De Stelling van Pythagoras
Pythagoras - Πυθαγορας Griekse filosoof, 582-496 v. Chr. De gehele wereld is in getallen te beschrijven Muziek: toonladder op basis van verhoudingen van hele getallen Meetkunde: stelling van Pythagoras: a2 + b2 = c2
ene rechthoekszijde2 + andere rechthoekszijde2 = schuine zijde2 a2 + b2 = c2 B rechthoekszijde schuine zijde c a A b C rechthoekszijde ene rechthoekszijde2 + andere rechthoekszijde2 = schuine zijde2
a2 + b2 = c2 a2 + b2 = c2 32 + 42 = ?2 9 + 16 = ?2 25 = ?2 25 = 52 dus ? = 5 B rechthoekszijde schuine zijde ? 3 A 4 C rechthoekszijde
a2 + b2 = c2 a2 + b2 = c2 12 + 12 = ?2 1 + 1 = ?2 2 = ?2 2 = ???!!! 2 dus ? = B rechthoekszijde schuine zijde ? 1 C A 1 rechthoekszijde
a2 + b2 = c2 De ondergang van Pythagoras! 12 + 12 = ?2 1 + 1 = ?2 1 + 1 = ?2 2 = ?2 √2 = 1,4142… en is geen breuk of verhouding! einde Pythagoreïsche getallenleer de Grieken houden zich voortaan met meetkunde bezig en niet meer met getallen.
Een bewijs… De Grieken kenden verschillende meetkundige bewijzen voor de stelling van Pythagoras Meetkundig betekent: met passer en lineaal (zonder schaalverdeling!) constructies door spiegelen, draaien, verschuiven Hou je vast!
a2 + b2 = c2
a2 + b2 = c2
De Stelling van Pythagoras + b2 = c2 a2 + b2 = c2
De Stelling van Pythagoras korte schrijfwijze 1: a2 + b2 = c2 122 + 52 = c2 c = √169 = 13 Schrijfwijze 1: a2 + b2 = c2 122 + 52 = c2 144 + 25 = c2 169 = c2 c = √169 = 13 Korte schrijfwijze 2: AC2 + BC2 = AB2 52 + 122 = AB2 AB = √169 = 13 Schrijfwijze 3: AB = 13 kw z 5 25 c = ? b = 5 12 144 13 169 √169 B C a = 12 Gebruiken om de schuine zijde uit te rekenen:
De Stelling van Pythagoras ? A B Schrijfwijze 2: AB = 6,2 Schrijfwijze 1: AB2 + AC2 = BC2 AB2 + 52 = 82 AB2 = 64 – 25 = 39 AB = √39 = 6,2 kw z 5 5 25 8 √39 = 6,2 39 8 64 C Gebruiken om een rechthoekszijde uit te rekenen:
De Stelling van Pythagoras Gebruiken om te controleren of een driehoek rechthoekig is: A B C 12 9 15 K L 11 9 14 M AB2 + BC2 = AB2 92 + 122 = 152 81 + 144 = 225 klopt, dus ∆ABC is rechthoekig KM2 + LM2 = KL2 92 + 112 = 142 81 + 121 ≠ 196 klopt niet, dus ∆KLM is niet rechthoekig