Grote getallen Getallen groter dan vier cijfers schrijf je meestal in groepjes van drie. Je schrijft niet 2345671237 maar 2 345 671 237. Dit spreek je uit als 2 miljard 345 miljoen 671 duizend 237. Vaak worden bij het opschrijven van grote getallen de woorden duizend, miljoen en miljard gebruikt. 4 500 000 schrijf je als 4,5 miljoen. 6 700 000 000 schrijf je als 6,7 miljard. Grote getallen rond je vaak af. 13 456 234 wordt 13,46 miljoen of 13,5 miljoen. Na de komma zet je één of twee decimalen.

Machten van 10 105 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 100 000 honderdduizend 104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 tienduizend 1 duizend = 1000 = 10 × 10 × 10 = 103 1 miljoen = 1 000 000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 106 4,5 miljoen = 4,5 × 1 miljoen = 4,5 × 106 23,4 miljard = 23,4 × 1 miljard = 23,4 × 109 Opgave 19 a 1 000 = 103 b 100 000 = 105 c 1 000 000 000 = 109 d 1 miljoen = 106 E 10 duizend = 104 f 100 miljoen = 108

Wetenschappelijke notatie De uitkomst van 123 666 × 98 765 432 is 12 213 925 913 712 Het antwoord heeft 14 cijfers. Zo’n lang antwoord past niet op het scherm van je rekenmachine. Je rekenmachine maakt er een getal van met een macht van 10. Deze manier van opschrijven heet de wetenschappelijke notatie. Een getal in de wetenschappelijke notatie bestaat uit twee delen. Het eerste deel heeft altijd één cijfer voor de komma. Dat cijfer mag geen nul zijn. Het tweede deel is een macht van 10. 456 000 000 = 4,56 × 108 Bij de wetenschappelijke notatie rond je het eerste deel vaak af. 2,34567896 × 1012 = 2,3 × 1012

Kleine getallen in de wetenschappelijke notatie 0,004 : 250 000 000 = 0,000 000 000 016. Dat antwoord past niet op het venster van je rekenmachine. De rekenmachine geeft als antwoord 1,6 × 10¯11. 1,6 × 10¯11 is een voorbeeld van de wetenschappelijke notatie van een klein getal. De exponent is een negatief getal. Daar kun je aan zien dat 1,6 × 10¯11 een klein getal is. wetenschappelijke notatie  voluit 4,09 × 10¯8 = 0,000 000 040 9 voluit  wetenschappelijke notatie 0,000 072 3 = 7,23 × 10¯5 8 nullen 5 nullen

Eenheden van tijd De meest gebruikte eenheden van tijd zijn: 1 millennium = 1000 jaren 1 eeuw = 100 jaren 1 jaar = 4 kwartalen 1 jaar = 12 maanden 1 jaar = 52 weken 1 jaar = 365 dagen 1 kwartaal = 13 weken 1 week = 7 dagen 1 dag = 24 uren 1 uur = 60 minuten 1 minuut = 60 seconden * Een schrikkeljaar heeft 366 dagen. Dan heeft februari 29 dagen.

Tijdseenheden omrekenen Voorbeeld I Reken om naar hele uren en minuten a 3,15 uren = 3 uren en 9 minuten (0,15 × 60 = 9) b 28,40 uren = 28 uren en 24 minuten (0,40 × 60 = 24) c 62,45 uren = 2 dagen, 14 uren en 27 minuten (62 – 48 = 14 en 0,45 × 60 = 27) Voorbeeld II Reken om naar hele eenheden a 4,25 dagen = 4 dagen en 6 uren (0,25 × 24 = 6) b 2,6 weken = 2 weken, 4 dagen, 4 uren en 48 minuten (0,6 × 7 = 4,2 en 0,2 × 24 = 4,8 en 0,8 × 60 = 48) c 5,6 jaren = 5 jaren en 219 dagen (0,6 × 365 = 219)

De twee belangrijkste eenheden van snelheid zijn kilometer per uur (km/uur) en meter per seconde (m/s). Met een verhoudingstabel kun je deze eenheden omrekenen. voorbeeld Sonja loopt de 100 meter in 15,4 seconden. a Bereken haar snelheid in m/s. Rond je antwoord af op één decimaal. b Bereken haar snelheid in km/uur. Rond je antwoord af op één decimaal. Aanpak Maak een verhoudingstabel. Zet tijd boven en afstand onder. Laat het antwoord van vraag a op je rekenmachine staan. Gebruik dat antwoord bij vraag b. Uitwerking a snelheid = 100 : 15,4 = 6,5 m/s b snelheid = 100 : 15,4 × 3600 = 23 377 m/uur = 23,4 km/uur : 15,4 × 3600 tijd 15,4 sec 1 sec 1 uur afstand 100 m … : 15,4 × 3600

