Regeltechniek Modellen Specifikaties Voordelen van terugkoppeling Stabiliteit in s-domein: root locus Stabiliteit in w-domein: fazemarge

Voorwaarde voor stabiliteit T(s) is stabiel als alle polen, d.w.z. alle wortels van q(s), gelegen zijn in het linkerhalfvlak

Nodige voorwaarde

Voorbeeld is onstabiel omdat één coëfficiënt negatief is Alle ai > 0 is een nodige, maar geen voldoende voorwaarde Alle ai > 0 , maar toch kan het systeem onstabiel zijn

Voldoende voorwaarde Het Routh-Hurwitz criterium geeft niet alleen de nodige, maar ook de voldoende voorwaarde voor stabiliteit Dit is een wiskundige methode om te bepalen of de wortels van een algebraïsche vergelijking alle gelegen zijn in het linkerhalfvlak

Routh-Hurwitz criterium We rangschikken de coëfficiënten in een tabel als volgt: s4 a4 a2 a0 s3 a3 a1   s2 b3 b1 s1 c3 c1 s0 d3

Berekening nieuwe getallen s4 a4 a2 a0 s3 a3 a1   s2 b3 b1 s1 c3 c1 s0 d3

Criterium s4 a4 a2 a0 s3 a3 a1 s2 b3 b1 s1 c3 c1 s0 d3   s2 b3 b1 s1 c3 c1 s0 d3 Aantal tekenwissels in de eerste kolom = aantal nulpunten van q(s) gelegen in het rechterhalfvlak.

Voorbeeld s3 1 2   s2 8 s1 -6 s0 2 tekenwissels in de eerste kolom = 2 nulpunten van q(s) gelegen in het rechterhalfvlak.

Met matlab RHV! >> q=[1 1 2 8];roots(q) ans = -2.0000 0.5000 + 1.9365i 0.5000 - 1.9365i RHV!

Toepassing 0 < K < 8 s3 1 4 s2 2 K s1 s0 + _ Voor welke waarden van K is het systeem stabiel? s3 1 4 s2 2 K s1 s0 0 < K < 8

Met matlab >> K=4;L=tf(K,[1 2 4 0]); >> T=feedback(L,1);step(T) >> K=9;L=tf(K,[1 2 4 0]); >> T=feedback(L,1);step(T,20)

Nog een toepassing + _ Voor welke waarden van K en a is het systeem stabiel?

Opstellen van de tabel s4 1 11 Ka s3 6 K+6   s2 b3 s1 c3 s0

Voorwaarden voor stabiliteit

Grafisch a onstabiel onstabiel stabiel K st. onstabiel onstabiel 3 2 1 -6 K st. -10 10 20 30 40 50 60 -1 onstabiel onstabiel -2

Met ma tlab: K = 30 >> K=30;a=0.5;L=tf([K K*a],[1 6 11 6 0]);T=feedback(L,1);step(T,20) a = 0.5 a = 1 a = 1.5

Met ma tlab: K = -3 a = -1 a = -1.75 a = -3 >> K=-3;a=-1;L=tf([K K*a],[1 6 11 6 0]);T=feedback(L,1);step(T,50)) a = -1 a = -1.75 a = -3

Verloop van de wortels van q(s) + _ Hoe verlopen de wortels van de noemerveelterm q(s) als de versterkingsfactor K verandert? We kunnen dit uitrekenen met matlab: >> K=-2;q=[1 2 4 K];roots(q)

Samenvatting K q(s) wortels -2 s3 + 2 s2 + 4 s – 2 0,40 - 1,20 + 1,88j   wortels -2 s3 + 2 s2 + 4 s – 2 0,40 - 1,20 + 1,88j - 1,20 -1,88j s (s2 + 2 s + 4) - 1,00 + 1,73j - 1,00 -1,73j 2 s3 + 2 s2 + 4 s + 2 - 0,64 - 0,68 + 1,63j - 0,68 -1,63j 4 s3 + 2 s2 + 4 s + 4 - 1,30 - 0,35 + 1,72j - 0,35 -1,72j 6 s3 + 2 s2 + 4 s + 6 - 1,71 - 0,14 + 1,87j - 0,14 -1,87j 8 s3 + 2 s2 + 4 s + 8 - 2 0 + 2j 0 - 2j 10 s3 + 2 s2 + 4 s + 10 - 2,22 0,11 + 2,12j 0,11 -2,12j 12 s3 + 2 s2 + 4 s + 12 -2,41 0,20 + 2,22j 0,20 -2,22j

jw X K=12 X X X X K=-2 X X X K=12 K=-2 s X X X X X X X X X K=-2 X X X 2.5   2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 X K=12 X X X X K=-2 X X X K=12 K=-2 s X X X X X X X X X K=-2 X X X X X X X K=12 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

Root locus de trajecten die deze wortels afleggen in het complexe vlak worden de wortellijnen genoemd (engels: root locus) Het verloop van deze wortellijnen vertoont een zekere systematiek Het is mogelijk om een schets te maken van de wortellijnen (zonder de wortels uit te rekenen!)

