Methodologie & Statistiek I Toetsen van twee gemiddelden 6.1.

Presentatie over: "Methodologie & Statistiek I Toetsen van twee gemiddelden 6.1."— Transcript van de presentatie:

1 Methodologie & Statistiek I Toetsen van twee gemiddelden 6.1

2 U kunt deze presentatie ook op uw eigen PC afspelen!
Gebruikmaken van internet: Education Health sciences Presentations of lectures “op dit moment ……. beschikbaar Opening --- Hoofdstuk 5 (Principes van …) Powerpointviewer downloaden”

3 Deze diapresentatie werd vervaardigd door
Tjaart Imbos & Michel Janssen van de Capaciteitsgroep Methodologie en Statistiek. De presentatie mag alleen worden gecopieerd voor eigen gebruik door studenten en medewerkers van de Universiteit Limburg in Maastricht. Met eventuele op- en aanmerkingen kunt u terecht bij: Universiteit Maastricht Capaciteitsgroep M&S Tjaart Imbos Postbus 616 6200 MD Maastricht

4 Methodologie & Statistiek I Toetsen van twee gemiddelden 6.1
27 februari 2002

5 vorige hoofdstuk . . . Toetsen van één gemiddelde
Kijken of de steekproef met dat bepaalde gemiddelde redelijkerwijs afkomstig kan zijn uit een populatie met een m waarvan in de hypothesen werd uitgegaan. De vraag was te beantwoorden omdat de verdeling van x-gemiddelden uit de veronderstelde populatie (H0) bekend is. s bekend: z-toets s niet bekend: t-toets

6 kern van statistisch toetsen
Hoe extreem is de gevonden steekproefwaarde binnen de verdeling van de toetsingsgrootheid

7 hoofdstuk 6 Toetsen van twee gemiddelden Toetsen van gemiddelden van
twee steekproeven

8 Er worden twee situaties onderscheiden
afhankelijke of gepaarde steekproeven onafhankelijke of niet gepaarde steekproeven Keuze wordt bepaald door de opzet van het onderzoek voorbeeld……..

9 afhankelijke of gepaarde steekproeven
Onderzoek naar het rendement van twee soorten benzines. Men wil een aantal auto’s op de ene soort en een aantal auto’s op de andere soort laten rijden en de afstand (mijlen) meten die wordt gereden op 1 gallon van de betreffende benzine.

10 afhankelijke of gepaarde steekproeven
Onderzoek naar het rendement van twee soorten benzines. Men wil een aantal auto’s op de ene soort en een aantal auto’s op de andere soort laten rijden en de afstand (mijlen) meten die wordt gereden op 1 gallon van de betreffende benzine. Men realiseert zich op tijd dat het rendement van de auto’s mede afhankelijk is van merk/model en zelfs binnen merk/model kan variëren oplossing ???

11 afhankelijke of gepaarde steekproeven
oplossing: Laat tien verschillende auto’s achtereenvolgens op de twee soorten benzine rijden en ga na of er per auto verschil is in de gereden afstand. Aan elk element in de steekproef worden twee metingen verricht Model wordt gebruikt in situaties waar sprake is van een voor- en nameting

12   Aantal mijlen dat 10 auto’s afleggen op 1 gallon soort benzine
Auto A B  afstand in mijlen, gereden op 1 gallon van de betreffende benzine 

13 Aantal mijlen dat 10 auto’s afleggen op 1 gallon
soort benzine Auto A B Redenering: Als er geen verschil zou zijn tussen de twee soorten benzines, zou het verschil in gereden mijlen ongeveer gelijk moeten zijn aan 0. H0: het verschil = 0 HA: het verschil > 0

14 Aantal mijlen dat 10 auto’s afleggen op 1 gallon
soort benzine Auto A B verschil A-B 0.8 1.2 0.7 1.0 0.6 -0.1 0.0 0.5

15 ? Het twee-steekproevenprobleem is daarmee
teruggebracht tot een probleem met een steekproef: Kan de steekproef (van verschillen) redelijkerwijs afkomstig zijn uit een populatie met m= 0 en onbekende s ?

16 De gemiddelden van alle steekproeven (n=10)
uit de populatie met m= 0 zijn normaal verdeeld met verwachtingswaarde=0 en variantie= s2/n Omdat s2 niet bekend is, wordt de s2 van de steekproef als schatter gebruikt. De beste schatter van de variantie van de verdeling van steekproefgemiddelden is dan s2/n.