Vergrotingsfactor Van een pinguïn is een foto gemaakt. Die foto is het origineel. Van het origineel is een vergroting gemaakt. Die noemen we het beeld. De lengte van het beeld is 1,2 keer zo groot als die van het origineel. De breedte is ook 1,2 keer zo groot. We zeggen de vergrotingsfactor is 1,2. De vergrotingsfactor bereken je door van het origineel en het beeld de lengte op te meten. Je maakt dan de deling lengte beeld : lengte origineel. vergrotingsfactor = Je mag alleen spreken van een vergroting als alle maten dezelfde vergrotingsfactor hebben. De figuren zijn dan gelijkvormig. lengte beeld lengte origineel

Voorbeeld met meten De linkerfoto is 25 mm hoog. De rechterfoto is 50 mm hoog. vergrotingsfactor = hoogte groot : hoogte klein De vuurtoren is 50 : 25 = 2 keer zo hoog. vergrotingsfactor = 2

Verkleinen Figuren kun je niet alleen vergroten, maar ook verkleinen. Het beeld hieronder is 2 keer zo klein als het origineel. Alle maten zijn dus half zo groot. De vergrotingsfactor is dus 0,5.

Ik word het ORIGINEEL genoemd, want met mij begin je. Vergroten Ik word het BEELD genoemd, want ik ben het resultaat na 2 keer vergroten Ik word het ORIGINEEL genoemd, want met mij begin je. Vergrotingsfactor k = 2 2 cm 4 cm Afspraak: Vermeld altijd in je uitleg welke figuur het origineel is en welke het beeld !!! Overzicht H8 Inhouden en vergroten - Getal & Ruimte 2havo/vwo2

Vergrotingsfactor Ik word het ORIGINEEL genoemd, want met mij begin je. Ik word het BEELD genoemd, want ik ben het resultaat na vergroten Vergrotingsfactor k = = 2,5 2 cm 5 cm Vergroten: Als het beeld groter is dan het origineel, dan is de vergrotingsfactor k > 1 Verkleinen: Als het beeld kleiner is dan het origineel, dan is de vergrotingsfactor k < 1 Overzicht H8 Inhouden en vergroten - Getal & Ruimte 2havo/vwo2 Figuur Vergrotingsfactor k Afmeting (lengte, hoogte, breedte, zijde, straal, diameter, …)

Vergrotingsfactor & oppervlakte Bij een vergrotingsfactor van 4 is de oppervlakte niet 4 keer zo groot maar ... beeld origineel Vergrotingsfactor k = 4 1 4 1 4 Overzicht H8 Inhouden en vergroten - Getal & Ruimte 2havo/vwo2 De oppervlakte is 16, ofwel bij een vergrotingsfactor van 4 dan is de oppervlakte 42 zo groot. Bij vergrotingsfactor k wordt de oppervlakte k2 zo groot

Vergrotingsfactor & oppervlakte orgineel beeld Vergrotingsfactor k = ?? 1 4 1 4 Overzicht H8 Inhouden en vergroten - Getal & Ruimte 2havo/vwo2 Figuur Vergrotingsfactor k Oppervlakte

Vergrotingsfactor & inhoud beeld Bij een vergrotingsfactor van 4 is de inhoud niet 4 keer zo groot maar ... origineel Vergrotingsfactor k = 4 1 4 1 4 Overzicht H8 Inhouden en vergroten - Getal & Ruimte 2havo/vwo2 De inhoud is 64, ofwel bij een vergrotingsfactor van 4 dan is de oppervlakte 43 zo groot. Bij vergrotingsfactor k wordt de inhoud k3 zo groot 4

Vergrotingsfactor & inhoud beeld orgineel Vergrotingsfactor k = ?? 1 4 1 4 4 Overzicht H8 Inhouden en vergroten - Getal & Ruimte 2havo/vwo2 Figuur Vergrotingsfactor k Inhoud

