CROP normaalverdeling

Presentatie over: "CROP normaalverdeling"— Transcript van de presentatie:

1 CROP normaalverdeling
Indeling normaalverdeling Inleiding kansrekening Kansrekening bij detectie van kosmische stralen Van hieruit kun je elk van de drie onderdelen bereiken. Aan het eind kun je weer terug naar dit startscherm (indeling).

2 Geiger-Müller tellers tikken onregelmatig als je ze bij een bron houdt
CROP Je hebt gemerkt dat gemeten waarden nogal eens fluctueren Geiger-Müller tellers tikken onregelmatig als je ze bij een bron houdt De aantallen die je meet bij een enkele HISPARC-detector Meetwaarden zijn niet absoluut.

3 Kosmische straling vormt een constante achtergrond die de aarde
CROP Kosmische straling vormt een constante achtergrond die de aarde gelijkmatig treft vanuit alle richtingen Gemeten waarden zijn NIET echt CONSTANT Lange termijn gemiddelden geven de werkelijkheid redelijk goed weer

4 CROP Uit metingen BLIJKT dat de gemeten waarde afhangt van: Tijdstip van de dag Hemelrichting Weersomstandigheden Waarom? Van de weersinvloeden is beken dat ze het gemiddelde beïnvloeden. Het blijkt vooral af te hangen van de luchtdruk (= hoeveel moleculen een muon “tegenkomt”). Dit is overigens een prima onderwerp voor onderzoek door leerlingen. Al deze invloeden kun je meten. Je kunt er zelfs correcties voor bepalen. Maar: je meting zal meestal niet het echte gemiddelde opleveren! Gelukkig kom je met goede metingen dichtbij het echte gemiddelde.

5 Je zet een experiment op om een bepaald verschijnsel te onderzoeken
CROP Inleiding Je zet een experiment op om een bepaald verschijnsel te onderzoeken …en je laat het experiment een bepaalde tijd lopen.… Maar je meet niets: Je telt NUL tikken. Wat betekent dat? Intro (on)nauwkeurigheid. Stel dat je in een meting van een uur één treffer (=gebeurtenis) waarneemt Kun je dan concluderen dat dit verschijnsel een tempo heeft van een 1/uur?

6 CROP Eerst even afspreken: Random gebeurtenissen: zijn onafhankelijk van elkaar worden niet beïnvloed door voorgaande gebeurtenissen zijn niet te voorspellen 0 sec tijd Afspraak over random. Nadenken over de keuze van het interval. Als het aantal treffers op 1 uitkomt kan dit het resultaat zijn van het toevallig vastleggen van een zeldzaam optredend verschijnsel dat beter weer-gegeven kan worden door een veel lager tempo (~0?). Of de looptijd van de meting kan de gebeurtenis net gemist hebben(net te laat gestart of te vroeg beëindigd).

7 1 ± 1 2 ± 1? ± 2? 37 ± minstens een paar? 1000 ± ?
CROP Een meting van 1 zou in werkelijkheid een gemiddelde kunnen zijn van 0 of misschien zelfs 2? 1 ± 1 Een meting van 2 We werken toe naar een antwoord op deze laatste vraag. 2 ± 1? ± 2? Een meting van 37 37 ± minstens een paar? Een meting van 1000 1000 ± ?

8 Dit histogram laat, minuut na minuut,
CROP 2-voudige coïncidenties Gemeten per minuut Gedurende 2 uur Eigen voorbeeld? Dit histogram laat, minuut na minuut, 2-voudige coincidencies zien tussen 2 gestapelde CROP detectoren  

9 In werkelijkheid zijn dit lichte fluctuaties
CROP 2-voudige coïncidenties Gemeten per minuut Gedurende 2 uur 657 562 500 Opmerkingen over presentaties. Merk op dat de 0 “onderdrukt” is! (de vertikale as begint bij 500, niet bij 0)  In werkelijkheid zijn dit lichte fluctuaties rondom een gemiddelde van ruim 600.  Laagste waarde 562 Hoogste waarde 657 De meeste metingen liggen dichtbij het gemiddelde van tikken/minuut

10 Geen plotselinge pieken van 800; geen terugval tot 400.
CROP 2-voudige coïncidenties Gemeten per minuut Gedurende 2 uur idem Geen plotselinge pieken van 800; geen terugval tot 400.  Zijn dit goede data?  Hoe kunnen we vaststellen of dit goede metingen zijn of dat de verschillen te groot zijn?

11 ? De standaarddeviatie is een berekening
CROP Om de spreiding in de meetgegevens beter weer te geven hebben we als hulpmiddel: de standaardafwijking (of ook wel de standaarddeviatie ) De standaarddeviatie is een berekening van hoe ver, gemiddeld, iedere meting verwijderd is van het gemiddelde .  Afspraak standaarddeviatie. Als alle metingen identiek waren, dan was het gemiddelde duidelijk en zou de standaarddeviatie simpelweg zijn.   ?

12 De standaarddeviatie is een berekening van hoe ver, gemiddeld, iedere
CROP Om de spreiding in de meetgegevens beter weer te geven hebben we als hulpmiddel: de standaardafwijking (of ook wel de standaarddeviatie ) De standaarddeviatie is een berekening van hoe ver, gemiddeld, iedere meting verwijderd is van het gemiddelde .  Als alle metingen identiek waren, dan was het gemiddelde duidelijk en zou de standaarddeviatie simpelweg zijn.  

13 Hartslag gedurende 100 dagen
CROP Mijn hartslag bij het ontbijt gedurende 100 dagen Frequentietabel van de verdeling van de hartslag 56 1 57 0 58 1 59 1 60 2 61 2 62 5 63 3 64 3 65 7 66 7 67 8 68 12 69 8 70 10 71 7 72 8 73 5 74 3 75 3 76 2 77 1 78 0 79 1 Hartslag gedurende 100 dagen Eindexamenresultaten?

