Gegevensvoorstelling en Berekeningen

Presentatie over: "Gegevensvoorstelling en Berekeningen"— Transcript van de presentatie:

1 Gegevensvoorstelling en Berekeningen
Hoofdstuk 6 Gegevensvoorstelling en Berekeningen

2 Inhoud Talstelsels Getallen in een Computer Natuurlijke getallen
Gehele getallen Gebroken getallen Bewegende komma getallen Andere gegevens (letters, …)

3 Talstelsels Getal = abstract (hoeveelheid) Voorstelling = “naam”
Eigenschappen (priem, deelbaar, …) Voorstelling = “naam” Systematiek: Talstelsel Berekeningen in het talstelsel Voorbeeld: r-tallig talstel

4 cn-1 rn-1 + cn-2 rn-2 + … + c1 r1 + c0 r0
r-tallig talstelsel r = grondtal (= vast) Elk cijfer: gewicht in functie van de positie Zij ci  { 0, 1, …, r-1 } Voorstelling = cn-1 cn-2 … c1 c0 gewicht cn-1 rn-1 + cn-2 rn-2 + … + c1 r1 + c0 r0

5 Voorbeelden Decimaal r = 10, c {0, 1, …, 9} Binair r = 2, c {0, 1}
1235 Binair r = 2, c {0, 1} Octaal r = 8, c  {0, 1, …, 7} 2323 Hexadecimaal r = 16, c {0, ..., 9, A, …, F} 4D3 MO:  voorstellingen, zelfde getal!

6 Getallen in een Computer
Eindig aantal cijfers Ligt vast Soms # verschillende formaten (bijv. 16-bit en 32-bit getallen) Gevolgen: Niet alle getallen kunnen voorgesteld worden Eigenschappen uit getallenleer gelden soms niet Gesloten t.o.v. +, -, × Associativiteit, distributiviteit gelden soms niet

7 Getallen in de Computer
Bijv. stel 3 decimale cijfers (alleen pos.) Alleen getallen uit {0, 1, …, 999 } Niet gesloten t.o.v. som / vermenigvuldiging  (= 4 cijfers! OVERLOOP) Associativiteit? ( )  ( ) - 300 Distributiviteit? 005 × ( )  (005 × 300) - (005 × 200)

8 Natuurlijke getallen

9 Natuurlijke getallen Omzetting Binair  Decimaal
Omzetting Binair  Octaal/Hexadecimaal BCD voorstelling Binair rekenen optelling aftrekking (zie ook gehele getallen) vermenigvuldiging deling

10 Omzetting Decimaal  Binair
X  cn-1 … c1 c met ci {0, 1} X0 = X = cn-1 2n-1 + … + c c0 20 X0 = even: c0 = X0 = oneven: c0 = 1 X1 = X0 div 2 = cn-1 2n-2 + cn-2 2n-3 + … + c1 20 X1 = even: c1 = X1 = oneven: c1 = 1 enz.

11 Omzetting Decimaal  Binair
X  cn-1 cn-2 … c1 c met ci {0, 1} X0 = X, Xi = Xi-1 div 2 Xi = even: ci = Xi = oneven: ci = 1

12 Omzetting Decimaal  Binair
746 0 373 1 186 0 93 1 46 0 23 1 11 1 5 1 2 0 1 1

13 Omzetting Binair  Decimaal
X  cn-1 … c1 c met ci {0, 1} X = cn-1 2n-1 + cn-2 2n-2 … + c c0 20 = (cn cn-2 ) 2n-2 + … + c c0 20 = (( ... (( 0 + cn-1) 2 + cn-2) 2 + … + c1) 2 + c0 X0 = Xi = Xi-1 × 2 + cn-i (i=1 .. n) X = Xn

14 Omzetting Decimaal  Binair
+ + + + + + + + + + × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

15 Octaal / Hexadecimaal Compacter dan Binair Nauw verwant met Binair
Gebruik: Programmeertalen Tonen van inhoud van Geheugen/Register

16 Omzetting van/naar Octaal/Hexadecimaal
Analoog binair Eenvoudiger: omweg via binair Decimaal  Binair  Octaal/Hexadecimaal Octaal/Hexadecimaal  Binair  Decimaal Verklaring: hm 16m + … + h h0 160 hi = ci ci ci ci en 16 = 24 Groeperen van RECHTS naar LINKS!

