samenvatting hoofdstuk 14 een harmonische trilling ontstaat door een kracht F=-kx dit resulteert in een sinusoide beweging: x(t)=Acos(wt+f) met bij demping: F=-kx-bv geldt x(t) = Ae-atcos wt de energie van een trillend deeltje: Evib = 1/2mv2 +1/2 kx2 = 1/2kA2 Energie in een molecuul: Etot= Etrans + Erot +Evib + Eelec

Hoofdstuk 15 Golven

In dit hoofstuk: wiskundige beschrijving en eigenschappen welke soorten golven zijn er? water touwtje/ veer geluid licht Schrödingervergelijking (quantum mechanica)

eigenschappen van golven ieder punt in een golf trilt om vast evenwichtspunt golven in zee verplaatsen geen water, het water gaat alleen maar op en neer.

eigenschappen van golven De golf verplaatst zich wel door het medium met de golfsnelheid Golven verplaatsen geen materiaal, wel energie!

eigenschappen van golven een golf ontstaat doordat er ergens een kracht op het medium wordt uitgeoefend

eigenschappen van golven als de kracht harmonisch is (een trilling) dan ontstaat er een sinusvormige golf met een snelheid v=lf

Er zij transversale en longitudinale golven

geluid is een longitudinale golf

luchtdichtheid heeft een sinusverloop

wat is de snelheid van een transversale golf. we bekijken een touw met spankracht Ft en drijvende kracht Fy golf is aangekomen bij punt A in tijd t beweegt golf vt naar rechts en touw v’t omhoog Fy/Ft=v’t/vt=v’/v voor kleine t: Dp=Fyt mv’=Ftv’/v t

wat is de snelheid van een transversale golf. mv’=Ftv’/v t mvt =Ft/v t m=mvt met m lineaire massadichtheid vergelijk met

=(1000/0.05)1/2 =140 m/s v=lf dus frequentie f= 140/0.3=470 Hz voorbeeld: een golf met golflengte 30 cm beweegt door een kabel met lengte 300 m en totale massa 15 kg. De spankracht in de kabel is 1000N. Bereken golfsnelheid en frequentie van de golf. =(1000/0.05)1/2 =140 m/s m=15/300=0.05kg/m v=lf dus frequentie f= 140/0.3=470 Hz

andere golven transversale golf in touw longitudinale golf vgeluid =340 m/s

water golven

hoeveel energie transporteert een golf? trillende deeltjes geven energie aan elkaar door trillingsenergie=1/2 k D2max met Dmax maximale uitwijking displacement

hoeveel energie transporteert een golf? voor een 3-D golf: m=rV =rAl =rAvt evenredig met D2

hoeveel energie transporteert een golf?

intensiteit van een sferische golf voorbeeld r2=2r1 wat is de verhouding I2/I1 I2/I1 = (P/4pr22) / (P/4pr21) = (r1/ r2)2

intensiteit van een sferische golf amplitude sferische golf

D(x,t)=Dmaxsin(2p/l (x-vt)) wiskundige beschrijving lineaire golf stel op t=0: D(x)= Dmaxsin(2p/l x) golf naar rechts met snelheid v na tijd t is de golf dus vt opgeschoven dus D(xi,0)=D(xi+vt,t) D(x,t)=Dmaxsin(2p/l (x-vt))

D(x,t)=Dmaxsin(2p/l (x-vt)) vormen van de golfvergelijking D(x,t)=Dmaxsin(2p/l (x-vt)) D(x,t)=Dmaxsin(2p(x/l – t/T)) D(x,t)=Dmaxsin(kx-wt) golfgetal k=2p/l hoekfrequentie w=2p/T

D(x,t)=Dmaxsin(2p/l (x+vt)) beschrijf deze golf D(x,t)=Dmaxsin(2p/l (x+vt)) D(x,t)=Dmaxsin(kx-wt+p/2) D(x,t)=Dmaxcos(kx-wt) fase van de golf is alles na de (co)sinus fase snelheid v= l/T=(2p/k)/(w/2p)=w/k

voorbeeld: een lopende golf f=250Hz; D=2.6cm; Fspan=140N, m=0.12kg/m op t=0: D=1.6 cm en gaat omlaag. bepaal de golflengte

k=2p/l=45m-1 w=2pf=1570s-1 voorbeeld: een lopende golf f=250Hz; Dmax=2.6cm; Fspan=140N, m=0.12kg/m op t=0,x=0: D=1.6 cm en gaat omlaag. Geef een vergelijking die de golf beschrijft k=2p/l=45m-1 w=2pf=1570s-1

De golfvergelijking afleiding voor lineaire golf maar resultaat algemeen geldig bekijk stukje touw dx aannames: dx beweegt vertikaal spankracht is overal en op alle tijden even groot

De golfvergelijking Newton: partieel want D = D(x,t)

De golfvergelijking eendimensionaal meerdimensionaal superpositiebeginsel: D3(x,t)= aD1(x,t)+bD2(x,t)

superpositiebeginsel: D3(x,t)= aD1(x,t)+bD2(x,t)

niet sinus golven kun je opgebouwd denken uit allerlei sinusen (Fourier theorie) bv blokgolf bestaat uit een som van sinussen

