Toegepaste wiskunde Vergeet-mij-nietjes

Presentatie over: "Toegepaste wiskunde Vergeet-mij-nietjes"— Transcript van de presentatie:

1 Toegepaste wiskunde Vergeet-mij-nietjes
ribWBKII HRO-IBB Toegepaste wiskunde Vergeet-mij-nietjes

2 Kromming, zakking, hoekverandering

3 Relaties

4 verband tussen verplaatsing en vervorming

5 Buigingstheorie

6 Hoekverdraaiing en zakking

7 Voorbeeld 01 “Uitkragende ligger met gelijkmatige belasting”

8 Voorbeeld 01 “Uitkragende ligger met gelijkmatige belasting”

9 Voorbeeld 01 “Uitkragende ligger met gelijkmatige belasting”

10 Voorbeeld 02 “Ligger op 2 steunpunten met gelijkmatige belasting”

11 Voorbeeld 02 “Ligger op 2 steunpunten met gelijkmatige belasting”

12 Voorbeeld 02 “Ligger op 2 steunpunten met gelijkmatige belasting”

13 Voorbeeld 02 “Ligger op 2 steunpunten met gelijkmatige belasting”

14 Voorbeeld 02 “Ligger op 2 steunpunten met gelijkmatige belasting”

15 Voorbeeld 02 “Ligger op 2 steunpunten met gelijkmatige belasting”

16 Voorbeeld 3 “uitkragende ligger met puntlast”

17 Voorbeeld 3 “uitkragende ligger met puntlast”

18 Voorbeeld 3 “uitkragende ligger met puntlast”

19 Voorbeeld 3 “uitkragende ligger met puntlast”

20 Methode gereduceerde momentenvlak

21 Methode gereduceerde momentenvlak

22 Methode gereduceerde momentenvlak

23 Stellingen gereduceerd momentvlak

24 Uitkragende ligger met constant momentverloop
Oppervlakte: Opp.(θ1) = M * L 1e stelling φB = φA + θ1 φB = φA + ML/EI. φB = ML/EI 2e stelling ωB = ωA + θ1*a ωB = - M * L * ½ L / EI ωB = - ML2 /2 EI φA = 0 ω A B L θ1 Mmax a = ½ L M-lijn Knikje (θ1) omhoog dan positieve hoek en negatieve zakking

25 Uitkragende ligger met puntlast op het einde
F Mmax = FL θ1 = ½ * F* L * L / EI θ1 = FL2 / 2EI 1e stelling φB = φA - θ1 φB = 0 - θ1 φB = - FL2 / 2 EI 2e stelling ωB = ωA + θ1*a ωB = 0 + θ1*a ωB = θ1*a ωB = ½ * F* L2 * 2/3L / EI ωB = FL3 / 3EI φA = 0 A B ω L Mmax θ1 a = 2/3 L M/EI-lijn Knikje (θ1) beneden dan negatieve hoek en positieve zakking

26 Uitkragende ligger met gelijkmatig verdeelde belasting
Mmax = ½ * qL * L θ1 = 1/3 * ½ qL2 * L / EI θ1 = 1/6 ql3 /EI 1e stelling φB = φA - θ1 φB = 0 - θ1 φB = - 1/6 ql3 / EI 2e stelling ωB = ωA + θ1*a ωB = 0 + θ1*a ωB = θ1*a ωB = 1/6 ql3 /EI * 3/4L ωB = ql4 / 8 EI q A B ω L Mmax θ1 a = 3/4 L M/EI-lijn Knikje (θ1) beneden dan negatieve hoek en positieve zakking

