De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub

NP-volledigheid Algoritmiek. 2 Polynomiale algoritmen of moeilijke problemen? Algoritme A is polynomiaal, als er een constante c bestaat, zodat het algoritme.

Verwante presentaties


Presentatie over: "NP-volledigheid Algoritmiek. 2 Polynomiale algoritmen of moeilijke problemen? Algoritme A is polynomiaal, als er een constante c bestaat, zodat het algoritme."— Transcript van de presentatie:

1 NP-volledigheid Algoritmiek

2 2 Polynomiale algoritmen of moeilijke problemen? Algoritme A is polynomiaal, als er een constante c bestaat, zodat het algoritme bij inputs van formaat n O(n c ) tijd gebruikt. Sommige problemen hebben een polynomiaal algoritme dat het oplost; voor andere is zo’n algoritme niet bekend. –NP-volledigheid: theorie die indicatie geeft dat bepaalde problemen geen polynomiaal algoritme hebben.

3 Algoritmiek3 Exponentiële problemen Er zijn problemen waarvoor bewezen kan worden dat elk algoritme voor die problemen exponentiële tijd gebruikt, bijv.: –Generalized Chess; Generalized Go (gegeneraliseerd naar borden van willekeurig formaat) Gegeven een positie in spel, heeft de aan zet zijnde speler een winnende strategie –… Maar … voor veel problemen hebben we niet zo’n bewijs…

4 Algoritmiek4 Het Handelsreizigersprobleem Gegeven: stel steden 1, … n. Voor elk paar steden i, j, een afstand d(i,j), getal K. Gevraagd: is er een route die in stad 1 begint, elke stad precies 1 keer bezoekt en weer in stad 1 eindigt, en totale lengte hooguit K heeft?

5 Algoritmiek5 Hamiltonian circuit Gegeven: Ongerichte graaf G=(N,A). Gevraagd: Is er een cycle in G, die elke knoop in G precies een keer bezoekt? Een graaf met een Hamiltonian circuit

6 Algoritmiek6 Subsetsum Gegeven: getallen a 1, …, a n, B. Gevraagd: Bestaat er een deelverzameling van de getallen a 1, …, a n, die som precies B heeft? Representatie: getallen in `binaire notatie’ Een O(nB) algoritme gebruikt exponentiele tijd in het aantal bits nodig om de input te noteren. Representatie: getallen in `binaire notatie’ Een O(nB) algoritme gebruikt exponentiele tijd in het aantal bits nodig om de input te noteren.

7 Algoritmiek7 Knapsack Een inbreker kan hooguit G gewicht dragen. Hij kan voorwerpen 1, …, n meenemen, met gewichten g 1, …, g n, en waardes w 1, …, w n. Alle gewichten en opbrengsten positieve gehele getallen. Gegeven ook getal W. Gegeven: positieve integers g 1, …, g n, w 1, …, w n Gevraagd: Kan de inbreker minstens spullen van totaalwaarde W meenemen?

8 Algoritmiek8 Satisfiability Gegeven: logische expressie over Boolse variabelen. Gevraagd: kan aan de variabelen waardes true en false toegekend worden zodat de expressie waar wordt? (x 1 or not x 2 ) and (x 2 or not x 1 or x 3 ) and (not x 3 ) Wordt waar als we bijv. nemen: –x 1 = true; –x 2 = true; –x 3 = false

9 Algoritmiek9 3-kleuring Gegeven: graaf G=(N,A). Gevraagd: is er een functie f: N  {1,2,3}, zodat voor elke kant {v,w} geldt: –f(v)  f(w)

10 Algoritmiek10 ??? Voor elk van deze problemen: –Is er geen algoritme bekend dat het probleem oplost en (worst case) polynomiale tijd gebruikt. –Is er geen bewijs dat het probleem niet in polynomiale tijd op te lossen is. Er zijn nog veel meer problemen die zich net zo gedragen, uit allerlei toepassingen.

11 Intuitie Makkelijker om oplossingen te controleren dan te vinden Algoritmiek11

12 Algoritmiek12 Versies van problemen Beslissingsprobleem –Vb.: Gegeven n steden met afstand voor elk paar steden, en gegeven een getal k: is er een handelsreizigerstour met totale afstand hooguit k? Optimalisatieprobleem –Gegeven n steden met afstand voor elk paar steden, wat is de lengte van de kortste handelsreizigerstour? Constructieprobleem –Gegeven n steden met afstand voor elk paar steden, wat is de kortste handelsreizigerstour?

13 Algoritmiek13 Minstens zo moeilijk Stelling: Als er voor de optimalisatievariant (constructievariant) van het handelsreizigersprobleem een polynomiaal algoritme bestaat, dan bestaat er ook een polynomiaal algoritme voor de beslissingsvariant van het handelsreizigersprobleem. Wat lastiger, maar ook waar: in de andere richting.

