Waarom is het weer zo moeilijk te voorspellen? wo do vr za zo ma Antwoord: omdat de wereld niet lineair is ……. Reis naar de wereld van chaos, turbulentie en vreemde ordening

20e eeuw: 3 grote revoluties relativiteitstheorie van Einstein quantum mechanica Albert Einstein Henri Poincare (1854-1912) wiskundige Edward Lorenz (1917 - ) meteoroloog (MIT) chaos theorie Niels Bohr

Newton’s theorie van zwaartekracht 2 deeltjes: geen probleem, deeltjes bewegen in ellipsvormige baan in een plat vlak Henri Poincare 3 deeltjes: moeilijk, banen blijken ‘wild’ geen simpele oplossing

~1960: versimpelde modelen voor het weer computer berekeningen als na een berekening, een nieuwe – halverwege de oude – wordt gestart, wijken de antwoorden na verloop van tijd af!!! t T Edward Lorenz

t T oorzaak: Lorenz liet de computer rekenen met 6 cijfers achter de komma de computer bewaarde gegevens met 3 cijfers achter de komma kleine verschillen, grote gevolgen: chaos Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas? 1972, lezing door Lorenz:

chaos  niet-lineair  beperkte voorspelbaarheid ‘overal’, zelfs in heel simpele systemen niet: onvoorspelbaar!!! voorbeeld: biologie: aantal beesten in een populatie stel in jaar k: Nk beesten in een jaar netto effect geboorte en sterfte gemiddeld per individue a beesten er bij

jaar k jaar k+1 simpel: =1 <1 >1 r uitsterven explosieve groei constante populatie groeifactor Nk k 1.1 0.9 1

explosieve groei: r>1 1M kan niet zo blijven: bv. voedsel te kort! Nk rem op ontwikkeling: als Nk  Nmax, dan afname k als Nk<<Nmax dan merk je niks

fractie van maximale bevolking 0  xk  1 niet lineair!!!

x2 0.8x(1-x) x2 r=0.8 start x1 x

xk+1 y=x x2 x2 start x1 xk

xk+1 uitsterven xk

r = 0.8 < 1

r = 1.6 > 1

r = 2.8 > 1

r = 3.08 > 1 periode 2

‘eindwaarde van populatie’ (na lange tijd) 2 r=1 r=3 wat gebeurt er bij hogere r-waarden?

r = 3.52 > 1 periode 4

r = 3.68 > 1 periode ?

period doubling xe r xe r r1 = 3.0…. 2 r2 = 3.449… 4 r3 = 3.5440... 8 16 r5 = 3.5687.. 32 …. … r = 3.569946..  r xe r

verbazingwekkend: simpel systeem vertoont zeer ingewikkeld gedrag formule laat niks niks te raden over, maar toch kunnen we voor sommige r-waarden slecht voorspellen wat er op de lange termijn gebeurt

voorbeeld 2: prooi en jager konijnen  vossen a=2, b=3.5 vossen konijnen a=2.5, b=3.5 vossen konijnen

a=3.9, b=3.9 chaos! vossen konijnen

terug naar Lorenz en het weer 3 variabelen: snelheid van de lucht, x temperatuurverschil tussen op en neergaande stromen, y stroming van warmte, z versimpel: x, y, z hangen enkel van de tijd af en niet van de positie op aarde

bekijk: tijdstip t en een klein tijdje Dt later met s=10, r=25, b=3/8 Oplossen? tegenwoordig fluitje van een cent! c:\college\chaos\Maple-Opdr5

tvoorsp voorspelbaarheid 10-1 10-3 10-5 10-7 10-9 afwijking 3 5 3 2 5 2 5 tvoorsp 2 1 5 1 5 10-1 10-3 10-5 10-7 10-9 afwijking

vlinder van Lorenz ‘vlinder’ in 3 dimensies voorbeeld van een ‘strange attractor’ systeem keert altijd terug naar deze figuur ding heeft rare wisundige eigenschappen: bv. herhaalt zichzelf nooit (geen gesloten kromme)

belangrijk kenmerk van chaotisch systeem: extreme gevoeligheid voor begingvoorwaarden kleine onnauwkeurigheid in bv. de temperatuur groeit snel aan tot grote fout in voorspelling ons weer is chaotisch en voorspellen voor langere tijd is dus principieel onmogelijk! T wo do vr za zo ma

tot slot: is chaos nu erg?? in het geheel niet! ons hart is chaotisch zorgt ervoor dat je met hele kleine veranderingen gemakkelijk bijstuurt keert altijd terug naar zijn ‘strange attractor’ chaotische systemen zijn ondanks de chaos stabiel! en laten binnen grenzen allerlei variatie toe

simpel praktijk voorbeeld: druppelende kraan meet tussentijden tussen opeenvolgende druppels c:\chaos\faucet.mws