27 Uitkragende ligger met q- en puntlast
F Momentenlijn 1 θ1 = ½ FL2/EI 1e stelling φB1 = - ½ FL2/EI 2e stelling ωB1 = ½ FL2/EI * 2/3 L ωB1 = FL3/3EI Momentenlijn 2 θ2 = 1/3 * 1/2 qL2 * ½ L / EI θ2 = qL3 / 12EI φB2 = - qL3 / 12EI ωB2 = qL3 / 12EI * 7/8 L ωB2 = 7qL4 / 96EI q A B ½ L ωBtot L Mmax 1 θ1 a = 2/3 L Mmax 2 θ2 M/EI-lijn a = 3/4 * ½ L + ½ L = 7/8 L M/EI-lijn

28 Uitkragende ligger met q- en puntlast
F q A B ½ L ωBtot L Mmax 1 φBtot = (- ½ FL2/EI ) - ( qL3 / 48EI )  1e stelling ωBtot = ( FL3/3EI ) + ( 7qL4 / 96EI )  2e stelling M/EI-lijn

29 Ligger met puntlast op 2 steunpunten
ω M = ¼ FL Opp= ¼ FL * ½ L = 1/8 FL2 θ1 = FL2 / 8EI Hoek A en B ongelijk aan nul Zakking in A en B is nul Zakking in het midden ongelijk aan nul ωB = - φA * L – θ1 * ½ L φA = ( - FL2/8EI * 1/2L) / L φA = - FL2/16EI φB = θ1 – φA φB = FL2/16EI φA θ1 ½ L Positieve buiging, onderzijde balk wordt op trek belast. Knikje positief, zakking negatief

30 Ligger met puntlast op 2 steunpunten
ω M = ¼ FL Opp. = ¼ FL * ½ L * ½ = 1/16 FL2 θ2 = FL2/16 EI 2e stelling ωC = - φA * ½ L – θ2 * 1/6 L ωC = - (-FL2/16EI * 1/2 L) - FL2/16EI * 1/6 L ωC = FL2/16EI * 1/2 L - FL2/16EI * 1/6 L ωC = 2FL3/96EI = FL3/48EI A B C φA θ2 ½ L 1/3 * ½ L = 1/6L Zakking in het midden ω = FL3/48EI

31 Ligger met gelijkmatig verdeelde belasting op 2 steunpunten
M = 1/8qL2 Opp.= 2/3 * 1/8qL2 * L = 2/24 qL3 = qL3 / 12 θ1 = qL3 / 12EI 2e stelling ωB = -φA * L – θ1 * 1/2L φA = - θ1 * 1/2L / L = - ½ θ1 φA = - ½ * qL3 / 12 EI = - qL3 / 24EI φA = - ½ * qL3 / 12 EI φA = - qL3 / 24EI φB = θ1 – φA φB = qL3 / 24EI q ω A B L φA θ1 Hoek A en B ongelijk aan nul Zakking in A en B is nul Zakking in het midden ongelijk aan nul

32 Ligger met gelijkmatig verdeelde belasting op 2 steunpunten
q Opp. = 2/3 * 1/8qL2 * 1/2L = ql3 / 24 θ2 = qL3 / 24EI 2e stelling ωC = - (-φA * ½ L) – θ2 * a ωC = qL3/24EI * ½ L – qL3/24EI * 3/8 * 1/2L ωC = qL4/48EI – 3qL4/384EI ωC = 8qL4/384EI – 3qL4/384EI ωC = 5/384 * qL4/EI ω A B L φA θ2 θ1 a = 3/8 * ½ L ½ L Zakking in het midden ω = 5/384 * ql4/EI

33 Ligger op 2 steunpunten met een moment op het einde
C θ1 = ML/2EI 2e stelling ωB = - φA * L – θ1 * 1/3L φA = - ML/2EI * 1/3L / L φA= - ML/6EI φB = ML/2EI – ML/6EI φB = ML/3EI θ2 = 1/2M * ½ L * ½ = ML/8EI ωC = -(φA * ½ L) – θ2 * 1/3 * ½ L ωC = ML2/2EI – ML2/48EI ωC = ML2/16EI A B L φA θ2 θ1 a2 = 1/3 * ½ L a1 = 1/3 * L