17 Omzetting van/naar Octaal/Hexadecimaal
(oct.) E A (hex.)

18 Binary Coded Decimal (BCD)
= decimale voorstelling, cijfers binair 4 bits per cijfer vb  Complexe rekenregels ...

19 Aantal Cijfers n decimale cijfers b bits
10n-1  x < 10n en 2b-1  x < 2b dus n  2b bijgevolg b  log2 10n = n log2 10 = 3,3 n n dec. cijfers  3,3 n bits  1,11 n oct.  0,83 n hex. bijv dec. cijfers  1000 bits

20 Optellen van binaire getallen
0 + 0 = = 1 0 + 1 = = 10 Merk Op: som van twee n-bit getallen: max. n+1 bits  overdrachten

21 Optellen van binaire getallen
OPT HOPT

22 Halve Opteller (HOPT) X Y S T 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 X Y T
S (som) T (overdracht) X Y S T EN EOF X Y S T

23 Opteller (OPT) Xi Yi Oi Si Ti+1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0
Xi Yi Ti Si (som) Ti+1 (overdracht) Xi Yi Oi Si Ti+1 HOPT Xi Yi Ti OF Ti+1 Si O T S

24 Optelschakeling (parallel)
Xn Xn X X X0 OPT OPT OPT OPT HOPT Yn Yn Y Y Y0 Overloop! Sn Sn S S S0

25 Optelschakeling (serieel)
schuifregisters Xi X-register S S-register OPT Yi T Y-register Ti overdracht 1 OVERLOOP? OVI, PO7 Stap = n Initieel 0 (Stap=0)

26 Verschil van binaire getallen
0 – 0 = – 0 = – 1 = 1 0 – 1 = — – 1 = 0 – Merk Op: grootste - kleinste (anders negatief)  lenen 0 10

27 Verschilschakeling (parallel)
Xn Xn X X X0 AFT AFT AFT AFT HAFT Yn Yn Y Y Y0 Fout! Vn Vn V V V0

28 Vermenigvuldigen 0 × 0 = 0 0 × 1 = 0 1 × 0 = 0 1 × 1 = 1 .
(X) 27 × (Y)  13 11011 00000 (XY) X of 0!

29 Efficiënte Implementatie
Partieel Sommen: X of 0 Partieel Sommen direct bijtellen X  Y = X ×  Yi 2i = X × 2n ×  Yi 2i 2-n =  (X Yi 2n) 2i-n = (X Y0 2n ) 2-n + (X Y1 2n ) 21-n + … (X Yn-1 2n ) 2-1

30 Efficiënte Implementatie (2)
X  Y = (X Y0 2n ) 2-n + (X Y1 2n ) 21-n + … (X Yn-1 2n ) 2-1 = ((X Y0 2n ) (X Y1 2n )) 21-n + … (X Yn-1 2n ) 2-1 = (… (((0 + X Y0 2n ) X Y1 2n ) 2-1) + … X Yn-1 2n ) 2-1 P(0) = 0 P(i) = (P(i-1) + X Yi-1 2n ) i = 1 .. n P(n) = X  Y

31 Algoritme Xn-1 X0 ... Q0 = 1 N bit opteller T An-1 A0 ... Qn-1 Q0 ...
T  0, A  00…0, Q  Y N keer: (a) Q0 = 1: C, A  A + X (b) verschuif T, A, Q = verschuif naar rechts

32 Voorbeeld X = Y = i T A Q (+) (») 2 (») i T A Q (+) (») (+) (») 5 (») X  Y Merk Op: indien resultaat n bits: overloop als A  00…0

