Recursie in de wiskunde 1 Recursie in de wiskunde Recursieve definities recursieve functies recurrentierelaties (taak 1) vorm van expressies Bewijzen per inductie (taak 2) Recursieve algoritmen (taak 3)

Recursie in de wiskunde 2 Recursie in de wiskunde Recursieve definities recursieve functies recurrentierelaties (taak 1) vorm van expressies Bewijzen per inductie (taak 2) Recursieve algoritmen (taak 3)

Recursieve functies (faculteit) 3 Recursieve functies (faculteit) WISKUNDE Definitie: 0! = 1  n  1 : n! = n.(n-1)…3.2.1 Eigenschap:  n  1 : n! = n.(n-1)! INFORMATICA (define (fac n) (cond ((= n 0) 1) (else (* n (fac (- n 1))))))

Recursieve functies (afleiden) 4 Recursieve functies (afleiden) WISKUNDE Dx cte = 0 … Dx f.g = f . Dx g + Dx f . g ... INFORMATICA (define (deriv exp var) (cond ((number? exp) 0) ... ((product? exp) (let ((f (multiplier expr)) (g (multiplicand expr))) (make-sum (make-product f (deriv g var)) (make-product (deriv f var) g) ))) ...)) Referentie: [Abelson] blz. 146, sectie 2.3.2

Recurentierelaties (fib) 5 Recurentierelaties (fib) WISKUNDE Beschouw de recurrentierelatie Fn = Fn-1 + Fn-2 voor n  2 en F0 = 0, F1 = 1. Men kan bewijzen dat de algemene oplossing van deze recurrentierelatie wordt gegeven door de formule: Fn = 1/5 { [(1+5)/2]n - [(1-5)/2]n } Referentie: [Grimaldi] blz. 472, vb. 10.9 INFORMATICA (define (fib n) (cond ((= n 0) 0) ((= n 1) 1) (else (+ (fib (- n 1)) (fib (- n 2)))))) (let ((w5 (sqrt 5))) (* (/ 1 w5) (- (expt (/ (+ 1 w5) 2) n) (expt (/ (- 1 w5) 2) n)) )))

Recurentierelaties (i) 6 Recurentierelaties (i) WISKUNDE De rij met algemene term an = 1 + 2 + 3 + … + n-1 + n wordt beschreven door de recurrentierelatie an = an-1 + n voor n  1, en a0 = 0 Men kan bewijzen dat de algemene oplossing van deze recurrentierelatie wordt gegeven door de formule: an = n(n+1)/2 Referentie: [Grimaldi] blz. 463, vb. 10.4 INFORMATICA (define (a n) (if (= n 0) (+ (a (- n 1)) n))) (/ (* n (+ n 1)) 2))

Recurentierelaties (taak 1) 7 Recurentierelaties (taak 1) WISKUNDE Beschouw de recurrentierelatie an + an-1 - 6an-2 = 0 voor n  2 en a0 = 1, a1 = 2. Men kan bewijzen dat de algemene oplossing van deze recurrentierelatie wordt gegeven door de formule: an = 2n Referentie: [Grimaldi] blz. 471, vb. 10.8 INFORMATICA Schrijf een recursieve Scheme functie die an berekent uit an-1 en an-2 volgens de recurrentierelatie. Schrijf een Scheme functie die an rechtstreeks berekent volgens de gevonden algemene formule.

Vorm van expressies 8 WISKUNDE INFORMATICA Definitie: E is een goedgevormde rekenkundige expressie als 1) E is een getal 2) E is van de vorm F + G of E is van de vorm F - G of E is van de vorm F * G of E is van de vorm F / G waarbij F en G goedgevormde rekenkundige expressies zijn 3) E is van de vorm - F waarbij F een goedgevormde rekenkundige expressie is INFORMATICA (define (ggre? exp) (or (number? exp) (and (binary? exp) (member? (operation exp) ’(+ - * /)) (ggre? (arg1 exp)) (ggre? (arg2 exp))) (and (unary? exp) (eq? (operation exp) ’-) (ggre? (arg exp)))))