34 Opgave#1 Gevraagd: F=5kN a. Is de buiging negatief of positief ?
b. Reactiekrachten c. D-lijn d. M-lijn e. De hoekverandering in A en B f. De zakking in A en B d. De zakkingslijn A B 6 E = 2,1 * 105 N/mm2 Iy = 934 * 104 mm4

35 Oplossing opgave 1 M = 30 kNm F=5kN Buiging is negatief, onderste vezels worden op druk belast ΣM t.o.v. A = 0 -5 * 6 + M = 0 M = 30 kNm ΣFv = 0 -Fa + 5 = 0 Fa = 5 kN A A B B Fa = 5 kN 6 5 D-lijn + 30 - M-lijn

36 Oplossing opgave 1 Knikje negatief dan zakking positief
M = 30 kNm F=5kN Knikje negatief dan zakking positief M = FL  opp. = ½ FL2 = 90 θ1 = FL2/2EI = 90/EI Hoekverandering in A = 0 φB = 0 – θ1 = - 90/EI EI = 2.1*108 * 934 * 10-8 EI = kN/m2 φB = -90/ = rad A B Fa = 5 kN 6 5 D-lijn + 30 - M-lijn θ1 a = 2/3 * 6 = 4

37 Oplossing opgave 1 Zakking in A is nul ωB = φA + θ1 * a ωB = 90/EI * 4
M = 30 kNm F=5kN Zakking in A is nul ωB = φA + θ1 * a ωB = 90/EI * 4 ωB = 360/EI = 360/1961.4 ωB = 0,184 m = 184 mm A B ωB= 184mm Fa = 5 kN 6 5 D-lijn + 30 - M-lijn θ1 a = 2/3 * 6 = 4

38 Opgave 2 Gevraagd: a. Is de buiging negatief of positief ?
b. Reactiekrachten c. D-lijn d. M-lijn e. De hoekverandering in A en B f. De zakking in A en B d. De zakkingslijn q=5kN/m A B 6 E = 2,1 * 105 N/mm2 Iy = 934 * 104 mm4

39 Oplossing opgave 2 M = 90 kNm Buiging is negatief, onderste vezels worden op druk belast q=5kN/m ΣM t.o.v. A = 0 -5 * 6 * 3 + M = 0 M = 90 kNm ΣFv = 0 -Fa + 30 = 0 Fa = 30 kN A Fa = 30 kN 6 5 D-lijn + 90 M-lijn - θ1 a = 3/4 * 6 = 4.5

40 Oplossing opgave 2 Knikje negatief dan zakking positief
M = 90 kNm Knikje negatief dan zakking positief M = ½ ql2  opp. = ½ ql2 * l * 1/3 θ1 = ql3/6EI = 180/EI Hoekverandering in A = 0 φB = 0 – θ1 = - 180/EI EI = 2.1*108 * 934 * 10-8 EI = kN/m2 φB = -180/ = rad q=5kN/m A Fa = 30 kN 6 5 D-lijn + 90 M-lijn - θ1 a = 3/4 * 6 = 4.5

41 Oplossing opgave 2 Zakking in A is nul ωB = φA + θ1 * a
M = 90 kNm Zakking in A is nul ωB = φA + θ1 * a ωB = 180/EI * 4 ωB = 810/EI = 810/1961.4 ωB = 0,413 m = 413 mm q=5kN/m A ωB= 413mm Fa = 30 kN 6 5 D-lijn + 90 M-lijn - θ1 a = 3/4 * 6 = 4.5

42 Opgave#3 Gevraagd: F=5kN B A a. Is de buiging negatief of positief ?
b. Reactiekrachten c. D-lijn d. M-lijn e. De hoekverandering in A en B f. De zakking in A en B d. De zakkingslijn B A 6 E = 2,1 * 105 N/mm2 Iy = 934 * 104 mm4