17 DE TOETS: maak gebruik van het kritieke gebied Formuleer de nul-hypothese Stel onbetrouwbaarheid (a) vast Kies de toetsingsgrootheid Bepaal de verdeling van de toetsingsgrootheid Bepaal kritieke gebied Bereken toetsingsgrootheid t* Trek conclusie: t* ligt in kritieke gebied: H0 verwerpen t* ligt niet in kritieke gebied: H0 niet verwerpen

18 Formuleer de H0 Stel onbetrouwbaarheid (a) vast Kies de toetsingsgrootheid Bepaal de verdeling van de toetsingsgrootheid Bepaal kritieke gebied Bereken toetsingsgrootheid t* Trek conclusie: t* in kritieke gebied: H0 verwerpen t* niet in kritieke gebied: H0 niet verwerpen Verwachtingswaarde verschillen = 0 HA: benzine A levert meer mijlen/gallon Kies a is gelijk aan 0.05 (=eenzijdig) 3. Toetsingsgrootheid: t* heeft een t-verdeling met 9 vrijheidsgraden t(9,0.95)= 1.833 Kritieke gebied: alle waarden rechts van 1.833 6.

19 conclusie ? Formuleer de H0 Stel onbetrouwbaarheid (a) vast
Kies de toetsingsgrootheid Bepaal de verdeling van de toetsingsgrootheid Bepaal kritieke gebied Bereken toetsingsgrootheid t* Trek conclusie: t* in kritieke gebied: H0 verwerpen t* niet in kritieke gebied: H0 niet verwerpen Verwachtingswaarde verschillen = 0 HA: benzine A levert meer mijlen/gallon Kies a is gelijk aan 0.05 (=eenzijdig) 3. Toetsingsgrootheid: conclusie ? t* heeft een t-verdeling met 9 vrijheidsgraden t(9,0.95)= 1.833 Kritieke gebied: alle waarden rechts van 1.833 6.

20 Er werden twee situaties onderscheiden
afhankelijke of gepaarde steekproeven onafhankelijke of niet gepaarde steekproeven Keuze wordt bepaald door de opzet van het onderzoek voorbeeld……..

21 niet gepaarde steekproeven
onafhankelijke of niet gepaarde steekproeven Men doet onderzoek naar salarisverschillen tussen enerzijds docenten aan openbare scholen en anderzijds docenten aan privé-scholen. Men neemt een steekproef van de docenten aan de ene schoolsoort en een steekproef van de docenten aan de andere schoolsoort. De elementen in de ene steekproef hebben niets van doen met de elementen uit de andere steekproef.

22 Men doet onderzoek naar salarisverschillen
tussen enerzijds docenten aan openbare scholen en anderzijds docenten aan privé-scholen. Men neemt een steekproef van de docenten aan de ene schoolsoort en een steekproef van de docenten aan de andere schoolsoort. De elementen in de ene steekproef hebben niets van doen met de elementen uit de andere steekproef. Er is sprake van twee populaties, met uit elk daarvan een steekproef.

23 ? steekproef-1 uit populatie-1: n= 30
Is het verschil ($ ) toevallig of niet ?

24 Om die vraag te kunnen beantwoorden
moet je kennis hebben van het gedrag van het verschil tussen twee gemiddelden Net als , is ook een random-variabele

25 ? Trek uit populatie-1 met m1 en s1
‘alle’ mogelijke steekproeven van n1 stuks en bepaal de gemiddelden Wat valt er te zeggen over de verdeling van de steekproefgemiddelden? ?

26 ? Trek uit populatie-1 met m1 en s21
‘alle’ mogelijke steekproeven van n1 stuks en bepaal de gemiddelden ? Wat valt er te zeggen over de verdeling van de steekproefgemiddelden? De steekproefgemiddelden zijn, bij benadering, normaal verdeeld met verwachtingswaarde = m1 en variantie = s21/n1

27 ? Trek uit populatie-2 met m2 en s22
‘alle’ mogelijke steekproeven van n2 stuks en bepaal de gemiddelden ? Wat valt er te zeggen over de verdeling van de steekproefgemiddelden?

28 ? Trek uit populatie-2 met m2 en s22
‘alle’ mogelijke steekproeven van n2 stuks en bepaal de gemiddelden ? Wat valt er te zeggen over de verdeling van de steekproefgemiddelden? De steekproefgemiddelden zijn, bij benadering, normaal verdeeld met verwachtingswaarde = m2 en variantie = s22/n2

29 Geprojecteerd op het voorbeeld:
Het gemiddelde van de steekproef met salarissen van leraren aan openbare scholen is een exemplaar uit de verdeling van de gemiddelden van alle steekproeven met leraarsalarissen aan openbare scholen. Het gemiddelde van de steekproef met salarissen van leraren aan prive scholen is een exemplaar uit de verdeling van de gemiddelden van alle steekproeven met leraarsalarissen aan prive scholen.

30 Zijn exemplaren uit twee verdelingen
van x-gemiddelden Het verschil ($ ) is een exemplaar uit de verdeling van alle verschillen Als meer bekend is omtrent de verdeling van die verschillen is ook aan te geven hoe waarschijnlijk een bepaald verschil is.

