door: ZC = 1 / jωC De admittance van een condensator wordt gegeven door: GC = jωC 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

8C120 College 15a Complex impedance Controle van de definitie van een impedance voor een condensator m.b.v. een complex getal: Hieruit volgt: |effort| / |flow| = 1/ωC, dus Phase shift Δφ is gegeven door Δφ = arg(ZC) komt overeen met sheet 20 komt overeen met sheet 20 Technische Universiteit Eindhoven

8C120 College 15a Complex impedance Bij hoge frequentie, ω∞, gaat de impedance van een condensator naar nul. Bij hoge frequentie is de condensator dus een shortcut Hoogfrequente stroom door een condensator leidt dus niet tot een spanningsverschil Voor ω=0 geldt dat de impedance van een condensator oneindig is. Dus voor ω=0 zal er geen stroom lopen door de condensator (het circuit is “open” bij de condensator) 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Complex impedance Voor een spoel geldt: 8C120 College 15a Complex impedance Voor een spoel geldt: Als de stroom amplitude A heeft, dan heeft de spanning amplitude AωL Als de stroom een cosinus is, dan loopt de spanning ½π voor, ofwel de spoel introduceert een faseverschil van +½π 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Voor een spoel wordt de impedance gegeven door: 8C120 College 15a Complex impedance Voor een spoel wordt de impedance gegeven door: ZL = jωL De admittance voor een spoel wordt gegeven door: GL = 1 / jωL 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

8C120 College 15a Complex impedance Voor ω0 gaat de impedance van een spoel naar nul. Bij ω=0 is de spoel dus een shortcut Laagfrequente stroom door een spoel leidt dus niet tot een spanningsverschil Bij hoge frequentie, ω∞, geldt dat de impedance van een spoel oneindig is. Bij hoge frequentie zal er geen stroom lopen door de spoel (het circuit is “open” bij de spoel) 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Voor een dissipator (weerstand) wordt de impedance gegeven door: 8C120 College 15a Complex impedance Voor een dissipator (weerstand) wordt de impedance gegeven door: ZR = R De admittance voor een weerstand wordt gegeven door: GR = 1 / R 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

De impedance voor een weerstand is dus onafhankelijk van de frequentie 8C120 College 15a Complex impedance De impedance voor een weerstand is dus onafhankelijk van de frequentie Het gedrag van de weerstand is gelijk voor iedere frequentie College 6 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Working with complex impedances 8C120 College 15a Working with complex impedances 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Working with complex impedances 8C120 College 15a Working with complex impedances Notatie op basis van complexe getallen voor impedance heeft twee voordelen: Men kan rekenen met impedanties met de rekenregels voor complexe getallen Men kan rekenen met impedanties in electrische schakelingen zoals men kan rekenen met echte weerstanden 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Working with complex impedances 8C120 College 15a Working with complex impedances Voor N impedanties in serie geschakeld geldt: Voor N impedanties parallel geschakeld geldt: 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Working with complex impedances 8C120 College 15a Working with complex impedances De electrische schakeling van sheet 18 wordt nu: U0 U1 Z1= R1 Z2= R2 Zc=1/jC 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Frequency-dependent transfer functions 8C120 College 15a Frequency-dependent transfer functions 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Frequency-dependent transfer functions 8C120 College 15a Frequency-dependent transfer functions Beschouw Z2 en ZC als 2 parallel geschakelde impedanties Z2 en ZC kunnen worden vervangen door ZV: Deze schakeling is equivalent met de schakeling op sheet 13 waarbij R1 vervangen is door Z1 en R2 door ZV 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Frequency-dependent transfer functions 8C120 College 15a Frequency-dependent transfer functions Voor deze schakeling gelden dus ook equivalente formules (zie sheet 13): Z1 U0 U1 Zv + - 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Frequency-dependent transfer functions 8C120 College 15a Frequency-dependent transfer functions De transfer functie H(jω) wordt gevonden door Z1 en ZV in te vullen in de formule: Interpretatie van frequentie-afhankelijke transfer functies zal worden besproken in volgende colleges 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Frequency-dependent transfer functions 8C120 College 15a Frequency-dependent transfer functions Merk op dat H(jω) het quotiënt is van twee complexe getallen: Voor H(jω) gelden dezelfde rekenregels als voor complexe getallen (zie sheets 6-10) met 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Frequency-dependent transfer functions 8C120 College 15a Frequency-dependent transfer functions Voor H(jω) gelden dus ook de regels van sheet 8: en en 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven

Frequency-dependent transfer functions 8C120 College 15a Frequency-dependent transfer functions In het algemeen wordt de transfer functie van een electrische schakeling weergegeven met complexe getallen In het volgende college worden verschillende klassen van transfer functies besproken: low pass high pass band pass Ook wordt dan een grafische weergave voor transfer functies besproken: bode diagrams 8E020 Inleiding Meten Technische Universiteit Eindhoven