33 Deling Deling = inverse vermenigvuldiging
Vermenigvuldiging = # { optelling, versch. } Deling = # { aftrekking, verschuiving }

34 Gehele Getallen

35 Gehele Binaire Getallen
n bit-getallen 0000… t.e.m …111 n bits n bits Natuurlijke getallen: [0, 2n - 1] Gehele getallen: ½ stellen positieve getallen voor ½ stellen negatieve getallen voor

36 Gehele Binaire Getallen
Verschillende wijzen van opdelen: Voorteken 1-complement 2-complement Plus 2n-1 notatie

37  Xi 2i . Voorteken Eerste Bit = Tekenbit Tekenbit 0: positief
Xn-2 X0 ... Xn-1  Xi 2i . i = 0 n-2 Tekenbit 0: positief 1: negatief

38 Voorteken Bijv. n = 8 00001101 (= +13) 10001101 (= -13)
(= +13) (= -13) (= +127) (= -127) (= +0) (= -0)

39 Voorteken X = Xn-1 Xn-2 … X1 X met Xn-1 = tekenbit Getallenbereik:
[-(2n-1-1) , -0, +0, +1, … +(2n-1-1)] Symmetrisch bereik -0 =?= +0 Rekenregels Complex (+, -) X = Xn-1 Xn-2 … X1 X met Xn-1 = tekenbit Gevraagd: Z := X + Y

40 Voorteken: Optelling { Z = X + Y }
if ( Xn-1 == Yn-1 ) /* Xn-1, Yn-1 = tekenbit */ { Zn-1 = Xn-1; Zn-2..0 = Xn Yn } else { if (Xn > Yn-2..0 ) { Zn-1 = Xn-1; Zn-2..0 = Xn Yn-2..0 } else { Zn-1 = Yn-1; Zn-2..0 = Yn Xn } }

41 Voorteken: Vermenigvuldiging
{ Z = X × Y } Zn-1 = Xn-1 EOF Yn-1 ; Zn-2..0 = Xn * Yn-2..0 ; /* test op overloop! */

42 2-Complement Eerste bit = tekenbit 000…000 000…001 000…010 000…011 …
011…110 011…111 100…000 100…001 100…010 100…011 … 111…110 111…111  0  1  2  3  2n  2n-1 - 1  - 2n-1  - 2n  - 2n  - 2n  - 2  - 1

43 2-Complement Positief: 1e bit = 0, overige zie natuurlijke getallen
Negatief: 2n - | X |  2n = 111…111  2n = 111…110 -2n-1  2n - 2n-1 = 2n-1 = 100…000

44 2-Complement 10000000 (= -128) Bijv. n = 8 00000000 (= +0)
(= +0) (= +1) … (= +13) … (= +127) (= -128) (= -127) … (= -115) … (= -1)

45 2-Complement Getallenbereik
[-2n-1, -(2n-1-1) , +0, +1, … +(2n-1-1)] Asymmetrisch bereik! 0 heeft slechts 1 voorstelling Rekenregels eenvoudig! Omrekenformule: X = Xn-1 (-2n-1) + Xn-2 2n-2 + … + X0

46 2-Complement = - 2n-1 - 2n-1 + 1 × 2n-1 +  Xi 2i Omrekenformule:
X < 0: 2n - | X | =  Xi 2i (Xn-1 = 1) - | X | = - 2n +  Xi 2i = - 2n-1 - 2n × 2n-1 +  Xi 2i X = Xn-1 (-2n-1) + Xn-2 2n-2 + … + X0 (ook geldig voor positieve getallen: xn-1 = 0) n-1 i = 0 n-1 i = 0 n-2 i = 0

47 2-Complement & Restklassen
congruent modulo m a = b mod m of a  b (mod m)  (a - b) deelbaar door m equivalentierelatie equivalentieklassen (restklassen) 0 = { …, -2m, -m, 0, m, 2m, … } 1 = { …, -2m+1, -m+1, 1, m+1, 2m+1, … } 2 = { …, -2m+2, -m+2, 2, m+2, 2m+2, … } ...

