Kettingbreuk 13 41 13 41 =0+ 13 41 =0+ 1 41 13 =0+ 1 3+ 2 13 =0+ 1 3+ 1 13 2 =0+ 1 3+ 1 6+ 1 2 =[0;3;6;2]
Delers van 41 en 13 13=0⋅41+13 41=3⋅13+2 13=6⋅2+1 2=2⋅1+0 13 41 =0+ 1 3+ 1 6+ 1 2
Algoritme van Euclides Vereenvoudig 59719 27572 59719=1⋅32147+27572 32147=1⋅27572+4575 27572=6⋅4575+122 4575=37⋅122+61 122=2⋅61+0 59719 27572 = 61⋅979 61⋅452 = 979 452
Kleinst gemene veelvoud Ireen en Sven starten tegelijk op dezelfde plek op de ijsbaan. Ireen 31 s en Sven 30 s per rondje. Na hoeveel seconden zijn ze tegelijkertijd op dezelfe plek? Daphne en Churandy starten tegelijk op dezelfde plek op de baan. Daphne 30 s en Churandy 54 s per rondje.
Priemgetallen Ieder getal is het product van priemgetallen op volgorde na uniek 54 = 2333 30 = 235 ggd:Euclides ggd(a, b)∙kgv(a, b) = a∙b Breuken vereenvoudigen: ggd Breuken gelijknamig maken: kgv
Priemgetallen Een geheel getal n is deelbaar door een geheel getal met gehele uitkomst > 1: samengesteld Een getal met alleen zichzelf en 1 als deler noemen we priem. Ieder geheel getal met precies twee delers is een priemgetal 1 is niet priem
Hoeveel priemgetallen zijn er Euclides: oneindig veel Stel niet. Nummer ze p1, p2, p3, … , pn–1, pn Neem N = p1∙p2∙p3 ∙ … ∙ pn–1∙pn + 1 Als p deelt N, dan p deelt 1 N is priem Tegenspraak Bewijs uit het ongerijmde
Alternatief bewijs (Kummer, 1878) Neem N = p1∙p2∙p3 ∙ … ∙ pn–1∙pn N – 1 > pn dus niet priem Dus een zekere pk deelt N – 1 en deelt ook N. pk deelt N–(N–1) = 1 Tegenspraak
Alternatief bewijs (Saidak, 2005) n en n+1 hebben verschillende priemdelers n(n+1) heeft tenminste twee verschillende priemdelers n(n+1) en n(n+1)+1 hebben geen gezamenlijke delers n(n+1)∙(n(n+1)+1) heeft tenminste drie verschillende priemdelers enzovoorts, enzovoorts Het aantal priemgetallen is onbegrensd.
Spiraal van Ulam