Download de presentatie
De presentatie wordt gedownload. Even geduld aub
1
Prijsuitreiking Wiskunde B-dag 2002
17 maart 2003 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? • 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
2
1 + 1 = 2 en eerst even terug Machten van lang geleden
Mooie dingen in de werkstukken en een paar puntjes op de ï De stand van zaken in de wiskunde van 1 + 1 • 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
3
De Jaina Jaina wiskunde en religie: 600 voor Christus in India; met veel belangstelling voor ‘het oneindige’ Anuyoga Dwara Sutra : totaal aantal mensen is 296. Het heelal heeft een periode van 2588 jaren. 296 = = • 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
4
Indisch machtsverheffen
Bereken 2588 als volgt: 21, 22, 24, 28, 29, 218, 236, 272, 273, 2146, 2147, 2294, (12 stappen) Van achteren af de exponenten vinden: deel door 2 als dat kan; trek anders 1 af. Er ontstaat een achterwaartse optelketen! • 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
5
Dat kunnen wij ook …. ?B?e?w?ij?s?
Beschrijving maken van optelketen bij n : 588, 294, 147, 146, 73, 72, 36, 18, 9, 8, 4, 2, (12 stappen) ?B?e?w?ij?s? 588, 294, 147, 98, 49, 48, 24, 12, 6, 3, 2, (11 stappen) Wij winnen van de Jaina! • 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
6
Verdubbelingsmethode
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 576, 584, 588 (12 stappen, net als ‘Indisch’. Waarom?) 588 ? 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 513, 514, 515, 516, 517, 518, 519, 520, 521, 522, … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … • 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
7
Kies weinig machten + + + , 588 , 586 578
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, Álle voorgaande machten zijn nodig bij 31: , 2, 4, 8, 16, 24, 28, 30, 31. • 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
8
Lukt ‘zuinig verdubbelen’ bij elk getal N?
Ja! Bewijs: N= 1 , 2, 3, 4. Dat lukt. Dan lukt N = 4 + ( 1 t/m 3) = 5 t/m 7 ook. ……… En dus lukt ‘t bij 1 t/m 8. Dan lukt N = 8 + ( 1 t/m 7) = 9 t/m 15 ook. ……… En dus lukt ‘t bij 1 t/m 16. Enzovoort. (uit een werkstuk) • 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
9
Wat was c(n)? c(n) is het aantal stappen van een kortste optelketen voor n 1, 2, 4, 8, 16, 20, 22, 23 (7 stappen) c(23) = 7 ?????? Je weet dan eigenlijk alleen: c(23) 7 [c(23) = 6] • 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
10
Grenzen voor c(n) Grootste bereikbare n in k stappen is 2k
Daaruit volgt 2log(n) c(n) , voor alle n. 2k – 1 is bereikbaar (binair) in 2k-2 stappen Daaruit volgt c(n) 2 * 2log(n) • 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
11
Grafiek! c(n) 1,45*2log(n) Klopt, tot aan n = 71.
Met 1,47 i.p.v. 1,45 klopt het voor n < 2500. • 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
12
Rijtjes in een boom Zo vind je 77 na 9 stappen …..
• 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
13
Factoriseren (1) Naar 11: 1, 2, 4, 8, 10, 11 (5)
Geldt nu zeker c( 77) = c(11) + c(7) ?????????? Wel geldt c(a*b) c(a) + c(b) 1, 2, 4, 8, 9, 17, 34, 43, 77 (8 stappen) • 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
14
Factoriseren (2) 1122 = 2 * 561 = 3 * 374 = 11 * 102 = ??????????
• 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
15
? Factoriseren (3, winst 8) 22n – 1
214 – 1 = = 3 * 5461 = 43 * 381 = 127 * 129 ? 22n – 1 Binaire methode: 2*2n – 2 = 4n –2 stappen Factoriseren: 22n – 1 = (2n – 1) (2n + 1) (2n–2) + (n+1) = n stappen 214 – 1 = 16383; n= stappen winst 218 – 1 = : n=9. 8 stappen winst ( = 511 * 513) • 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
16
Factoriseren (4, winst 8) 8 Slimme route naar 127!
214 – 1 = = 3 * 5461 = 43 * 381 = 127 * 129 Slimme route naar 127! 214 – 1 = 16383: 6 stappen winst, TENZIJ….. 8 • 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
17
Computerprogramma’s (1)
• 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
18
Computerprogramma’s (2)
• 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
19
Nee, t was niet waar! Vraag (vermoeden van A, Goulard) Geldt altijd c(2n) = c(n) + 1 ? Is door velen ‘bewezen’: “Van n naar 2n is maar 1 stap.” Al ‘bewezen’ in 1895 door E. de Jonquieres in een gezaghebbend tijdschrift. Tegenvoorbeeld: c(382) = c(191) = 11; er zijn oneindig veel tegenvoorbeelden. Wél geldt: c(2n) c(n) + 1 Onbekend: Bestaat er een n met c(2n) < c(n)? • 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
20
1 + 1 en verder. Nu! Nieuwe toepassingen in cryptografie en beeldcompressie Geen snelle algoritme’s naar c(n) bekend. c(n) bekend voor 1 t/m 222 ( = ) Voor n 28 geldt c(2n-1) = n + c(n) – 1 (n = 14: c(16383) = –1 = 18 !!!) Onbewezen vermoeden van Scholz-Brauer (1937): c(2n-1) n + c(n) - 1 • 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
21
Moraal van het verhaal Want ……………..
• 17 maart • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag • = 2 en hoe nu verder? •
22
• 17 maart 2003 • Prijsuitreiking Wiskunde B-Dag 2002 • 1 + 1 = 2 en hoe nu verder? •
Verwante presentaties