14 Algoritmiek14 Over beslissingsproblemen Theorie van NP-volledigheid gaat met name over beslissingsproblemen. –Als we weten dat een beslissingsprobleem `moeilijk’ is, dan is de bijbehorende optimaliseringsvariant dat ook. Beslissingsprobleem kan je zien als verzameling: –Verzameling van instanties die ja als antwoord geven.

15 Algoritmiek15 P Definitie: Een beslissings-probleem behoort tot de klasse P als er een (deterministisch) algoritme is dat het probleem oplost, en dat polynomiale tijd gebruikt. Deze problemen horen tot de klasse P: –2-Kleuring: gegeven een graaf, is er een kleuring van de knopen met 2 kleuren zodat grenzende knopen verschillend zijn. –Kwadraat: gegeven een getal n, is n een kwadraat van een natuurlijk getal? –Priemgetal: gegeven n, is n een priemgetal? –Minimum Spanning Tree

16 Algoritmiek16 Bewijssysteem Veel problemen zijn van de vorm –Gegeven: …. –Gevraagd: bestaat er een …., zodat …. Bewijssysteem voor probleem X is verzameling F van paren, q  Q, voor een verzameling Q van bewijzen of certificaten, zodat –x  X  er bestaat een q met  F

17 Algoritmiek17 Voorbeelden van bewijssystemen Samengesteld getal: (Niet-Priemgetal) –Neem Q de verzameling getallen, en doe  F  q is een deler van x Hamiltonian circuit: –Neem Q de verzameling permutaties van knopen, en doe  F   vormt een Hamiltonian circuit in G.

18 Algoritmiek18 Definitie NP NP is de klasse van de beslissingsproblemen B waarvoor een bewijssysteem F bestaat, en een polynoom p(n), en een algoritme A, zodat –Voor alle mogelijke inputs x: er geldt: x  B   q:  F, en als x formaat n heeft, dan heeft q formaat hooguit p(n). –A controleert of voor gegeven x, q,  F. –A gebruikt polynomiale tijd

19 Algoritmiek19 Stellinkjes Knapsack, Subsetsum, 3-kleuring, Satisfiability, Handelsreiziger, Hamiltonian circuit problemen behoren allen tot de klasse NP. P  NP NP komt van niet-deterministisch polynomiaal: gebaseerd op Turing machine model met `niet-deterministische berekeningen’.

20 Algoritmiek20 Interessant wetenschappelijk probleem Niet bekend: zijn P en NP aan elkaar gelijk? Veel wetenschappers denken van niet. Veel onderzoek is gedaan naar deze vraag! : verdien een miljoen dollar door dit probleem op te lossen. ?

21 Algoritmiek21 Transformaties 1 Stelling: Als er een polynomiaal algoritme voor het Handelsreizigersprobleem bestaat, dan bestaat er een polynomiaal algoritme voor Hamiltonian circuit. Stel we hebben algoritme X voor Handelsreiziger. Neem input G=(N,A) voor Hamiltonian circuit. Maak input voor Hand.reiz.probl.: N verzameling steden d(v,w) = 1 als {v,w} in A d(v,w) = n+1 als {v,w} niet in A. Pas algoritme X op deze input toe. G heeft Hamiltonian circuit, desd als X een tour met lengte hooguit n vindt.

22 Algoritmiek22 Transformaties 2 Stelling: Als er een polynomiaal algoritme voor het Knapsack probleem bestaat, dan bestaat er een polynomiaal algoritme voor Subsetsum. In feite is Subsetsum een speciaal geval, als voor elk voorwerp zijn gewicht gelijk is aan zijn waarde.

23 Algoritmiek23 SAT-3CNF SAT-3CNF: –Eis dat de zin van de vorm is –C 1 en C 2 en … en C n (clauses) met elke C i van de vorm –(z i1 of z i2 of z i3 ) met elke z ij van de vorm: –Variable x a of negatie van variable: not(x a ) Vb: (x 1 of x 3 of not(x 2 )) en (not(x 2 ) of x 3 of not(x 1 )) Conjunctive Normal Form

24 Algoritmiek24 Transformaties 3 Stelling: Als er een polynomiaal algoritme voor het Sat-3CNF probleem bestaat, dan bestaat er een polynomiaal algoritme voor het 3- kleuringsprobleem. Stel we hebben algoritme voor SAT-3CNF. Gegeven graaf G=(N,A). Neem variabelen x v,i, voor elke knoop v in N, i=1,2,3. Je kan een logische zin  in 3CNF maken, die waargemaakt kan worden, d.e.s.d. als G 3- kleurbaar is. (Op bord.) Pas algoritme voor Satisfiability op  toe.  is O(n+a) lang

25 Algoritmiek25 Definitie 1 Laat A en B twee (beslissings)problemen zijn. A is polynomiaal Turing reduceerbaar tot B, als er een algoritme bestaat om A op te lossen, waarbij dit algoritme polynomiale tijd zou gebruiken wanneer we willekeurige instanties van probleem B in 1 tijdstap zouden kunnen oplossen. Notatie: Vaak wordt een andere soort reducties gebruikt: polynomially many-one reductions