43 Oplossing opgave 3 F=5kN Buiging is positief, onderste vezels worden op trek belast B A Fa = 2.5 kN Fa = 2.5 kN 6 ΣM t.o.v. A = 0 -5 * 3 + Fb * 6 = 0 Fb = 2,5 kN ΣFv = 0 -Fa + 5 – 2,5 = 0 Fa = 2,5 kN M = ¼ FL = 7.5 kNm 2.5 + D-lijn - -2.5 - φA θ1 M-lijn + 7.5 ½ L

44 Oplossing opgave 3 Knikje positief dan zakking negatief
F=5kN Knikje positief dan zakking negatief opp. = ¼ FL * ½ L θ1 = 1/8 FL2/EI = 22.5/EI Zakking in A en B is nul ωB = -φA * L – θ1 * ½ L φA = - FL2/16EI φB = θ1 – φA = FL2/16EI EI = 2.1*108 * 934 * 10-8 EI = kN/m2 -φA = φB = 11.25/ = rad B A Fa = 2.5 kN 6 2.5 + D-lijn - -2.5 - φA θ2 θ1 M-lijn + 7.5 ½ L

45 Oplossing opgave 3 ωC = FL3/32EI)– FL3/96EI ωC = FL3/48EI = 22.5/EI
F=5kN Knikje positief dan zakking negatief opp. = ¼ FL * ½ L * ½ θ2 = 1/16 FL2/EI = 11.25/EI Zakking in C ωC = -φA * ½ L – θ2 * 1/3 L ωC = - (-FL2/16EI) * ½ L – FL2/16EI * 1/6 L ωC = FL3/32EI)– FL3/96EI ωC = FL3/48EI = 22.5/EI EI = 2.1*108 * 934 * 10-8 EI = kN/m2 ωC = 22.5/ = m = 115 mm ωC= 115mm B A Fa = 2.5 kN 6 2.5 + D-lijn - -2.5 - φA θ2 θ1 M-lijn + 7.5 ½ L a = 1/3 * ½ L

46 Opgave 4

47 Oplossing opgave 4

48 Oplossing opgave 4

49 Oplossing opgave 4

50 Oplossing opgave 4 Deel A - B zakkingslijn A B M= - 10 kNm 6

51 Oplossing opgave 4

52 Oplossing opgave 4

53 Oplossing opgave 4

54 Oplossing opgave 4 19 KWISPELEFFECT 32

55 BIJLAGEN

56 Bijlage 2 Graden  Radialen 90°/360° * 2π = 1,57 → 1,57 / π = 0,5 →
1,57 = 0,5π rad = α / 360 * 2π Radialen  Graden 1 ½ π = 4,71 → 4,71 / 2π * 360° = 270° α = rad / 2π * 360°

57 Zwaartepunten - basisgevallen
½ h 7/10 h 2/3 h h h ½ h 1/3 h 3/10 h 1/3 b 2/3 b 1/4 b 3/4 b ½ b ½ b b b b A = b * h Rechthoek A = ½ *b * h Driehoek A = 1/3 *b * h Ex paraboolvlak

58 Zwaartepunten - basisgevallen
3/5 h R ½ D 3/4π R h 2/5 h R R 3/8 b 5/8 b D b 2R A = πD2 / 4 Circel A = 2/3 * b * h Half parabool A = πR2 / 2 Half circel

59 Oppervlakten en zwaartepuntafstanden
-M/EI θ = ML / 2EI x-as M/EI lijn 1/3L 2/3L L

60 Oppervlakten en zwaartepuntafstanden
Holle parabool -M/EI θ = ML / 3EI x-as M/EI lijn 1/4L 3/4L L

61 Oppervlakten en zwaartepuntafstanden
Bolle parabool -M/EI θ = 2ML / 3EI x-as M/EI lijn 3/8L 5/8L L

62 Einde M.J.Roos Maart 2008