havo A 4.4 Centrum- en spreidingsmaten

Centrummaten gemiddelde het gemiddelde van een serie waarnemingsgetallen is de som van die getallen gedeeld door het aantal getallen mediaan eerst de waarnemingsgetallen naar grootte rangschikken bij oneven aantal getallen is de mediaan het middelste getal bij even aantal getallen is de mediaan het gemiddelde van de middelste twee getallen modus de modus is het waarnemingsgetal met de grootste frequentie

a gemiddelde = (3×2 + 4×4 + 5×6 + 6×5 + 7×4 + 8×4 + 9×3 + 10×2) : 30 opgave 27 (zonder GR) a gemiddelde = (3×2 + 4×4 + 5×6 + 6×5 + 7×4 + 8×4 + 9×3 + 10×2) : 30 gemiddelde = 6,3 30 getallen  15e en 16e getal 15e getal = 6 en 16e getal = 6 mediaan = ( 6 + 6 ) : 2 mediaan = 6 het cijfer 5 komt 6 keer voor modus = 5 b modus, mediaan, gemiddelde c totaal was 189 en het aantal ll. was 30 30 + 4 = 34 leerlingen 34 × 6,5 = 221 221 – 189 = 32 de vierde leerling  32 – (3 × 9) = 5 het cijfer 3 komt 2 keer voor cijfer frequentie 3 2 4 5 6 7 8 9 10

opgave 27 (met GR) a voer in lijst 1 = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 } en lijst 2 = { 2, 4, 6, 5, 4, 4, 3, 2 } optie 1-Var Stats L1,L2 (TI) of 1VAR (casio) gemiddelde = 6,3 mediaan = 6 modus = 5 b modus, mediaan, gemiddelde c totaal was 189 en het aantal ll. was 30 30 + 4 = 34 leerlingen 34 × 6,5 = 221 221 – 189 = 32 de vierde leerling  32 – (3 × 9) = 5

Voordelen en nadelen centrummaten voordeel nadeel modus snel op te schrijven, weinig rekenwerk de enige centrummaat die bij kwalitatieve gegevens te gebruiken is geeft weinig informatie is niet altijd aanwezig een kleine verandering kan een geheel andere modus opleveren mediaan niet gevoelig voor uitschieters weinig rekenwerk alleen de volgorde van de waarnemingsgetallen is van belang, niet de grootte van de waarnemingsgetallen gemiddelde alle gegevens worden gebruikt iedereen kent deze centrummaat gevoelig voor uitschieters

aantal branduren frequentie om het gemiddelde te berekenen moet je eerst de klassenmiddens berekenen de klasse met de grootste frequentie is de modale klasse opgave 31 a klassenmiddens zijn 1800, 2200, 2600, 3000 en 3400 voer in lijst1 { 1800,2200,2600,3000,3400 } en lijst2 { 85,75,63,58,19 } optie 1 Var-Stats L1,L2 of 1VAR gemiddelde ≈ 2401 uur b GR  mediaan = 2200 dus de mediaan ligt in de klasse 2000-< 2400 c de modale klasse is 1600-< 2000 d 300 waarnemingsgetallen  150e en 151e getal 150 – 85 = 65e getal en 151 – 85 = 66e getal in klasse 2000-< 2400 er zitten 75 getallen in deze klasse 2000 + (65,5 : 75) × 400 ≈ 2349, dat is dus meer dan 2200 aantal branduren frequentie 1600-<2000 85 2000-<2400 75 2400-<2800 63 2800-<3200 58 3200-<3600 19