48 2-Complement & Restklassen
Q = {0, 1, …, m-1 } = Quotiëntverzameling Congruentierelatie is verenigbaar met +, × x  r, y  s, x+y  t  a  r, b  s, a+b  t x  r, y  s, xy  t  a  r, b  s, ab  t Q, +, × is commutatieve ring

49 2-Complement & Restklassen
Voorbeeld: a  b (mod 5) 0 = { …, -10, -5, 0, 5, 10, … } 1 = { …, -9, -4, 1, 6, 11, … } 2 = { …, -8, -3, 2, 7, 12, … } 3 = { …, -7, -2, 3, 8, 13, … } 4 = { …, -6, -1, 4, 9, 14, … } ×

50 2-Complement & Restklassen
Restklassen modulo 2n = { …, -2n+1, -2n, , n, 2n+1 … } = { …, n+1, , n+1, … } = { …, n+2, , n+2, … } … 2n-1 -1 = { …, n-1 -1, 2n-1 -1, 2n +2n-1 -1, … } 2n = { …, n-1 , n-1, n +2n-1 , … } … 2n -2 = { …, , 2n -2, n+1 -2, … } 2n -1 = { …, , 2n -1, n+1 -1, … } Plus-conventie 2-Complement

51 2-Complement Besluit: Apparatuur werkt met restklassen
Resultaat steeds modulo 2n d.i. alleen laatste n bits behouden

52 Bewerkingen met 2-complement
Inverteren Som Verschil X - Y = X + (-Y) Product Aanpassing van woordlengte

53 Inverteren X  -X X negatief: 2n - | X | 2n = (2n - 1 + 1)
2n - | X | = 2n | X | + 1 = 111…11 - |X| + 1 = (1-Xn-1) (1-Xn-2) … (1-X0) + 1 Bijgevolg: bits omkeren en 1 bijtellen

54 Inverteren Voorbeeld: (n = 8) 01100110 (132) 10011001 (omkeren) + 1
(132) (omkeren) (-132) Merk op: ook geldig -X  +X (-132) (omkeren) (+132)

55 ... Inverteren Schakeling: n × NIET, n × HOPT X = xn-1 x2 x1 x0
-X =Y= yn y y y0

56 Som Xn Xn -1 X2 X1 X0 Yn Yn -1 Y2 Y1 Y0 Sn Sn -1 S2 S1 S0 OPT OPT OPT
HOPT Yn Yn Y Y Y0 Sn Sn S S S0

57 Som Voorbeelden (n = 8) 00010110 (22) + 11100111 (-25) 11111101 (-3)
(25) (-22) (3) (-25) (-11) (-36)

58 Som Overloop: Voorbeelden: (n=8)
x, y > 0  x+y < 0 x, y < 0  x+y > 0 Voorbeelden: (n=8) (86) (-105) (65) (-108) (-105) (43)

59 Som Overloopdetectie = eenvoudig Voorbeelden: (n=8)
laatste 2 overdrachten gelijk: OK anders: OVERLOOP Voorbeelden: (n=8) (overdr.) (86) (-105) (65) (-108) (-105) (43)

60 Som Voorbeelden (n = 8) 00000110 11100111 00010110 (22) 11100111 (-25)
(22) (-25) (-3) (25) (-22) (3) (-25) (-11) (-36) overdrachten

61 Optelling Xn Xn -1 X2 X1 X0 Yn Yn -1 Y2 Y1 Y0 EOF Sn Sn -1 S2 S1 S0
HOPT Yn Yn Y Y Y0 EOF Sn Sn S S S0 Overloop (indien 1)

62 Product (-13) × (7)  (-91) Overloop Mogelijk! Algoritme  van vermenigv. natuurlijke getallen

63 Aanpassing woordlengte
Aanpassen lengte v/d voorstelling Kopiëren van tekenbit Voorbeeld: 8-bit vs. 16-bit (+26) (+26) (-26) (-26)

64 Vergelijking: 10-complement (Decimaal)
Voorbeeld: 4 decimale cijfers positief: … 4999 negatief: | X | -1  = -2  9998 -4000  6000 -5000  5000

65 10-Complement Som 0500 + 9660 = 10160  0160 (500) + (-340) = (160)
(500) + (-340) = (160) Product 0120  9960 =  5200 (120)  (-40) = (-4800) Overloop mogelijk! = 5500 (3500) + (2000) = (-4500) !!!