Het root locus concept De noemerveelterm kan altijd geschreven worden in de vorm met k de parameter die verandert Voorbeeld: k = K → k = a →

F(s) is een complex getal: modulusvoorwaarde hoekvoorwaarde

De root locus is nu de meetkundige plaats van alle punten in het s-vlak die voldoen aan de hoekvoorwaarde. De modulusvoorwaarde daarentegen wordt dan gebruikt om op een bepaalde plaats op de root locus de overeen-komstige waarde van k te berekenen.

Voorbeeld Behoort het punt s1 tot de root locus? Root locus i.f.v. K s jw Behoort het punt s1 tot de root locus? s

Hoekvoorwaarde jw a j1 j2 s Alle punten waar deze voorwaarde geldt behoren tot de root locus

jw Voldoet aan de hoekvoorwaarde Alle punten op de reële as, gelegen tussen –a en 0, behoren tot de root locus j1 = 180° j2=0 s I -a a jw Voldoet NIET aan de hoekvoorwaarde j1 = 180° j2 = 180° a s I -a

Alle punten gelegen op de verticale lijn s = -a/2 jw Alle punten gelegen op de verticale lijn s = -a/2 behoren tot de root locus a j1 j2 j2 s I -a/2 -a

Root locus Stel: s1 = -a/2 + j a/2 jw Stel: s1 = -a/2 + j a/2 Welke waarde van K hoort bij dit punt van de root locus? j a/2 -a s -a/2 -j a/2

Cijfervoorbeeld: a = 4 s1 = -2 + 2j Men kan narekenen dat de veelterm jw s1 = -2 + 2j 2j -4 s Men kan narekenen dat de veelterm -2 -2j voor K = 8 als wortels heeft s1 = -2 + 2j s2 = -2 - 2j

Cijfervoorbeeld: a = 4 Men kan narekenen dat de veelterm jw -4 s -2 Men kan narekenen dat de veelterm voor K = 3 als wortels heeft s1 = -3 s2 = -1

Voorbeeld Root locus i.f.v. a jw We zoeken de meetkundige plaats van de punten s1 die voldoen aan de hoekvoor-waarde. s

jw Hoekvoorwaarde jp1 jz s jp2

Modulusvoorwaarde jw s

Cijfervoorbeeld: K = 4 s De veelterm jw s De veelterm heeft voor a = 4 een dubbele wortel s1 = s2 = -2 voor a < 4 → complex toegevoegde wortels voor a > 4 → reële wortels

Root locus procedure De root locus begint bij k = 0 en eindigt bij k = ∞ We leiden een aantal regels af waarmee een goede schets van de root locus kan worden gemaakt Het begrijpen van die regels verhoogt het inzicht in het gedrag van een systeem

Regel 1 De root locus heeft np takken (np = aantal polen); elke tak vertrekt vanuit een pool van F(s) k = 0 → wortels van q(s) = polen van F(s)

Regel 2 Elke tak eindigt in een nulpunt van F(s). Er zijn np – nz nulpunten op oneindig. k = ∞ → wortels van q(s) = nulpunten van F(s)

Regel 3 Stukken van de reële as, gelegen links van een oneven aantal polen en nulpunten van F(s), moeten behoren tot de root locus. jw s Dit volgt rechtstreeks uit de hoekvoorwaarde

Regel 4 De root locus is symmetrisch t.o.v. de reële as, omdat elke complexe wortel voorkomt als een paar van complex toegevoegde wortels. jw s Bovenstaande tekening is dus onmogelijk, onderstaande wel jw s

Regel 5 Vermits er np – nz nulpunten op oneindig zijn, zijn er np – nz asymptoten. Deze asymptoten vormen een hoek jA n met de reële as, met jA n gegeven door de formule jw s

jw s jw s jw s

Regel 6 Al deze asymptoten snijden elkaar in één punt, dat gelegen is op de reële as, en waarvan de ligging sA gegeven wordt door de formule jw jw sA sA s s

Regel 7 De vertrekhoek van de root locus vanuit een pool of de aankomsthoek van de root locus in een nulpunt kan worden bepaald uit de hoekvoorwaarde. jw jp1 jz s k = 0 → jz = 90°, jp2 = 90° hoekvw.: jz – jp1 – jp2 = -180° → jp1 = 180° jp2

Regel 8 Door het oplossen van een hulpvergelijking, die we afleiden uit het Routh-Hurwitz criterium, kan het snijpunt van de root locus met de imaginaire as worden berekend We zullen deze regel illustreren aan de hand van enkele voorbeelden.