Hoe teken je een boxplot? 1 bepaal de mediaan 2 bepaal het eerste kwartiel (mediaan van de “1e” helft) en het derde kwartiel (mediaan van de “2e” helft) 3 teken een getallenlijn en zet het kleinste en grootste waarnemingsgetal, de mediaan en de beide kwartielen boven de getallenlijn 4 teken de boxplot

voorbeeld de volgende score’s zijn gehaald bij een test 23 – 43 – 24 - 34 - 13 - 32 - 44 - 53 - 17 - 28 – 30 – 22 – 19 schrijf de getallen van klein naar groot op 13 – 17 – 19 – 22 – 23 – 24 – 28 – 30 – 32 – 34 – 43 – 44 – 53 teken een getallenlijn kleinste waarnemingsgetal = 13 grootste waarnemingsgetal = 53 mediaan = 28 1e kwartiel (Q1) = (19 + 22) : 2 = 20,5 3e kwartiel (Q3) = (34 + 43) : 2 = 37,5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 tussen 2 verticale streepjes altijd 25% van de waarnemingsgetallen in de box 50%

Boxplot mbv de grafische rekenmachine 1 frequentie tabel maken stat  edit  1  L1 (waarnemingsgetallen) L2 (frequentie’s) invullen 2 boxplot berekenen stat  calc  1  1 var stats L1,L2 (L1,+2  2nd  1,2) 3 boxplot tekenen 2nd  stat plot  1  on  type ‘5e’  graph

relatieve cumulatieve frequentie 100 ∙ De relatieve cumulatieve frequentiepolygoon kun je goed gebruiken om een boxplot te tekenen. 75 ∙ 50 ∙ 0%  kleinste getal = 3 25%  1e kwartiel (Q1) = 10 50%  mediaan = 13 75%  3e kwartiel (Q3) = 20 100%  grootste getal = 24 25 ∙ ∙ 3 5 10 10 13 15 20 20 24 25 boxplot 5 10 15 20 25

Spreidingsmaten vaak wordt naast een centrummaat een zogenaamde spreidingsmaat berekend om aan te geven hoever de data in een verdeling uitelkaar liggen spreidingsbreedte : verschil tussen het grootste en kleinste getal kwartielafstand : verschil tussen het 1e en 3e kwartiel (Q3 – Q1)

opgave 35 a bij elke klas is de mediaan 3 km. b nee, de mediaan is bij elke klas hetzelfde c in klas 4A zit 50% tussen 1 en 5 km in klas 4B zit 50% tussen 2 en 4 km d in klas 4A is de spreiding het grootst in klas 4C is de spreiding het kleinst

De standaardafwijking de meest gebruikte spreidingsmaat is de standaardafwijking om de standaardafwijking te berekenen moet je eerst van elk waarnemingsgetal berekenen hoe ver het van het gemiddelde afligt zo krijg je bij elk waarnemingsgetal x de deviatie d d = x – x ( de afwijking van het gemiddelde ) standaardafwijking σ = √gemiddelde van (x – x)2 het berekenen van σ doe je met (TI) 1-Var Stats L1,L2  σx of (Casio) 1VAR  xσn

opgave 43 gewicht 4,8 4,9 5,0 5,1 5,2 5,3 5,4 freq. 2 4 10 18 12 3 1 a voer in lijst 1 = {4.8,4.9,5.0,5.1,5.2,5.3,5.4} en lijst 2 = {2,4,10,18,12,3,1} optie 1-Var Stats L1,L2 of 1VAR geeft minX = 4,8 ; Q1 = 5 ; Med = 5,1 ; Q3 = 5,2 ; maxX = 5,4 mediaan = 5,1 kwartielafstand = Q3 – Q1 = 5,2 – 5 = 0,2 spreidingsbreedte = maxX – minX = 5,4 – 4,8 = 0,6 b schatting σ = 0,3  2σ = 0,6 2σ = spreidingsbreedte = 0,6  dat kan niet c GR  x ≈ 5,09 en σ ≈ 0,12 gemiddelde ≈ 5,09 kg en de standaardafwijking ≈ 0,12 kg

Notaties op de GR x : het gemiddelde σ : de standaardafwijking σx : de standaardafwijking (TI) xσn : de standaardafwijking (Casio) n : het totale aantal waarnemingen minX : het kleinste waarnemingsgetal maxX : het grootste waarnemingsgetal Q1 : het eerste kwartiel Q3 : het derde kwartiel Med : de mediaan (het tweede kwartiel)