Enkelvoudige harmonische trillingen

Presentatie over: "Enkelvoudige harmonische trillingen"— Transcript van de presentatie:

1 Enkelvoudige harmonische trillingen
Hoofdstuk 2

2 Harmonische Trillingen
TRILLING : heen – en weergaande beweging rond evenwichtsstand. ELONGATIE : Stand ten opzichte van de evenwichtsstand. AMPLITUDE : Maximale elongatie. HARMONISCHE TRILLING : Elongatie = sinusfunctie

3 Bewegingsvergelijking
A : Amplitude (wt + f0) : Fasehoek (fase) w : Fasesnelheid of pulsatie f0 : Beginfase Periode T : Frequentie f :

4 Elongatie

5 Elongatie (2)

6 Elongatie : fasorvoorstelling
Fasor : vector met lengte gelijk aan amplitude die ronddraait met hoeksnelheid gelijk aan pulsatie. Elongatie = projectie op de Y-as. Zie ook applet.

7 Snelheid bij EHT - berekening
Snelheid is opnieuw een trilling met amplitude Aw. Snelheid is p/2 uit fase ten opzichte van elongatie. Snelheid ‘loopt p/2 voor op’ elongatie

8 Snelheid bij EHT - grafisch

9 Snelheid bij EHT - grafiek
Snelheid is maximaal bij doorgang door evenwichtstand. Snelheid is nul bij maximale uitwijking

10 Versnelling bij EHT - berekening
Versnelling is opnieuw een trilling met amplitude Aw². Versnelling is p uit fase ten opzichte van elongatie en p/2 uit fase ten opzichte van snelheid.

11 Versnelling bij EHT - grafisch

12 Versnelling bij EHT - grafiek
Versnelling is maximaal als uitwijking maximaal is. Versnelling is nul bij doorgang door evenwichtspositie.

13 Snelheid en versnelling bij EHT

14 Fasorvoorstelling (2) Snelheid en versnelling kunnen ook met fasoren voorgesteld worden. Fasor snelheid staat loodrecht op fasor elongatie. Fasor versnelling maakt hoek van 180° met fasor elongatie.

15 Krachtwerking bij EHT Uit eerste wet van Newton en afleiding versnelling volgt : Kracht is recht evenredig met elongatie. Kracht is tegengesteld gericht aan de elongatie. Nodig en voldoende voorwaarde om een massa m een EHT met pulsatie w te laten beschrijven

16 Energie bij EHT – Kinetische energie
Kinetische energie – definitie Kinetische energie op tijdstip t Kinetische energie bij elongatie y

17 Energie bij EHT – potentiële energie
Ep bij elongatie y is arbeid verricht door resultante bij verplaatsing van y naar evenwicht-stand. Arbeid is oppervlak onder Fy, y diagram.

18 Totale energie is recht evenredig met kwadraat van amplitude

19 Totale energie (2) E Ep Ek Waar passeert op bovenstaande grafiek de massa de evenwicht- stand ?

20 Massa aan veer Evenwichtstand Elongatie y

21 Massa aan veer - conclusies
Massa aan veer voert harmonische trilling uit. Trilconstante = veerconstante

22 Wiskundige slinger Idealisatie : Puntmassa beweegt op cirkelboog.
Onuitrekbaar en massaloos touw Puntmassa Puntmassa beweegt op cirkelboog. Elongatie : afstand Ds langs de cirkelboog.

23 Wiskundige slinger - krachtwerking
Te bewijzen : kracht die heen – en weergaan veroorzaakt voldoet aan nodige en voldoende voorwaarde. Welke kracht is dat ? Tangentiële component van resultante. Spankracht : alléén maar normaal-component. Kracht die we zoeken Tangentiële component van zwaartekracht.

24 Wiskundige slinger – krachtwerking (2)
Tangentiële component zwaartekracht : Voor kleine hoeken :

25 Wiskundige slinger - conclusies

26 Gedempte trillingen Realiteit : energie gaat verloren door niet conservatieve krachten zoals wrijving => Amplitude gaat afnemen : trilling wordt gedempt. Amplitude gaat exponentieel afnemen

27 Resonantie Oscillerend systeem kan energie overdragen naar andere oscillator door koppeling. Energie-verdracht is maximaal, als frequentie van bron (emittor) gelijk is aan eigenfrequentie van ontvanger (resonator). Resonantievoorwaarde : femittor = fresonator Zie ook applets website.

28 Resonantie-catastrofe
Bij continue energietoevoer bij resonantie-voorwaarde, kan amplitude zéér groot worden. Amplitude kan zo groot worden, dat elasticiteitsgebied overschreden wordt, en systeem kan permanent vervormd worden => RESONANTIE-CATASTROFE. Berucht voorbeeld : Tacoma Narrows Bridge

29 Resonantie – catastrofe (2)