66 1-Complement Positief: 1e bit = 0, overige zie natuurlijke getallen
Negatief: 2n | X | Getallenbereik [-(2n-1-1) , -0, +0, +1, … +(2n-1-1)] Verouderd (niet meer gebruikt)

67 Plus 2n-1 Notatie 000…000 000…001 000…010 000…011 … 011…110 011…111
 - 2n-1  - 2n  - 2n  - 2n  - 2  - 1 100…000 100…001 100…010 100…011 … 111…110 111…111  0  1  2  3  2n  2n-1 - 1

68 Plus 2n-1 Getallenbereik
[-2n-1, -(2n-1-1) , +0, +1, … +(2n-1-1)] Asymmetrisch bereik! 0 heeft slechts 1 voorstelling = 2-complement met omgekeerde tekenbit Voordeel: positief getal > negatief getal

69 Vergelijking (8-bit getallen)

70 Vergelijking (8-bit getallen)

71 Gebroken Getallen

72 Gebroken getallen ck rk + … + c1 r1 + c0 r0 +
Gewichten met negatieve exponent Voorstelling = ck … c1 c0 . c-1 c-2 … c-m ck rk + … + c1 r1 + c0 r0 + c-1 r-1 + c-2 r-2 + … +c-m r-m

73 Gebroken Getallen Omzetting Decimaal  Binair
Omzetting Binair  Decimaal Gebroken getallen in de computer Vaste Komma Voorstelling Bewegende Komma Voorstelling

74 Omzetting Binair  Decimaal
c c … + c-(m-1) 2-(m-1) + c-m 2-m = c c … + 2-(m-1) (c-(m-1) + c-m 2-1) = 2-1 (c (c-2 + … (c-(m-1) c-m)

75 Omzetting Binair  Decimaal
+ + + + + +  2  2  2  2  2  2

76 Omzetting Decimaal  Binair
x = x0 = c c … + c-m 2-m x1 = 2 x0 = c-1 + c … + c-m 2-(m-1) x1 1 ? c-1 = 1 x1< 1 ? c-1 = 0 x2 = 2 (x1 - c-1 ) = c-2 + c … + c-m 2-(m-2) x2  1 ? c-2 = 1 x2< 1 ? c-2 = 0 enz ...

77 Omzetting Decimaal  Binair
...

78 Vaste komma voorstelling
Komma op vaste plaats “verondersteld” Bijvoorbeeld : “.” na 5de bit  (13.75) “.” na 3de bit  (3.4375)

79 Vaste komma voorstelling
Verband met gehele getallen (p bits na “.”) cn-1 2n-p-1 +… + cp cp …+ c0 2-p = (cn-1 2n-1 +… + cp 2p + cp-1 2p-1 +…+ c0 20) 2-p Voorbeeld: = × 2-5 (3.3475) = (110) × 2-5 = (110) ÷ (decimaal) Apparatuur rekent met gehele getallen Interpretatie door SW

80 Vaste komma voorstelling
n-bit voorstelling: 2n mogelijke getallen per bit extra na “.”: bereik gehalveerd nauwkeurigheid verdubbeld ... bereik ... ...