31 Het verschil van twee verdelingen
Verdeling A: normale verdeling met verwachtingswaarde: mA variantie: s2A Verdeling B: normale verdeling met verwachtingswaarde: mB variantie: s2B Verdeling A-B: normale verdeling met verwachtingswaarde: mA- mB variantie: s2A+ s2B

32 ? 3 6 9 1 2 3 2 5 8 1 4 7 3 6 A gemiddelde A gemiddelde B
3 6 gemiddelde A gemiddelde B gemiddelde (A-B) variantie A variantie B variantie (A-B) B

33 Deze theorie toegepast op het voorbeeld
Vaak stelt men in de H0 dat

34 Deze theorie toegepast op het voorbeeld

35 Het voorbeeld van de leraren-salarissen
steekproef-1 uit populatie-1: n= 30 steekproef-2 uit populatie-2: n= 35 Ga er van uit dat: s1= $ en s2= $ 14850

36 DE TOETS: maak gebruik van het kritieke gebied Formuleer de nul-hypothese Stel onbetrouwbaarheid (a) vast Kies de toetsingsgrootheid Bepaal de verdeling van de toetsingsgrootheid Bepaal kritieke gebied Bereken toetsingsgrootheid t* Trek conclusie: t* ligt in kritieke gebied: H0 verwerpen t* ligt niet in kritieke gebied: H0 niet verwerpen stap voor stap……………..

37 1. Formuleer de Nulhypothese
m1 = m2 dus m1 – m2= 0 Formuleer de alternatieve hypothese m1 m2 2. Stel onbetrouwbaarheid (a) vast Onbetrouwbaarheid a= 5%

38 3. Kies de toetsingsgrootheid
4. Verdeling toetsingsgrootheid

39 Bepaal kritieke gebied
(in termen van z) tweezijdige toets a= 5% 2.5% 2.5% 1.96 -1.96

40 6. Bereken toetsingsgrootheid
conclusie ?

41 De zojuist beschreven situatie, waarbij
de varianties van beide populaties bekend zijn, zal in de praktijk niet zo vaak voorkomen. Als de populatie-varianties niet bekend zijn vormen de steekproefvarianties de best beschikbare schatters van de populatie-parameters.

42 Daarbij kunnen twee situaties
worden onderscheiden: De onbekende populatie-varianties zijn (ongeveer) gelijk aan elkaar. De onbekende populaties-varianties zijn niet gelijk aan elkaar. Wanneer op basis van de beschikbare steekproeven moet worden gekozen tussen de twee mogelijkheden, staat een toets ter beschikking: F-toets

43 De onbekende populatie-varianties
zijn (ongeveer) gelijk aan elkaar. Het voorbeeld van de leraren-salarissen wordt gebruikt. Omdat de populatie-varianties gelijk zijn aan elkaar zijn zowel s1 als s2 schatters van die populatie-variantie.

44 De gecombineerde schatter van de variantie
(Eng. pooled variance) wordt als volgt berekend.

45 Bij bekende varianties was de toetsingsgrootheid
deze was normaal verdeeld s1 en s2 worden vervangen door sp. De toetsingsgrootheid deze is t-verdeeld met n1+n2-2 vrijheidsgraden zie formule 6.7

46 Conclusie bij a=5% tweezijdig?
Toegepast op het salarissen-voorbeeld: Het tabellenboek geeft geen informatie omtrent een t-verdeling met 63 vrijheidgraden: gebruik de z-verdeling: Conclusie bij a=5% tweezijdig?

47 Als niet mag worden verondersteld dat
s1 gelijk is aan s2 (omdat bijvoorbeeld de F-toets die veronderstelling verwerpt) wordt de zaak aanzienlijk moeilijker. Er zijn diverse oplossingen. Een daarvan wordt in het boek besproken (par. 6.5) Voor het bepalen van het aantal vrijheidsgraden: zie formule 6.13

48 Ook als er sprake is van twee
onafhankelijke steekproeven kan op basis van een BETROUWBAARHEIDSINTERVAL worden berekend. Uitgangspunt voorbeeld met bekende varianties.

49 De toetsingsgrootheid was:
Het (100-a) betrouwbaarheidsinterval:

50 Samenvatting toetsen voor gemiddelden van twee steekproeven
Twee gepaarde steekproeven herleiden tot een-steekproefprobleem Twee onafhankelijke steekproeven a. populatie-varianties bekend b. populatie-varianties onbekend, maar gelijk c. populatie-varianties onbekend en ongelijk

51 F-toets voor het vergelijken van 2 varianties
De toetsingsgrootheid is De grootste variantie komt in de teller!

52 Onder H0 is het quotient van de varianties
F-verdeeld Met df(teller) n-1 die hoort bij steekproef met de grootste variantie Met df(noemer) n-1 die hoort bij steekproef met de kleinste variantie voorbeeld…………..

53 Steekproef-1: s2= 17 en n=5 Steekproef-2: s2= 48 en n=8 Onder H0 is F-verdeeld met (7 en 4) df Uit de F-tabel (7,4) blijkt dat de berekende waarde (= ) tussen het 75ste (=2.079) en 90ste (=3.979) percentiel ligt. SPSS: CDF.F(2.8235,7,4) Op grond van deze waarden wordt H0 dus NIET verworpen!

54 succes !

55