Recursie in de wiskunde 9 Recursie in de wiskunde Recursieve definities recursieve functies recurrentievergelijkingen (taak 1) vorm van expressies Bewijzen per inductie (taak 2) Recursieve algoritmen (taak 3)

Bewijzen per inductie 10 WISKUNDE INFORMATICA Eigenschap:  n  14 : n kan worden geschreven als som van 3’n en 8'n. Bewijs: Basisgeval: geldt voor n = 14 want 14 = 3 + 3 + 8 = 2 . 3 + 1 . 8 Inductiehyp.: eig. geldt voor n - 1  15, m.a.w. n - 1 = k . 3 + l . 8 dus n = k . 3 + l . 8 + 1 als l > 0 n = k . 3 + (l - 1) . 8 + 9 = (k + 3) . 3 + (l - 1) . 8 als l = 0 n = k . 3 + 1 = (k - 5) . 3 + 16 = (k - 5) . 3 + 2 . 8 (opm: k  5, want n - 1  15) INFORMATICA (define (make-res k l) (list (cons k 3) '+ (cons l 8))) (define (get-nr-3 res) (caar res)) (define (get-nr-8 res) (caaddr res)) (define (ontbind n) (cond ((= n 14) (make-res 2 1)) (else (let* ((prev (ontbind (- n 1))) (k (get-nr-3 prev)) (l (get-nr-8 prev))) (if (> l 0) (make-res (+ k 3) (- l 1)) (make-res (- k 5) 2))))))

Bewijzen per inductie (taak 2) 11 Bewijzen per inductie (taak 2) WISKUNDE Eigenschap:  n  64 : n kan worden geschreven als som van 5's en 17'en. Bewijs: Bewijs dit per inductie INFORMATICA Gebruik het inductieprincipe uit het inductief bewijs om een procedure te schrijven die deze ontbinding effectief construeert.

Recursie in de wiskunde 12 Recursie in de wiskunde Recursieve definities recursieve functies recurrentievergelijkingen (taak 1) vorm van expressies Bewijzen per inductie (taak 2) Recursieve algoritmen (taak 3)

Recursieve algoritmen (taak 3) 13 Recursieve algoritmen (taak 3) WISKUNDE Methode van Newton benadering van vierkantswortel benadering derdemachtswortel Bepalen van een fixpunt van een functie Algoritme van Euclides om grootste gemene deler te bepalen Referentie: [Grimaldi] blz. 226, stelling 4.7 INFORMATICA Methode van Newton [Abelson] blz. 22, sectie 1.1.7 [Abelson] blz. 26, oefening 1.8 [Abelson] blz. 68 “Finding fixed points of functions” Algoritme van Euclides Schrijf een recursieve Scheme-functie voor het bepalen van de grootste gemene deler van 2 getallen volgens het algoritme van Euclides

Algoritme van Euclides 14 Algoritme van Euclides Stelling: Als a,b  Z+ dan kunnen we de grootste gemene deler van a en b bepalen volgens het volgende algoritme: r1 = a mod b r1  0 r2 = b mod r1 r2  0 r3 = r1 mod r2 r3  0 … ri+2 = ri mod ri+1 ri+1  0 rk = rk-2 mod rk-1 rk  0 0 = rk-1 mod rk  rk = grootste gemene deler van a en b Referentie: [Grimaldi] blz. 226, stelling 4.7

15 Taken De recurrentierelatie an + an-1 - 6an-2 = 0 voor n  2 en a0 = 0, a1 = 2 heeft als algemene oplossing an = 2n. Schrijf twee Scheme-functies voor het bepalen van an : één door gebruik te maken van de recurrentierelatie zelf en één door de algemene oplossing van de recurrentierelatie te implementeren. Bewijs per inductie dat  n  64, n kan worden geschreven als som van 5's en 17'en. Schrijf een recursieve procedure om deze ontbinding effectief te construeren. (Inspireer je op de inductiestap uit het bewijs.) Schrijf een recursieve Scheme-functie die het algoritme van Euclides voor het bepalen van de grootste gemene deler van 2 getallen implementeert.