Testen met een klein aantal testmonsters Rob Ross

Inhoud Ideaal product Statistische verdeling Normaal (Gauss) versus Weibull Grafiek kans tegen de tijd Grafiek gelineariseerd Parameters schatten Effect kleine testseries

Ideaal product qua levensduur Voorspelbaar qua falen: – Gemiddelde goed bekend – Zeer kleine spreiding Gegarandeerd minimum levensduur Gegarandeerd maximum levensduur Duidelijke aankondiging van falen Afhankelijk van toepassing?

Kennen van een statistische verdeling Verstandig bij – Serieproductie – Kritisch onderdelen Bij grotere, complexere, eenmalige systemen vaak achterwege: – Dan duur/ingebruikname test op hele systeem – Eventueel toch testen op kritische onderdelen Focus op seriematige producten

Populatie: bij elkaar horende groep Vanwege: – Ontwerp, – Historie (productie, behandeling), – Veroudering (belasting, faalmechanisme) Gedrag is soortgelijk, maar niet gelijk – Sommige falen eerder dan andere – Spreiding door (externe) toevalligheden

Normale verdeling (Gaussverdeling) Als een gemiddelde wordt bepaald uit veel data (eigenlijk gemiddelde data) Als data zelf normaal verdeeld zijn NB: −∞ < x < ∞ – (probleem met negatieve testtijden) range [x 1,x 2 ] =[m-5s, m+5s][m-4s, m+4s][m-3s, m+3s][m-2s, m+2s][m-s, m+s] F(x 2 )-F(x 1 ) = % %99.73%95.45%68.27% 1-{F(x 2 )-F(x 1 )} = %0.0063%0.27%4.55%31.73%

Gauss: veel gebruikt om spreiding range [x 1,x 2 ] =[m-5s, m+5s][m-4s, m+4s][m-3s, m+3s][m-2s, m+2s][m-s, m+s] F(x 2 )-F(x 1 ) = % %99.73%95.45%68.27% 1-{F(x 2 )-F(x 1 )} = %0.0063%0.27%4.55%31.73%

Weibull Als het gaat om de zwakste schakel in een lange keten Als data zelf Weibull verdeeld zijn NB: 0 ≤ x < ∞ Parameters:  en  – Schaalparameter  – Vormparameter 

Voorbeeld van mogelijke levensduurdata LabelLifetime T (hr) Index i Ranked lifetime T (hr) Failed fraction F (%) Surviving fraction R (%) Original label L1 L2 L3 L4 L5 L6 L7 L8 L9 L10 L L7 L4 L1 L11 L5 L9 L2 L10 L3 L8 L6

Grafische weergave Index Observation t i (hr) (%)

Punten spreiden om hun gemiddelde Vb: 5% en 95% betrouwbaarheidsgrenzen

Extrapoleren wordt moeilijk met een S-curve

Geschaalde verdeling is makkelijker te lezen Index Observation t i (hr) (%)

Extrapoleren is nu ook makkelijker Index Observation t i (hr) (%)

Rekenkundig Hoe meer testdata, hoe nauwkeuriger de parameter schatting (maar ook duurder) b is schatting van  ML = maximum likelihood LR = lineaire regressie WLR = gewogen LR Als er geen bias was, dan was =1. Oneindige nauwkeurig zou betekenen spreiding nul.

Effecten van kleine testseries Willekeurige greep uit geheel – Grote spreiding en vertekend beeld mogelijk Volume effect – Kans op zwak exemplaar kleiner Statistische berekeningen bias – Rekenmethoden kunnen afwijking geven

Voorbeeld van generatorstaven Generator bevat 100 staven Als een staaf faalt, faalt de generator Q-programma: – Test isolatie van 4 kwart-staven (doorslagtest) – Check met eerdere testgevens op consistentie – Volgens eerdere tests:  = 400 jr;  = 3,3 – D.w.z. gemiddelde levensduur θ = ca 400 jr Probleem?

Testprobleem: belofte leek 400 jr, maar Overschatting van b door kleine n: – n=4, dan is b geschat =1,6*b echt – Corrigeer daarom: b=1,99 Overschatting van a door volume: – Het gaat om 100 i.p.v. 1 staf, volume-effect – Corrigeer daarom: a=(100) -1/b *400=39,4 jr Niet gemiddelde, maar bijv. 1% of 5% – Corrigeer daarom: t 1% =3,9 jr of t 5% =8,9 jr

In plaats van ‘gemiddelde’ 400 jr geldt: Levensduur bij faalkans 1% is 3,9 jr Levensduur bij faalkans 5% is 8,9 jr

Tot besluit Bij testen met kleine testseries moet gecorrigeerd worden Kans op zwakste exemplaar is namelijk kleiner bij beperktere test-set Goede nieuws: er zijn methoden voor correctie Onderschat niet de waarde van grondig testen