PYTHAGORAS De wiskundige stelling van een Grieks Filosoof

Presentatie over: "PYTHAGORAS De wiskundige stelling van een Grieks Filosoof"— Transcript van de presentatie:

1 PYTHAGORAS De wiskundige stelling van een Grieks Filosoof
G-10 College PYTHAGORAS De wiskundige stelling van een Grieks Filosoof In deze powerpoint gaan we nader in op Pythagoras: Wie was hij, waardoor is hij zo bekend geworden

2 Waar gaat deze presentatie over?
G-10 College Waar gaat deze presentatie over? Wie was Pythagoras Wat weten we al van hem De stelling van Pythagoras: Wat kunnen we daarmee Een voorbeeld Inhoud presentatie

3 Wie was Pythagoras Grieks filosoof 580 – 490 voor Christus
G-10 College Wie was Pythagoras Grieks filosoof 580 – 490 voor Christus Samos, +/- 520: Croton(e) Italië Filosofische school: Geestelijke zuiverheid door filosofie De ziel één met het goddelijke; Beïnvloedt door de filosofen Thales en Anaximander Wiskundig filosoof Wiskunde, filosofie, muziek, astronomie Pythagoras ‘ leven en werk in een notedop

4 Wie was Pythagoras (2) Zag wiskunde als wetenschap
G-10 College Wie was Pythagoras (2) Zag wiskunde als wetenschap Leer van Pythagoras: het wezen van alles is wiskunde; Volgelingen: Pythagoreërs: onderlinge strikte loyaliteit Bepaalde symbolen mystiek (zie ster) Benadrukte belang van de studie van abstracte getallen Geïnteresseerd in: Getal Figuur bewijs Volgelingen en interesse: Wiskunde = wetenschap (van abstracte getallen)

5 G-10 College Werk van Pythagoras Dat de som van de oppervlakten van de vierkanten op de rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek, gelijk is aan de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde. Een methode die ook de Oude Grieken kenden; Het bewijs dat de hoeken van een driehoek samen twee rechte hoeken vormen, alsmede de uitbreiding van deze stelling: van een veelhoek met n zijden is de som van de binnenhoeken gelijk aan die van 2n - 4 rechte hoeken; Het construeren van figuren met een gegeven oppervlakte en een soort van meetkundige algebra. (Wat wij nu vergelijkingen noemen losten zij meetkundig op.) De ontdekking van de irrationale getallen: getallen die niet als breuk zijn te schrijven, zoals de wortel van 2; De vijf regelmatige lichamen: tetraëder (regelmatig viervlak), kubus, octoëder (regelmatig achtvlak); dodecaëder (regelmatig twaalfvlak); isocaëder (regelmatig twintigvlak); In de astronomie leerden ze dat de aarde een bol was in het centrum van het heelal, dat de baan van de maan een hoek maakte met de evenaar en dat Venus de morgenster dezelfde planeet was als Venus de avondster. Bron: Een aantal andere werken van Pythagoras

6 De stelling van Pythagoras
G-10 College De stelling van Pythagoras De bekende wiskunde stelling het bewijs dat de som van de rechthoekszijden van een driehoek gelijk is aan schuine zijde

7 Wat is de stelling a² + b² = c² of AB²+AC²=BC²
G-10 College Wat is de stelling a² + b² = c² of AB²+AC²=BC² Tegenwoordig vaak als a²+b²=c². In de jaren 80 van de vorige eeuw: AB²+BC²=AC². Uitkomst is niet altijd een geheel getal. Fouten zijn snel gemaakt. Want wat klopt niet in het voorbeeld?

8 Een paar bewijzen van de stelling:
Een van de meer eenvoudige bewijzen deelt een vierkant met zijde a+b op twee manieren in. In de linkerfiguur is het vierkant opgebouwd uit een vierkant met zijde a, een vierkant met zijde b, en 4 rechthoekige driehoeken waar we mee begonnen. De rechterfiguur is een vierkant opgebouwd uit een vierkant met zijde c, en wederom de 4 rechthoekige driehoeken. In beide figuren zien we een vierkant met zijde a+b, dus beide vierkanten hebben dezelfde oppervlakte. Laten we nu zowel links als rechts de vier rechthoekige driehoeken weg, dan hebben de figuren die je overhoudt nog steeds dezelfde oppervlakte. Maar links houd je een vierkant met zijde a, en een vierkant met zijde b over, met samen een oppervlakte van a2+b2. Rechts houd je een vierkant met zijde c over, met een oppervlakte van c2. Hieruit volgt de stelling. G-10 College

9 Algebraïsch bewijs Algebraïsch bewijs:
G-10 College Algebraïsch bewijs Algebraïsch bewijs: De lengte en breedte van de zijden van het vierkant zijn (a+b), dus de oppervlakte van het grote vierkant is (a+b)2. De oppervlakte: (4 × ½ab) geeft c2. => (a + b)² = 2ab +c² Uitwerken van het kwadraat links geeft: a² + 2ab +b² = 2ab + c² => a² + b² = c² Q.E.D. Telkens zijn een korte en een lange zijde in elkaars verlengde geplaatst. Oppervlakte is ook gelijk aan de som van de vier driehoeken en de oppervlakte van het binnenste vierkant,

10 Bewijs met gelijkvormigheid
G-10 College Bewijs met gelijkvormigheid Bewijs met gelijkvormigheid Een ander inzichtelijk bewijs maakt gebruik van een hulplijn. Hiertoe dient de hoogtelijn vanuit de rechte hoek C, die zijde AB snijdt in het punt D. Het is nu snel in te zien dat driehoek ACD gelijkvormig is aan driehoek ABC. Immers, de hoeken bij A zijn dezelfde, en beide driehoeken hebben ook een rechte hoek, bij C resp. D. Op dezelfde manier zien we dat driehoek CBD gelijkvormig is aan driehoek ABC. We hebben dus drie gelijkvormige driehoeken. Kijken we naar de verhoudingen van de lengtes van de zijden van de driehoeken, dan zien we dat die gelijk zijn aan a:b:c, immers precies de schuine zijden van de drie driehoeken. Dat betekent dat de oppervlaktes van de driehoeken zich verhouden als a²:b²:c², de kwadraten van de verhoudingen van de zijden. Omdat duidelijk is dat opp(CBD) + opp(ACD) = opp(ABC), geldt kennelijk voor een bepaald getal k dat ka²+kb²=kc². En de stelling van Pythagoras volgt door deling door k. □

11 G-10 College

12 Vragen? Wanneer Pythagoras gebruiken?
G-10 College Wanneer Pythagoras gebruiken? Een aantal voorbeelden van bewijzen Vragen?

13 (EI)²+(ND)² =E² Geniet dan van de stelling van Pythagoras
G-10 College Geniet dan van de stelling van Pythagoras De Pythagorasboom (bestaande uit steeds een groot vierkant en twee kleinere,( die weer in verhouding zijn van 3,4,5). (EI)²+(ND)² =E²