81 Vaste komma voorstelling
Voorbeeld: n=8, p bits na “.”, 2-compl. p = 0 bereik = [-128, 127] afstand = 1 p = 1 bereik = [-64.0, 63,5] afstand = 0.5 p = 2 bereik = [-32.0, 31.75] afstand = 0.25 p = 3 bereik = [-16.0, ] afstand = 0.125 …

82 Vaste komma voorstelling
Bewerkingen Som/Verschil Product/Quotiënt

83 VKV: Som/Verschil “.” Aligneren
Voorbeeld × × 2-4 Aligneren (= verschuiven) × × 2-5 × 2-5

84 VKV: Product/Quotiënt
# cijfers na “.” =  # cijfers na “.” × 2-3 × × × 2-2 × 2-5 3+2 = 5 Quotiënt: # extra cijfers na “.” = #cijfers na “.” (deeltal) - #cijfers na “.” (deler)

85 Vaste komma voorstelling
Alleen als bereik van getallen gekend Anders, snel overloop! Vandaar: bewegende komma voorstelling

86 Bewegende komma voorstelling

87 Bewegende komma voorstelling
Het Principe Bewegende komma voorstelling Bewerkingen Optelling Vermenigvuldiging

88 Bewegende komma voorstelling
Zeer kleine getallen  zeer grote getallen Gebaseerd op “wetenschappelijke” notatie X = ± m × 10e m = mantisse (fractie) e = exponent Voorbeelden: = 3.14 × = × 101 = 1.0 × = 0.1 × 10-4 = × 103 = × 104

89 Bewegende komma voorstelling
Meer dan één voorstellingswijze! Standaard voorstelling (Normaalvorm) vb  | m | < 1 (behalve voor X = 0) omzetten naar standaard voorst. = normalisatie Voorbeelden: 3.14 × = × = × 102 1.0 × = 0.1 × = 0.01 × 10-3 1.999 × 103 = × = × 106

90 Eigenschappen Voorbeeld (decimaal talstelsel):
3 cijfers (+ teken) voor mantisse 2 cijfers (+ teken) voor exponent Bereik (positieve getallen) × tot × 10+99 = verschil van 199 orders van grootte slechts 5 cijfers (met teken)

91 Reële getallen Negatieve overloop Voorstelbare getallen
Positieve overloop Onderloop  0 Grote negatieve getallen < × 1099 Negatieve getallen tussen × 1099 en × 10-99 Kleine negatieve getallen tussen × en 0 Nul (0) Kleine positieve getallen tussen 0 en × 10-99 Positieve getallen tussen × en × 1099 Grote positieve getallen > × 1099 -10100 +10100

92 Reële getallen ... Niet alle getallen! Negatieve overloop
Voorstelbare getallen Voorstelbare getallen Positieve overloop Onderloop  0 -10100 +10100 ... Niet alle getallen! 0.001 × 1099 0.001 × 10-99 Relatieve afstand  constant

93 Invloed van # cijfers # cijfers in mantisse  (4 i.p.v. 3) nauwkeurigheid  (# getallen  ) # cijfers in exponent  (3 i.p.v. 2) gebied voorstelbare getallen , zelfde nwk -10100 +10100

94 Invloed van basis basis (=10) basis  (100 i.p.v. 10)
gebied breidt uit, # getallen = ongewijzigd, nwk  -10100 +10100 -10200 +10200

95 Reële Getallen Kans groot dat een gegeven/resultaat een van de andere getallen is Afronden afronden: dichtste getal dat kan voorgesteld worden naar onder (afbreken) grensgetallen: statistisch afronden (even/oneven) x ? y

96 Bewegende komma voorstelling
Algemeen X = ± m be ±m = mantisse b = basis (= vast) = 2 (2, 4, 8, 16, …) e = exponent Bewegende komma voorstelling: (±, m, e)

97 Bewegende komma voorstelling
b = r (mantisse en exponent in r-tallig talstelsel) Merk op: e ± 1: m over  pos. /verschuiven Bijvoorbeeld: × = × = × = × 1005 × = × = × = × 164 100 = 102 16 = 24

98 Bewegende komma voorstelling
mantisse voorteken, 2-complement, ... plaats van “.”: vooraan, (achteraan), ... exponent plus M notatie, voorteken normalisatie: 1/b  | m | < 1 nul vaak kleinste exponent en mantisse = 0

