College 2: Chaos Wat we vandaag gaan doen:

Presentatie over: "College 2: Chaos Wat we vandaag gaan doen:"— Transcript van de presentatie:

1 College 2: Chaos Wat we vandaag gaan doen: Wat is chaos niet: de enkele slinger Een stapje verder: de dubbele slinger Chaos in een wiskundig model: de logistische afbeelding Chaos precies gemaakt: de Lyapunov exponent

2 Wat is chaos? onvoorspelbaarheid kleine oorzaken met grote gevolgen gevoelige afhankelijkheid van begincondities

3 De enkele slinger Newton:

4 De enkele slinger linearize!

5 De enkele slinger oplossing: met

6 faseruimte

7 hoe zien de banen eruit in faseruimte?

8

9 Conclusies gedrag enkele slinger:
Lineariseren van de bewegingsvergelijking levert een simpele DV voor de evolutie van het systeem in de tijd Om deze DV op te lossen moeten we de begincondities kennen De begincondities leggen de gehele toekomst eenduidig vast: beweging langs een cirkel in de faseruimte. Beweging is kwalitatief hetzelfde voor alle begincondities: niet gevoelig afhankelijk

10 Dubbele slinger

11 Dubbele slinger in de faseruimte
is dat nou chaos?

12 Twee dubbele slingers in de faseruimte
Kleine verschillen in begin = grote verschillen op het eind

13 Een oud en moeilijk probleem!
Prof. H.A. Lorentz (Nobel 1902) geeft college over de dubbele slinger

14 Conclusies dubbele slinger
Chaos is niet de grillige beweging, maar de afhankelijkheid van begincondities. Banen in faseruimte lopen uit elkaar Onvoorspelbaar: kleine verschillen hebben enorme gevolgen! Wat moeten we daar nu mee? De slinger, hoewel simpel, is al te lastig om dingen precies uit te rekenen. Men vermoedde al wel dat er wat aan de hand was (Poincare, Lorentz), maar het heeft tot de jaren 70 geduurd tot er echte vooruitgang geboekt werd.

15 De logistische afbeelding
Een 1D afbeelding is een getallenreeks die volgens een vast voorschrift geconstrueerd wordt: Voorbeeld: de reeks wordt gecontrueerd met het voorschrift

16 Afbeeldingen als banen
De reeks wordt eenduidig vastgelegd door de keuze van het beginpunt We noemen zo’n afbeelding deterministisch. De index kunnen we opvatten als een (discrete) tijdscoordinaat: hij meet het aantal iteraties vanaf = de baan of orbit van

17 Afbeeldingen: onvoorspelbaarheid in z’n simpelste vorm
Door de connectie met tijdsevolutie van systemen (nu dus in discrete tijdstappen) zijn 1D afbeeldingen uitermate geschikt om complexe verschijnselen als onvoorspelbaarheid in hun meest handelbare vorm te bestuderen. Wij gaan dat nu doen aan de hand van het bekendste voorbeeld, de logistieke afbeelding die in 1976 door Robert May als model voor populatiegroei geintroduceerd en geanalyseerd werd

18 De Logistische afbeelding
De logistieke afbeelding beeldt het interval [0,1] af op zichzelf: hij is tweedegraads (hoogste macht is een kwadraat), dus de grafiek die erbij hoort is een parabool

19 De Logistische afbeelding
Kies x0 op de x-as verticaal naar de parabool horizontaal naar y=x go to 2

20 Grafische iteratie zelf doen…

21 De Logistische afbeelding

22 De Logistische afbeelding
enz.

23 Orde en Wanorde in de Logist
We maken een reeks volgens de logist, en plotten de orbit x0=0.9

24 Orde en Wanorde in de Logist
voor A=2.5 convergeren alle banen naar x=0.6 x0=0.1

25 Fixed points Een fixed point van een afbeelding is een punt waar alle reeksen naar convergeren, onafhankelijk van x0. Het is dus een oplossing van Laten we die oplossing noemen: we lossen dus op Controle: voor A=2.5 is x dus 0 of 0.6, zoals we eerder al zagen. Merk op dat het fixed point tevens het snijpunt met de lijn y=x is!

26 Orde en Wanorde in de Logist
x0=0.9

27 Orde en Wanorde in de Logist
Beter om te kijken naar de laaste 200 punten van een lange reeks A=3.75, x0=0.9. Geen convergentie! (en die komt er nooit).

28 Stabiliteit van het fixed point
stabiel: spiraal in instabiel: spiraal uit conditie voor stabiliteit: abs(afgeleide in snijpunt )< 1

29 Voor de Logist betekent dat dus dat het FP stabiel
is voor wat gebeurt er voor A>3?

30 Hoe gaat de orde over in wanorde?
Voor A>3 (hier A=3.2):Bifurcatie naar een oscillerende toestand 2-cykel:

31 Peroid doubling cascade
A=3.5 4-cykel Daarna 8-cykel, 16,32, enz tot aan A~3.57

32 Het eind van de periodeverdubbelingen…
A=3.7: chaos na het einde van de PD cascade.

33 Bifurcatiediagram

34 Gevoelige afhankelijkheid precies gemaakt.
divergentie van twee nabijgelegen banen

35 de Lyapunov exponent >0: exponentieel divergent <0: convergent

36 Orde en Wanorde in de Logist
Positieve LE: chaos & onvoorspelbaarheid

37 De Logist voor A=4: maximale chaos
Na een transformatie – zie dictaat: oplossing (mod 1) : λ = Ln(2) =

38 De Logist voor A=4: maximale chaos
Binair getal tussen 0 en 1: met bijvoorbeeld:

39 De Logist voor A=4: maximale chaos
Schuifregister! Onbelangrijk wordt belangrijk, LSB->MSB!