14 Hartslag gedurende 100 dagen
CROP Hartslag gedurende 100 dagen Overzicht termen. Spreiding = xmax-xmin = 23 gemiddelde= =67.20 Modus = (=meest voorkomend) Mediaan = (=middelste waarneming)

15 De spreiding kan misleidend zijn als de metingen buitensporige
CROP Het gemiddelde alleen laat ons niet zien hoe dicht op elkaar gepakt de data zijn. Spreiding. De spreiding kan misleidend zijn als de metingen buitensporige gegevens bevatten:

16 CROP spreiding kan misleidend zijn. spreiding

17 s = σ (xi – m)2 N gemiddelde, m
CROP σ beschrijft de spreiding in de metingen op een andere manier: door een berekening van hoe groot de gemiddelde afstand van een meetpunt is tot het gemiddelde N (xi – m)2 N s = i=1 Het gemiddelde mu, is feitelijk de echte waarde van het te meten verschijnsel. Wanneer we een steekproef nemen heet het gemiddelde daarvan xstreep gemiddelde, m

18 Hartslag gedurende 100 dagen
CROP Hartslag gedurende 100 dagen Formule aanpassen Spreiding = xmax-xmin = 23 gemiddelde = =67.20 standaardafwijking s = 4.357= (xi – m)2 N

19 De nieuwe lijnen geven de afstand aan van een
CROP 2-voudige coïncidenties Gemeten per minuut Gedurende 2 uur De echte waarde van de standaarddeviatie heet sigma; de berekende waarde (uit de steekproef) heet sd De nieuwe lijnen geven de afstand aan van een en twee keer de standaarddeviatie onder en boven het gemiddelde Voor deze gegevens gaf Excel een SD van 20.  Dus staan de lijnen op: 609.5 ± 20.0 =   and  ± 40.0 =

20 De meeste meetwaarden blijken binnen
CROP 2-voudige coïncidenties Gemeten per minuut Gedurende 2 uur 1, 2 en 3 sigma. De meeste meetwaarden blijken binnen ±1 SD van het gemiddelde te liggen.  Een paar meetwaarden vallen binnen 1 à 2 SD.  Een gering aantal (hier 5) ligt op meer dan 2 SD van het gemiddelde.  Hier zijn er geen meetpunten op meer dan 3 SD.  de SD beschrijft hoe dicht op elkaar gepakt de meetwaarden rond het gemiddelde zijn, en geeft een grens aan over hoe ver ze mogen spreiden.

21 Frequentieverdeling van 2-voudige coïncidenties
CROP Tempo (aantallen per minuut) Frequentieverdeling: hoe vaak komt iedere meting voor. Frequentieverdeling van 2-voudige coïncidenties frequentie, opgenomen in intervallen van een minuut gedurende een periode van 1 week (zelfde opstelling) Metingen gegroepeerd rondom het gemiddelde(615).  Nul onderdrukt; weinig data onder 550 (of boven 680). *Verticale lijnen op ±1, 2, 3 SD van het gemiddelde.  *Je ziet dat de meeste metingen binnen ±1 SD van het gemiddelde liggen. *Heel af en toe worden er metingen gevonden met  >3 SD van het gemiddelde.

22 CROP In de wiskunde heeft deze kromme een naam: Gausskromme Gausskromme:

23 µ- en µ+ bevat 68% Karakteristiek voor deze vorm: het stuk tussen
CROP Karakteristiek voor deze vorm: het stuk tussen µ- en µ+ bevat 68% Van het totale oppervlak onder de curve. Met andere woorden: 68% van de metingen valt binnen ±1 SD van het gemiddelde. 95% van de metingen binnen ±2 SD 99.7% van de metingen binnen ±3 SD

24 Omgekeerd kunnen we ook zeggen:
CROP We hebben nu een aardig idee over hoe metingen verspreid kunnen liggen rondom een gemiddelde. Omgekeerd kunnen we ook zeggen: Als we een meting doen dan zal deze in 68% van de gevallen op minder dan een SD van het gemiddelde af liggen. Maar we weten nog steeds niet nauwkeurig hoe groot dit gemiddelde werkelijk is! Je ziet dus dat een goede meting wel erg dicht bij de echte waarde kan zitten maar nooit helemaal perfect zal zijn. (Zelfs als dat zo is weten we dat niet met zekerheid.) Daarom geven we in de kansrekening een verschil aan tussen de echte waarden en de gemeten waarden.

25 het aantal jongeren in Nijmegen van 12 tot 18 jaar is 14.987.
CROP Voorbeeld: het aantal jongeren in Nijmegen van 12 tot 18 jaar is *Gemiddelde lengte = m (=µ) *Gem. afwijking: 5,3 cm (= ) Steekproef: alle leerlingen van onze school: (1412) Gemiddelde m (= x) Gem. afw: 6,1 cm (=SD) Je snapt dat hoe groter de steekproef is hoe beter je bij het echte gemiddelde uitkomt.

26 CROP Deze voorgaande beschrijving gaat op voor alle onafhankelijke gebeurtenissen. Dit zijn zowel allerlei soorten metingen als spellen met een dobbelsteen. Bij een grafische voorstelling van de uitkomsten ontstaat dan de bekende Gausskromme. Soms is het gemiddelde (m) niet eens bekend, zoals bij onze opstelling voor het meten van kosmische straling. Toch kun je dan met een beperkt aantal metingen een redelijke schatting maken van wat het gemiddelde moet zijn en hoe groot de spreiding daarin is. Het zal je nu wel duidelijk zijn dat één meting geen bruikbaar gemiddelde oplevert. Terug naar Indeling