Alle formules met de Vergrotingsfactor k Overzicht vergroten & verkleinen Ik word het BEELD genoemd, want ik ben het resultaat na vergroten Ik word het ORIGINEEL genoemd, want met mij was je begonnen. Vergrotingsfactor k = = 2,5 2 cm 5 cm Vergroten: Als het beeld groter is dan het origineel, dan is de vergrotingsfactor k > 1 Verkleinen: Als het beeld kleiner is dan het origineel, dan is de vergrotingsfactor k < 1 Afspraak: Vermeld altijd in je uitleg welke figuur het origineel is en welke het beeld !!! Figuur Alle formules met de Vergrotingsfactor k Afmeting (lengte, hoogte, breedte, straal, diameter, …) Oppervlakte Inhoud Overzicht H8 Inhouden en vergroten - Getal & Ruimte 2havo/vwo2

Van vergrotingsfactor naar oppervlakte De grote rechthoek is een vergroting van de kleine rechthoek. De vergrotingsfactor is 4,5 : 1,5 = 3. De lengte is 3 keer zo groot en de breedte is 3 keer zo groot. De oppervlakte van de grote rechthoek is dan 3 × 3 = 32 = 9 keer zo groot. De grote en kleine rechthoeken zijn gelijkvormig. De kleine rechthoek is het origineel. De grote rechthoek is het beeld. Het origineel past 9 keer in het beeld. Vergrotingsfactor 3? Dan oppervlakte 32 = 9 keer zo groot. Vergrotingsfactor 12? Dan oppervlakte 122 = 144 keer zo groot. De oppervlakte van de kleine rechthoek is 2,85 cm2. De oppervlakte van de grote rechthoek is 32 × 2,85 = 25,65 cm2. oppervlakte beeld = vergrotingsfactor2 × oppervlakte origineel

Van oppervlakte naar vergrotingsfactor Om de oppervlakte 4 keer zo groot te maken, neem je als vergrotingsfactor = 2 Is de oppervlakte 9 × zo groot? Dan is de vergrotingsfactor = 3 Is de oppervlakte 10 × zo groot? Dan is de vergrotingsfactor = 3,2

Van vergrotingsfactor naar inhoud De kleine en de grote doos zijn gelijkvormig. De vergrotingsfactor is 4. De lengte, breedte en de hoogte zijn 4 keer zo groot. De inhoud is dus 4 × 4 × 4 = 43 keer zo groot. De inhoud van de kleine doos is 1 × 2,5 × 2 = 5 dm3. De inhoud van de grote doos is dus 43 × 5 = 320 dm3. Je hebt de volgende formule gebruikt. inhoud beeld = vergrotingsfactor3 × inhoud origineel Vergrotingsfactor 4? Dan is de inhoud 43 = 64 keer zo groot. Vergrotingsfactor 5? Dan is de inhoud 53 = 125 keer zo groot.

Van inhoud naar vergrotingsfactor De twee containers zijn gelijkvormig. De inhoud van de kleine container is 40 liter. De inhoud van de grote container is 150 liter. De inhoud van de grote container is 150 : 40 = 3,75 keer zo groot, dus vergrotingsfactor3 = 3,75. De vergrotingsfactor is dan De derdemachtswortel is het omgekeerde van de derde macht …3. Op de rekenmachine gaat dat zo:

Verhoudingen Met een verhoudingstabel kun je hoeveelheden berekenen. Meng je 1 deel frambozensiroop met 7 delen water, dan krijg je frambozenlimonade. De verhouding van siroop en water is 1 : 7. 1 : 7 spreek je uit als 1 staat tot 7. In totaal heb je 1 + 7 = 8 delen limonade. Een verhouding bestaat altijd uit hele getallen. In de tabel zie je: Wil je 160 ml limonade maken, dan gebruik je 20 ml siroop en 140 ml water. Met 15 ml siroop kun je 120 ml limonade maken. Een verhouding kun je omrekenen naar een percentage. Je gebruikt dan ook een verhoudingstabel. Bij totaal zet je dan 100%.

Is dit een echte landkaart? Wat valt je op?

Gewogen Gerichte Graaf Grafen Een GRAAF bestaat uit: punten en verbindingen. (Die punten en verbindingen stellen iets voor.) Gewogen graaf: Er staan getallen bij de verbindingen (bijvoorbeeld afstanden). Bij een graaf met afstanden kun je een tabel maken. In de tabel zet je altijd de kortste afstand. Gerichte graaf: Er staan pijlen bij de verbindingen. Tussen C en D kan je alleen van C naar D en niet van D naar C. Tabel met afstanden