De Weibull verdeling Waloddi Weibull (1887-1979) Weibull: A Statistical Distribution Function of Wide Applicability Journal of Applied Mechanics (1951) Weibull: '' ... may sometimes render good service'' '' ... test it empirically and stick to it as long as none better has been found'' weibull verdeling.ppt

Voorbeelden Verdeling van: Kansmodel bruikbaar: Levensduren De tijd tot ... Gebruiksduur consumentenproduct tot vervanging door nieuw Temperatuur spoelwater Veel andere variabelen ( >0 ) Kansmodel bruikbaar: In bovenstaande gevallen Bij waarnemingen in de vorm 'is groter dan' Als het model past weibull verdeling.ppt

Levensduur verdeling x = tijd tot de 1e fout Uitvalkans F(t) = P(xt) Overlevingskans R(t) = P(x>t) weibull verdeling.ppt

Weibull verdelingen -(t/) F(t)= 1- e 2-parameters  = karakterstieke levensduur  = vormgetal  =1 : Negatief exponentiële verdeling  =2 : Rayleigh verdeling 3 <  < 3.6 : lijkt op Normale verdeling  =3.6 : gemiddelde is gelijk aan Mediaan weibull verdeling.ppt

Parameters schatten 2-parameter Weibull verdeling W(,) Grafische schattingen graf en graf Maximum Likelihood schattingen  en  de beste (statistische) eigenschappen basis voor betrouwbaarheidsuitspraken computerprogramma nodig: weibull-2par.xls Kleinste kwadraten schattingen ' en ' d.m.v. regressie van log t op loglog(1/F(t)) minder goed dan bovenstaande weibull verdeling.ppt

Weibull verdeeld? Probability plot waarschijnlijkheidspapier cumulatieve verdeling uitzetten tegen de variabele voor elke kansverdeling mogelijk meerdere mogelijkheden Weibull verdeling Normale verdeling rechte lijn? weibull verdeling.ppt

n=9 trekkingen uit W(,) x100% nr t 9 1 2 3 4 5 6 7 8 i nr ti F(ti) = 1 517 2 182 3 297 4 519 5 319 6 263 7 730 8 418 9 244 2 182 7.4% 9 244 18.1 6 263 28.7 3 297 39.4 5 319 50.0 8 418 60.6 1 517 71.3 4 519 81.9 7 730 92.6 weibull verdeling.ppt

Weibull probability plot (1) vertikaal: kans (n+0.4) x 100% (i-0.3) horizontaal: variabele t 1e punt: t=182, F(t)=7.4% rechte lijn? weibull verdeling.ppt

Weibull probability plot (2) t = tijd tot fout F(t) = P[ t < t ] F(t)= 1- e -(t/) graf = 450 graf = 2.4 Onder de 100: F(100) = 1 - exp[-(100/450)2.4] = 0.027 weibull verdeling.ppt

Voortgezette schorsingen (1) n=8 units in levensduurtest - 5 uitvallers { 1059, 1093, 1531, 2415, 3042 } - 3 schorsingen { 763, 1161, 2269 } ( 1 + n – rangnummer vorige uitvaltijd ) ( 1 + aantal units na schorsing nog in test )  r = F(ti) = nr. j tj */S 1 2 3 4 5 6 7 8 763 1059 1093 1161 1531 2269 2415 3042 S * r = toename rangnummer ri = rangnr. uitvaltijd (1+8-0) / (1+7) = 1.125 - (1+8-2.25) / (1+4) = 1.35 (1+8-3.60) / (1+2) = 1.80 r1 = 1.125 r2 = 1.125 + 1.125 = 2.25 r3 = 2.25 + 1.35 = 3.60 r4 = 3.60 + 1.80 = 5.40 r5 = 5.40 + 1.80 = 7.20 (ri-0.3)/(n+0.4) - 0.098 0.232 0.393 0.607 0.821 weibull verdeling.ppt

Voortgezette schorsingen (2) 5 uitvallers, dus 5 punten graf = 2390 graf = 2.4 weibull verdeling.ppt

Plot van frequentieverdeling temperatuur spoelwater label koud lauw handwarm warm heet f 2 5 7 t cum 2 7 12 14 21 i 1.5 5.0 10.0 13.5 18.0 F(t) 5.6 22.0 45.3 61.7 82.7 12 25 38 50 65 i = gem. rangnummer (n+0.4) x 100% (i-0.3) F(t) = weibull verdeling.ppt

Temperatuur Spoelwater (Weibull) F(t)= 1- e -(t/) t = temperatuur spoelwater graf = 50 graf = 2.0 Evt. normale verdeling: zie volgende blad weibull verdeling.ppt

Temperatuur spoelwater (normaal) 80 100 20 40 60 graf = 43 graf = (64-22)/2 = 21.0 Uit frequentieverdeling: f.t = 894 f.t2 = 45208 t = 42.6 s = 18.91 weibull verdeling.ppt