Voorbeeld 1 met matlab: (a = 4) >> F=tf(1,[1 4 0]);rlocus(F) jw -a s sA=-a/2 met matlab: (a = 4) >> F=tf(1,[1 4 0]);rlocus(F) >> rlocfind(F) >> K=8;T=feedback(F,1);pole(T)

Voorbeeld 2 met matlab: (K = 4) >> F=tf([1 0],[1 0 4]);rlocus(F) jw jp1= 180° jz = 90° s met matlab: (K = 4) >> F=tf([1 0],[1 0 4]);rlocus(F) jp2= 90°

Voorbeeld 3 >> F=tf(1,[1 2 4 0]); >> rlocus(F) jw 120° + 90° + q = 180° q q = -30° 120° sA s sA=-2/3 90° >> F=tf(1,[1 2 4 0]); >> rlocus(F)

Snijpunten met de imaginaire as jw Routh-Hurwitz tabel: s3 1 4 s2 2 K s1 s0 sA s Rand van stabiliteit: K = 8 Hulpvergelijking: 2s2 + 8 = 0 Oplossingen: s = 2j en s = -2j

Controle modulusvoorwaarde jw b a c s

Voorbeeld 4 >> f1=tf([1 1],[1 2 0]); >> f2=tf(1,[1 4]); jw 5,2j (dubbele pool) 60° s -4 -2 -1 -3 >> f1=tf([1 1],[1 2 0]); >> f2=tf(1,[1 4]); >> F=f1*f2*f2 >> rlocus(F)

Snijpunten met de imaginaire as jw 5,2j 4,83j s4 1 32 K s3 10 32+K   s2 b3 s1 c3 s0 s -4 -2 -1 -3 -4,83j

Hulpvergelijking: Oplossingen:

Modulusvoorwaarde jw 4,83j b a d c s -4 -2 -1 -3 -4,83j

Voorbeeld 5 jw jw a = 2,5 a = 0,5 K = 44 K = 8 s s -3 -2 -1 -3 -2 -1

Specificaties in het s-vlak Welke punten hebben dezelfde steltijd? Welke punten hebben dezelfde relatieve demping z? Welke punten hebben dezelfde natuurlijke frequentie wn?

Herinner jw s De wortels van de vergelijking zijn p1 en wn -zwn p2 cos q = z q s -zwn p2

Punten van constante steltijd Deze punten liggen op de rechte jw Voor een reële pool geldt: sneller trager s Voor complexe polen geldt:

Punten van constante demping Deze punten liggen op de rechte door de oorsprong die een hoek q maakt met de reële as, met q = Bgcos z Uit de formule z jw z z q volgt dat punten van constante z eveneens punten zijn van constant doorschot s q = 45° z = 0,707 (P.O. = 4,3%)

Punten van constante wn jw wn wn wn s

Specificaties in het s-vlak jw Dit gebied voldoet aan de specifikaties s

Voorbeeld 6 De specifikaties zijn de volgende : Ts ≤ 0,5 s P.O. ≤ 20 % ess ≤ 10 %. Voor welke waarden van K is voldaan aan elk van deze specifikaties ?

Waarden van K waarvoor TS ≤ 0,5s jw Op het snijpunt met de lijn s = -4/TS is s1 = -8 Welke waarde van K hoort bij dit punt van de root locus? s -11 -8 -2 -20 Mod.vw.: K = (20-8)(8-2)=72  K ≥ 72

Waarden van K waarvoor P.O. ≤ 20% jw j21,47  z = 0,456 a a  q = Bgcos z = 62,87° q  21,47 = 11 tg q s -11 -8 -2 -20 Mod.vw.: K = a2  K ≤ 542

Waarden van K waarvoor ess ≤ 10%

Voorbeeld 7 Toevoegen van een nulpunt

Voorbeeld 8  80 < K < 224 jw s3 1 12 s2 K – 80 s1 s0 K - 80 s q(s) = (s-2)(s+4)(s+10) + K = s3 + 12s2 + 12s + K - 80 jw s3 1 12 s2 K – 80 s1 s0 K - 80 s -10 -4 2  80 < K < 224

Besluit m.b.v. enkele regels kan de root locus worden geschetst het verloop van deze root locus geeft een inzicht hoe het gedrag van een systeem varieert als de lusversterking toeneemt