99 IEEE Voorstel Enkelvoudige nauwkeurigheid Dubbele nauwkeurigheid t
exp (8 bits) mantisse (23 bits) Basis = 2, notatie t exp (11 bits) mantisse (52 bits) Basis = 2, notatie

100 IEEE Voorstel Genormaliseerd getal (1  |m| < 2) ± Nul ± Oneindig
mantisse = 1. … (1 niet in voorstelling!) ± Nul ± Oneindig bijv. getal / 0, ... NaN (not a number) bijv.  / , Gedenormaliseerd getal

101 Bewerkingen met BKV Niet rechtstreeks met voorstelling rekenen
Vooraf opsplitsen, na bewerking: samenvoegen Bewerkingen: in SW door Processor of Co-Processor Voorbeelden in decimaal talstelsel (DRAMA) Som en Product (in cursustekst ook Verschil en Quotiënt)

102 DRAMA BKV . 1 5 3 1 2 3 4 5 6 7 = -0.1234567 × 1003 komma | Mantisse |
Exponent (+50 notatie) basis = 100 = 102 Tekencijfer (0 = +; 1 = -) Genormaliseerd als  | m | < 1 Bereik (ongeveer): ] , ]  [10-107, [

103 DRAMA BKV Nul + Oneindig - Oneindig NaN

104 DRAMA BKV: Bewerking . Vooraf: opsplitsen in aparte registers .

105 DRAMA BKV: Bewerking . Achteraf: terug samenvoegen in 1 register Afronden .

106 Som Voorbeelden

107 Som Stappen: Bewerkingen: Aligneren (exponenten gelijk)
Optellen/Aftrekken Normaliseren Afronden Bewerkingen: worden met meer cijfers uitgevoerd (verhoogde nwk), zie gele cijfers in berekening

108 Som Aligneren: kleinste exponent  = grootste
mantisse naar rechts verschuiven (1008) (1006) (1008) (1008) (100-5) (100-6) (100-5) (100-5)

109 Som Optellen / Aftrekken
(1008) (1008) = (1008) (100-5) (100-5) = (100-5)

110 Som Normaliseren (tenzij exp. over/onderloop) 1.0000267111 (1008)
Resultaat > (naar rechts verschuiven) Resultaat < (naar links verschuiven) (1008) = (1009) (100-5)

111 Som Afronden slechts 7 cijfers behouden voor mantisse (1009) (1009) (100-5) (100-5)

112 Product Voorbeeld: × × Stappen: mantisses vermenigvuldigen + exponenten optellen normaliseren afronden

113 Product Mantissen vermenigvuldigen Exponenten optellen
plus M-notatie: M aftrekken m = × = e = = 64

114 Product Normaliseren m = 0.004522254363  0.4522254363 e = 64 63
Afronden m =

115 Alfanumerieke Informatie

116 Alfanumerieke Informatie
Symbolen (letters, tekens, …) Voorstellen d.m.v. een code n bit code  max. 2n symbolen Gestandardiseerde codes: ASCII EBCDIC UNICODE

117 ASCII American Standard Code for Information Interchange 7-bit code
Speciale tekens, hoofdletters, kleine letters, leestekens, enkele wiskundige tekens Hex Teken Hex Teken Hex Teken @ A a B b ...

118 EBCDIC Extended Binary Coded Decimal Interchange Code
Op IBM-mainframes 8-bit code (veel lege plaatsen) Hoofdletters, kleine letters, leestekens, enkele wiskundige tekens Hex Teken Hex Teken Hex Teken F C F a C1 A F b C2 B ...

119 UNICODE ASCII: ok voor Engels
Latin-1: 8-bit uitbreiding voor vreemde letters (á, à, ä, é, …) IS 8859-x (code page: 256 letters voor taal) UNICODE (16 bit code) consortium van computer firma’s ondersteund door Java, Windows NT, ... max symbolen, ± helft reeds toegekend