Reflectie en transmissie vast uiteinde: fase sprong p open uiteinde: fase sprong 0

Reflectie en transmissie

golffront en voortplantingsrichting van de golf sferische golf vlakke golf

Wet voor reflectie (spiegeling): hoek van inval=hoek van reflectie

vanwege superpositiebeginsel kunnen we golven bij elkaar optellen interferentie golven kunnen ongestoord door elkaar heen lopen

positieve of constructieve interferentie: faseverschil 0, 2p, .. negatieve of destructieve interferentie: faseverschil p, 3p, ..

in het algemeen partiele interferentie

staande golf een staande golf is opgebouwd uit interfererende heen en teruggaande golven die resulteren in een “stilstaande” golf maximale uitwijking: buikpunt minimale uitwijking = 0 knooppunt bij vaste uiteinden: l/2=L/n

staande golf en v=lf dus in een systeem met F=const.  v= const. hoort bij iedere golflengte een eigen frequentie de frequenties waarbij een staande golf ontstaat zijn de resonantie frequenties. a fundamentele of eerste harmonische frequentie b eerste boventoon of tweede harmonische frequentie c tweede tweede boventoon of derde harmonische frequentie f1 f2=2f1 f3=3f1

algemeen: fn=nf1 Een staande golf “staat stil. Ook vanuit energetisch standpunt: een staande golf transporteert geen energie

voorbeeld: pianosnaar, lengte1.1 m, massa 9 gram a wat is de spankracht als de fundamentele frequentie 131 Hz is. b wat zijn de eerste drie harmonische frequenties a fund. l=2L v=lf=2.2 131= 288 m/s F=µv2=0.009/1.1 2882 = 679 N f3=3f1=393Hz b f1=131 Hz f2=2f1=262Hz

D(x,t)=2Dmsin(kx)cos(wt)) wiskundige vorm van staande golf staande golf is som van twee lopende golven: D1(x,t)=Dmsin(kx-wt) D2(x,t)=Dmsin(kx+wt) D(x,t)=D1+D2=Dm(sin(kx-wt)+sin(kx+wt)) pag A3: sinA+sinB=2sin(1/2(A+B))cos(1/2(A-B)) D(x,t)=2Dmsin(kx)cos(wt)) voor vast uiteinde D(L,t)=2Dmsin(kL)cos(wt))=0 kL=0,p,2p,3p,.., k=2p/l l=2L/n zoals eerder gezien

voorbeeld twee lopende golven interfereren: D1(x,t)=0.2 sin(2x-4t) D2(x,t)=0.2 sin(2x+4t) a bepaal de vorm van de resulterende staande golf oplossing lopende golven zijn van vorm Asin (kx+/-wt) dus A=0.2, k=2 en w=4 staande golf D=2Asin kx cos wt = 0.4 sin2x cos 4t

voorbeeld twee lopende golven interfereren: D1(x,t)=0.2 sin(2x-4t) D2(x,t)=0.2 sin(2x+4t) staande golf D(x,t) = 0.4 sin2x cos 4t b bepaal de maximale amplitude voor x = 0.45 oplossing substitueer x=0.45 D(0.45,t) = 0.4 sin(2 0.45) cos 4t = 0.31 cos 4t dus maximale uitwijking bij 0.45 m is 31 cm

voorbeeld twee lopende golven interfereren: D1(x,t)=0.2 sin(2x-4t) D2(x,t)=0.2 sin(2x+4t) staande golf D(x,t) = 0.4 sin2x cos 4t c waar bevinden zich knooppunten voor x>0 oplossing voor knooppunt D(x,t)=0 voor alle t dus sin 2x = 0  x = 0, p/2,p,3/2p,..= 0, 1.57,3.14, …n 1.57 m dus voor een stabiele staande golf met vaste uiteinden zijn dit de mogelijke lengtes van het touw

voorbeeld twee lopende golven interfereren: D1(x,t)=0.2 sin(2x-4t) D2(x,t)=0.2 sin(2x+4t) staande golf D(x,t) = 0.4 sin2x cos 4t c waar bevinden zich buikpunten voor x>0 en wat is de maximale uitwijking oplossing buikpunten zitten halverwege de knoop punten of sin 2x = +/-1  x = p/4, 3/4p,.., p/4 +n/2 p,.. de maximale uitwijking is de amplitude van de golf 0.4 m

breking van golven (refraction) voor licht: wet van Snel nisin qi = nrsin qr algemeen: 1/vi sin qi = 1/vr sin qr

buiging van golven (diffraction) golven buigen om een object heen als object kleiner is dan golflengte is er nauwelijks schaduw hoe groter object hoe meer shaduw

buiging van golven (diffraction) een ruwe schatting voor de buiging is q=l/L l<<L geen buiging perfecte schaduw

samenvatting trillingen zijn bron van golven met v=lf harmonische golf is oplossing van een naar rechts lopende golf is bv D(x,t)= A sin (kx-wt) met golfgetal k = 2p/l en hoekfrequentie w=2pf vanwege superpositiebeginsel kunnen golven interfereren en ontstaan staande golven bij een verandering van medium kunnen golven reflecteren, en breken (refraction). Aan een rand (of als een golf door een gat gaat) onstaat buiging