Oct 5 2009 slide College 5: Ising en Schelling/Magneten en Mensen 1 gedrag op microschaal gedrag op macroschaal complexiteit: ↔

Presentatie over: "Oct 5 2009 slide College 5: Ising en Schelling/Magneten en Mensen 1 gedrag op microschaal gedrag op macroschaal complexiteit: ↔"— Transcript van de presentatie:

1 Oct 5 2009 slide College 5: Ising en Schelling/Magneten en Mensen 1 gedrag op microschaal gedrag op macroschaal complexiteit: ↔

2 Oct 5 2009 slide College 5: Ising en Schelling/Magneten en Mensen 2 gedrag op microschaal gedrag op macroschaal complexiteit:

3 Oct 5 2009 slide 3 magnetisch materiaal macro

4 Oct 5 2009 slide 4 electronen “draaien om hun as”, en hebben een intrinsiek magnetisch moment. Deze magnetische momenten zijn gelokaliseerd in een (kristallijn) materiaal, en voelen elkaar op atomaire schaal.

5 Oct 5 2009 slide 5 Als er geen extern veld is, kunnen de individuele spins geen weet hebben van wat er op de macro- schaal gebeurt. Toch zijn er materialen die spontaan een macroscopische magnetisatie verkrijgen. Spontane magnetisatie is een collectief effect – iets dat uit zichzelf plaatsvindt wanneer veel spins wisselwerken.

6 Oct 5 2009 slide 6 Het Ising model codeert deze lokale interacties: we stellen het materiaal voor als een serie spins op een rooster Simplificatie: iedere spin is op of neer, en voelt alleen z’n naaste buren.

7 Oct 5 2009 slide 7 Het Ising model codeert deze lokale interacties: we stellen het materiaal voor als een serie spins op een rooster Simplificatie: iedere spin is op of neer, en voelt alleen z’n naaste buren.

8 Oct 5 2009 slide 8 Op elke roosterpositie zit een spin Die spin draagt een energie bij van J is de koppelingsconstante: meet hoe graag de spins dezelfde kant opwijzen

9 Oct 5 2009 slide 9 ferromagneet lokaal parallel antiferromagneet lokaal antiparallel

10 Oct 5 2009 slide 10 Totale energie van het Ising model: Puur lokaal, alleen afh. van aantal andere buren. Centrale vraag: Totale Magnetisatie in evenwicht. Wat zou dat bepalen?

11 Oct 5 2009 slide 11 Totale energie van het Ising model: minima van de energie: alles op of alles neer. Waarom zou het iets anders doen?

12 Oct 5 2009 slide 12 Evenwicht is (bij T=0) het minimum van de energie. Maar! Ising bij eindige temperatuur: De spins fluctueren. Iedere spin kan “spontaan” omklappen, zelfs als dat (tijdelijk) de energie verhoogt. Energie wil geordende (gemagnetiseerde) toestanden Entropie wil wanordelijke (M=0) toestanden.

13 Oct 5 2009 slide 13 hoge Tlage T

14 Oct 5 2009 slide 14 fenomenologie: bij lage T worden de spins lokaal – in domeinen – opgelijnd. M is niet ongelijk nul in een wanordelijke configuratie, maar wordt niet nul door geordende domeinen te maken!

15 Oct 5 2009 slide 15 J=1, 1/kT=0.1: =0 J=1, 1/kT=0.43, is not zero?

16 Oct 5 2009 slide 16 Bij verder verlagen van T verkrijgt het systeem een spontane magnetisatie! 1/kT=0.51/kT=10

17 Oct 5 2009 slide 17 stijgt met dalende temperatuur

18 Oct 5 2009 slide 18 We meten de gemiddelde magnetisatie per spin als functie van T Gemiddelde magnetisatie als functie van T: kritiek punt (voor J=1) bij kT=2.26919… (Onsager). Order-Disorder transitie.

19 Oct 5 2009 slide 19 dicht bij de overgang:

20 Oct 5 2009 slide 20 Dicht bij de faseovergang probeert het systeem lokaal de geordende toestand (M niet nul) uit. Niet willekeurig, maar in geordende steeds grotere clusters van gelijke spins: de correlatielengte 1/kT=0.43

21 Oct 5 2009 slide 21 Complexiteit = Machtwetgedrag = kritiek gedrag machtwetten, hebben we eerder gezien, zijn een vingerafdruk van schaalvrije netwerken – waar zit de schaalvrijheid in dit systeem? ruimtelijke organisatie van de clusters: correlaties spreiden zich via burennetwerken uit over steeds grotere lengteschalen, en deze netwerken spelen de rol van de netwerken die we eerder gezien hebben. Machtwetschaling van afgeleide grootheden volgt die van de netwerken.

22 Oct 5 2009 slide 22 Schaalvrijheid? Scale invariance op de faseovergang. Een precieze overeenkomst tusseneffectieve (blok)spins op steeds grotere schalen en individuele spins. ==

23 Oct 5 2009 slide 23 In natuurkunde: Ising is universeel, ook voor veel ingewikkeldere (meer realistische modellen) vinden we dezelfde machten dicht bij de faseovergang. Niet alleen schaalinvariantie – ook “modelinvariantie” dicht bij kritieke punten zijn heel veel eigenschappen irrelevant en zien we zuiver het effect van de belangrijkste interacties. Van onschatbaar nut voor het analyseren van complexe fenomenen: denk goed na over je model en – hoe simpel ook – het zou wel eens alles kunnen verklaren! Vraag is dan wel, wat zijn de belangrijke zaken?