26 Many-one Laat A en B twee (beslissings)problemen zijn. A is polynomiaal many-one reduceerbaar tot B, als er een functie f bestaat, zodat: –f kan in polynomiale tijd berekend worden –Voor elke input x voor A geldt: het antwoord voor x voor probleem A is ja, dan en slechts dan als het antwoord voor f(x) voor probleem B is ja Algoritmiek26

27 Algoritmiek27 Over reducties Als A  T P B, en B kan worden opgelost in polynomiale tijd, dan kan A ook worden opgelost in polynomiale tijd. A  m P B impliceert A  T P B Dus ook: als A  m P B, en er bestaat geen polynomiaal algoritme voor A, dan bestaat er ook geen polynomiaal algoritme voor B. In feite bewezen we: –Ham. Circuit  m P Handelsreizigersprobleem –SubsetSum  m P Knapsack –3-kleuring  m P Sat-3CNF

28 Algoritmiek28 Nog zo’n reductie Stelling SAT-3NF  m P 3- Kleuring Bewijs: Zij gegeven zin in 3CNF vorm, met variabelen x 1, …,x r. We maken nu een graaf: 1.Vertaal dat variabelen true of false kunnen zijn: truefalse C x1x1 not x 1 x2x2 not x 2 … We noemen de kleuren: C, true, false

29 Algoritmiek29 Vervolg reductie Voor elke clause voegen we stuk graaf met 6 knopen en wat kanten toe. De graaf is precies 3- kleurbaar, desd als aan de variabelen true en false kan worden toegekend zodat de zin waar wordt. true C = een van de literals uit de clause

30 Algoritmiek30 Satisfiability en 3-kleuring zijn `even moeilijk’ SAT-3NF  m P 3-Kleuring 3-kleuring  m P SAT-3NF Dus: er is een polynomiaal algoritme voor 3- kleuring, desd als er een polynomiaal algoritme is voor SAT-3NF.

31 Algoritmiek31 NP-volledigheid Een probleem A is NP-volledig, als –A behoort tot de klasse NP –Voor elk probleem B in NP geldt: B  m P A `Moeilijkste’ problemen in NP. Stelling: Als A NP-volledig, en er is een polynomiaal algoritme voor A, dan is er een polynomiaal algoritme voor elk probleem in NP.

32 Algoritmiek32 Stelling van Cook-Levin (1971) SAT-(3)CNF is NP-volledig. Hoe bewijs je nog meer problemen NP-volledig? Stelling Stel A is NP-volledig. Stel beslissingsprobleem B zit in NP, en A  m P B. Dan is B ook NP-volledig. Geeft manier om voor meer problemen te bewijzen dat ze NP-volledig zijn

33 Algoritmiek33 Meer NP-volledige problemen Stelling: 3-kleuring is NP-volledig. Bewijs: 3-kleuring  NP. SAT-3CNF is NP- volledig. SAT-3NF  m P 3-Kleuring. Stelling: Hamiltonian circuit, Handelsreiziger, Knapsack, Subsetsum, Satisfiability and duizenden andere problemen uit allerlei toepassingen zijn allemaal NP-volledig. Bewijs: steeds met behulp van (polynomiale many- one) reducties met problemen die al eerder bewezen waren NP-volledig te zijn.

34 Heel veel NP-volledige problemen Uit veel praktische toepassingen Logica, databases, computationele biologie, logistiek, Algoritmiek34

35 Algoritmiek35 Gevolgen Als P = NP: –Dan zijn alle problemen in NP, dus ook alle NP-volledige problemen op te lossen in polynomiale tijd. Maar … veel wetenschappers denken dat dit niet zo is. Als P  NP: –Dan is geen enkel NP-volledig probleem op te lossen in polynomiale tijd.

36 Algoritmiek36 Venn-diagram als P  NP P NP-volledige problemen NP …

37 Algoritmiek37 Gevolgen 2 Als bekend is dat een probleem NP-volledig is, dan: –Weten we dat het onwaarschijnlijk is dat er een polynomiaal algoritme voor bestaat, –Het in elk geval dat het vreselijk moeilijk zal zijn om zo’n algoritme te vinden. Want als we zo’n polynomiaal algoritme gevonden hebben, dan hebben we bewezen P=NP. (Kassa!) –Moeten we dus zoeken naar alternatieve aanpakken: Speciale gevallen, benaderingsalgoritmen, slimme vormen van exponentiele algoritmen, etc.

38 Algoritmiek38 Achtergronden Cook bewees SAT-CNF NP-volledig. Gebruik Turing machines. Zelfde resultaat, gelijkertijd, verkregen door Levin. Veel onderzoek gedaan naar P=NP vraag, maar nog geen oplossing. –... –O.a.: Millenium probleem Clay Math. Inst. –Veel wetenschappelijke artikelen, boeken, …


Download ppt "NP-volledigheid Algoritmiek. 2 Polynomiale algoritmen of moeilijke problemen? Algoritme A is polynomiaal, als er een constante c bestaat, zodat het algoritme."

Verwante presentaties


Ads door Google