Download de presentatie
1
Hogere Wiskunde Rijen en Reeksen Sommeren College week 3
Een inleiding M.J.Roos 8 mei 2011
2
Rijen en Reeksen sommeren
is de som van de getallen f(k) die ontstaat als k achtereenvolgens de waarden m, m + 1,….n (n ≥ m) doorloopt. In formulevorm:
3
Rijen en Reeksen sommeren
n! is het produkt van alle getallen van alle natuurlijke getallen van n tot en met 1 (n in N+) In formulevorm luidt deze definitie: n! = n * (n – 1) * (n – 2)…..3 * 2 * 1 Voorbeelden: 3! = 3 * 2 * 1 = 6 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24, maar ook 4! = 4 * 3! (n + 1)! = (n + 1) * n * (n – 1) * (n – 2)….3 * 2 * 1 = (n + 1) * n!
4
Rijen en Reeksen sommeren
Voorbeelden: Definitie: 0! = 1
5
Rijen en Reeksen sommeren
Binomiaalcoeficienten Voorbeelden
6
Rijen en Reeksen sommeren
De Driehoek van Pascal (a + b)0 = (a + b)1 = a1 + b1 (a + b)2 = a2 + 2a1b1 + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b1 + 3a1b2 +b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b3 + b4 De macht van a, van links naar rechts, neemt met 1 af en de macht van b neemt met 1 toe.
7
Rijen en Reeksen sommeren
De Driehoek van Pascal De coefficienten van de machten a en b kunnen we als volgt rangschikken 1 1 1
8
Rijen en Reeksen sommeren
Nemen we bijvoorbeeld de laatste rij: 1, 5, 10, 10, 5 Dan zijn deze getallen gelijk aan de uitkomsten van: Deze getallen in de Driehoek van Pascal worden binomiaalcoefficienten genoemd
9
Rijen en Reeksen sommeren
Het Binomium van Newton
10
Rijen en Reeksen sommeren
Het Binomium van Newton We kunnen nu voor (a + b)n opschrijven: Met de Ʃ-notatie kunnen we dit opschrijven als: Deze reeks heet de Binomiaalontwikkeling van (a+b)n
11
Rijen en Reeksen sommeren
Voorbeeld, bewijs dat Men kan de faktor 16-k toevoegen omdat deze altijd gelijk is aan 1.
12
Rijen en Reeksen sommeren
Voorbeeld, bewijs dat
