Euler of Excel? Hoe computers en rekenmachines de getaltheorie beïnvloeden door Gunther Cornelissen van de Universiteit Utrecht

Rekenen door de eeuwen… hoofdrekenen… (algoritmen) met rekenhulpmiddelen… (abacus, rekenliniaal) met tabellen; met logaritmen… met mechanische rekenmachines… (Pascal; Leibniz; Babbage) met electronische rekenmachines… met supercomputers… met pc’s… (symbolisch, bewijsverificatie)

Op school kan het ondertussen met gratis software op pc’s.

Computers en getaltheorie beroemde voorbeelden

Computers en getaltheorie Testen van vermoeden,bijv. Riemann hypothese 1859 3 Riemann 1936 1041 Titchmarsh 1953 1104 Turing 1956 15000 D.H. Lehmer 1986 109 van de Lune, te Riele & Winter 1987 1000 rond 1012 Odlyzko 2004 1013 Gourdon 2010 6 miljoen rond 1028 Hiary Hoe ver moet je gaan om het te geloven? Prijzengeld 1M$

Riemannhypothese in de klas? Jan van de Craats en Roland van der Veen, De Riemannhypothese - een miljoenenprobleem, Epsilon Uitgeverij GC + Sjoerd Andringa, “Werken met wiskunde”, Junior College Utrecht, vwo5 Bewijzen dat er oneindig veel priemgetallen zijn met de productformule van Euler Priemtelfunctie berekenen en schatten Elementaire herformuleringen van de Riemannhypothese, bijv. criterium van Lagarias dat de som van de delers van n kleiner of gelijk is aan met voor alle natuurlijke getallen n.

Opstellen van vermoeden,bijv. Birch en Swinnerton-Dyer vermoeden Computers en getaltheorie Opstellen van vermoeden,bijv. Birch en Swinnerton-Dyer vermoeden 1960 berekende Peter Swinnerton-Dyer het aantal oplossingen Np van y2=x3+ax+b modulo priemgetallen p≤x en plotte ∏ Np/p. (zwak) Birch en Swinnerton-Dyer vermoeden: r is de rang van de vergelijking; “r=0” betekent dat er maar eindig veel oplossingen zijn in rationale getallen. Prijzengeld 1M$ EDSAC Plot: ln(∏ p≤x Np/p) vs ln(ln(x)) voor y2=x3-5x

Computers en getaltheorie Testen van vermoeden,bijv. vermoeden van Beal 1993 stelde bankier Andy Beal volgende vermoeden op: Als A,B,C natuurlijke getallen zijn, en x,y,z natuurlijke getallen, allemaal >2, dan geldt voor iedere oplossing van Ax+By=Cz dat A, B en C een gemeenschappelijke deler hebben. Hij checkte het eerst voor alle variabelen <100 op 15 computers. Prijzengeld is nu 1M$.

Rekenen en getaltheorie Een voorbeeld in detail: de priemgetalstelling

Hoe werd zoiets ontdekt? Zouden leerlingen het zelf kunnen ontdekken? Een beroemd resultaat, “ontdekt” door berekening: De Priemgetalstelling Stelling Als het aantal priemgetallen is kleiner dan dan is Hadamard en de la Vallée-Poussin (1896) Hoe werd zoiets ontdekt? Zouden leerlingen het zelf kunnen ontdekken?

Bronnen Anton Felkel (1771): Tafel aller Einfachen Factoren der durch 2, 3, 5 nicht theilbaren Zahlen von 1 bis 10 000 000; 1. Theil Enthaltend die Factoren von 1 bis 144 000. Jurij Vega (1794): Thesaurus Logarithmorum Completus

Formulering Adrien-Marie Legendre Essai sur la Théorie des Nombres (1797-8 p. 19; 2nd ed. 1808) Carl-Friedrich Gauß Tafel der Frequenz der Primzahlen (1792?), Nachlass, Werke II, Brief aan Encke (1849)

Conclusie Heel veel getaltheoretische ontdekkingen baseren op (grootschalig) rekenen… Yerkes Observatory, 1921

Wat er mis kan gaan door “enkel” rekenen Oppassen geblazen… Wat er mis kan gaan door “enkel” rekenen

De Stelling van Littlewood Berekeningen suggereren dat Kotnik (2008) bewees dit voor Littlewood bewees in 1914 dat oneindig vaak Skewes bewees in 1955 dat dit gebeurt voor Zegowitz (2010) bewees dat het gebeurt voor Aantal atomen in het universum ca. 1080

Het correcte, foute computerprogramma Hiernaast een C-programma dat een binair natuurlijk getal omzet in een decimaal getal. Het is fout. Het algoritme is correct. Op iedere hardware is het fout, want die rekent modulo 264 (bijv.). Correctheid is niet te verifiëren door “typische” inputs te testen (>100 jaar?). Robert P. Kurshan, Program Verification, Notices AMS 47 (5), 2000

Ariane 5 vlucht 501, 4 juni 1996 Het omzetten van een 64-bit vlottende kommagetal naar een 16-bit geheel getal […] veroorzaakte een computer crash omdat de waarde te groot was.

Hoe doen leerlingen het? Euler of Excel? De kleinste positieve oplossing van de Pell-vergelijking is gegeven in de tabel van Leonard Euler uit 1738 De solutione problematum diophanteorum per numeros integros. Verifieer dat Hoe doen leerlingen het?

Controleer het laatste cijfer… Philip van Egmond (JCU)

Computeralgebrafouten Derive (1996) berekende Mathematica 7 gaf twee oplossingen voor Sage 5.10 bewees Aanleren dat dit kan gebeuren?

Principiele onmogelijkheid Onbeslisbaarheidsresultaten (Stelling van Gödel, Hilbert’s 10e probleem) stellen grenzen aan wat bewijsbaar is. Er bestaat een diophantische vergelijking afhankelijk van een parameter t, zodat er geen computerprogramma bestaat dat voor iedere waarde van t in eindige tijd kan beslissen of de vergelijking een oplossing in gehele getallen heeft of niet. GC, Diophantische vergelijkingen mogelijkheden en onmogelijkheden wiskunde-D module

Foute vermoedens opstellen op basis van te weinig informatie Foute programma’s/algoritmen gebruiken, met (soms) catastrofale gevolgen Rekenprogramma’s gebruiken die fouten maken Grenzen aan het mogelijk berekenbare

1986 2014

Filosofisch-onderwijskundig Coda

toolbox wiskundige methoden afbeeldingen - meetkundig structuren - algebraïsch formules - rekentechnisch algoritmisch - combinatorisch taalkundig - modellerend? stijlen? denkwijzen? algemene vaardigheden? wiskundige vaardigheden leren door “cijferen”

In de klas kunnen dankzij de computer berekeningen worden uitgevoerd die vroeger “hogere wiskunde” waren. Dit geeft kansen: historische motivatie leren “rekenen” als attitude Is het mogelijk tegelijkertijd “rekenen” als attitude/(onderzoeks-)methode en een kritische/sceptische houding aan te leren?

Samenvatting Rekenen in de getaltheorie: testen en opstellen van vermoedens; bijv. priemtelfunctie “Riemannhypothese” in de klas: het kan Ook scepsis bij rekenen “aanleren”