dia's bij lessenserie Pythagoras ± v Chr.

Presentatie over: "dia's bij lessenserie Pythagoras ± v Chr."— Transcript van de presentatie:

1 dia's bij lessenserie Pythagoras ± v Chr. man met tulband, misschien Pythagoras. Sculptuur uit de 4e of 5e eeuw v. Chr. deze dia's zijn te vinden op:

2 De volmaakte driehoek • • • • • • • • • • = 10 (driehoekig getal)

3 Vierkante getallen (square numbers)
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

4 De mooie getallen 16 en 18 4 3 3 3 4 Omtrek: = Omtrek: = 18 Oppervlakte: 4.4= Oppervlakte = =

5 Enkele stellingen van de leer van even en oneven

6 Manier van de Pythagoreeërs om de grootste gemeenschappelijke deler te vinden
Neem beide getallen (20 24) Trek het kleinste getal af van het grootste getal (24-20=4) Ga verder met het antwoord en het kleinste getal (4 20) Trek weer het kleinste getal af van het grootste getal (20-4=16) ga net zo lang door tot je twee dezelfde getallen hebt ( 16-4= =8 8-4=4) Dat is de GGD (4)

7 We weten nog een vereenvoudigde breuk bestaat nooit uit twee even getallen oneven getal . oneven getal = oneven getal De grootste gemeenschappelijke deler van a en b vind je door steeds het kleinste van het grootste getal af te trekken tot je twee dezelfde getallen hebt. Je gaat steeds door met de twee kleinste getallen. Als de GGD = 1 dan is de breuk b/a vereenvoudigd.

8 b/a b a 1 ≅ a 1

9 a a b

10 b-a a a a-(b-a) b-a b-a b

11 C Q B A P C Q B A P

12 C Q B A P

13 π = ,

14 1/3 = 0, ….. 15/7 = 2, …..

15 de woorden aap, noot en mies
Een verzameling bestaat uit elementen. Het aantal elementen heet de kardinaliteit van de verzameling. verzameling elementen kardinaliteit { 1, 2, 5 } de getallen 1, 2 en 5 3 { aap, noot, mies } de woorden aap, noot en mies { q, e, s, t } de letters q, e, s en t 4

16 Verzamelingen met dezelfde kardinaliteit heten gelijkmachtig.
{ 1, 2, 3, 4, 5 } is gelijkmachtig met { 2, 4, 6, 8, 10 } { 5, 6, 8 } en { cola, fanta, cassis } zijn gelijkmachtig. De volgorde van de elementen doet er niet toe. { 7, 5, 2 } = { 2, 7, 5} { a, b, c, d, e } = { b, d, c, e, a } Elk element telt maar één keer mee, ook al schrijf je het vaker op. De kardinaliteit van { 7, 5, 5, 5, 2 } is niet 5 maar 3. { 7, 5, 5, 5, 2 } = { 7, 5, 2 }

17 Elke verzameling is dus ook een deelverzameling van zichzelf.
Verzameling B is een deelverzameling van verzameling A als elk element in B ook in A zit. Voorbeelden van deelverzamelingen van { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }: { 4, 5, 6 } { 2, 4, 6 } { 3 } { 1, 6 } Elke verzameling is dus ook een deelverzameling van zichzelf. { 8, 12, 15 } is een deelverzameling van { 8, 12, 15 }

18 Een verzameling met een eindig aantal elementen heet een eindige verzameling.
Voorbeelden: De verzameling van alle leerlingen op een school. De verzameling van alle gehele getallen van 1 tot Een verzameling kan ook oneindig veel elementen hebben. Zo'n verzameling heet een oneindige verzameling. ℕ = de verzameling van alle natuurlijke getallen = { 0, 1, 2, ... } ℤ = de verzameling van alle gehele getallen = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } ℚ = de verzameling van alle rationale getallen ℝ = de verzameling van alle reële getallen

19 Gelijkmachtigheid bepalen door te tellen:
{ 5, 6, 3 } heeft 3 elementen. { auto, boot, fiets } heeft ook 3 elementen. dus { 5, 6, 3 } en { auto, boot, fiets } zijn gelijkmachtig.

20 Opdracht Bedenk een manier om zonder te tellen te controleren of twee eindige verzamelingen gelijkmachtig zijn. Eerst 2 minuten zelf nadenken, dan 2 minuten overleggen met de leerling naast je. Hint: Neem als voorbeeld een schoolplein waarop 200 leerlingen staan en bedenk hoe je kan controleren of er evenveel jongens als meisjes zijn.

21 Zijn { 5, 6, 3 } en { auto, boot, fiets } gelijkmachtig?
Er is een één-op-één afbeelding: 5 ↔ auto 6 ↔ boot ↔ fiets Er blijft niets over dus ze zijn gelijkmachtig. Zijn { aap, noot, mies } en { 8, 5, 12, 3 } gelijkmachtig? Er is geen één-op-één afbeelding: aap ↔ noot ↔ mies ↔ ??? ↔ 5 De 5 blijft alleen over dus ze zijn niet gelijkmachtig.

22 ℤ = { ..., -2, -1, 0, 1 , 2, ... } = alle gehele getallen
E = { ..., -4, -2, 0, 2 , 4, ... } = alle even gehele getallen E is een deelverzameling van ℤ. Betekent dat dat ℤ meer elementen heeft dan E? Er is een één-op-één afbeelding: ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ Er blijven geen getallen alleen over!

23 ℤ is oneindig aftelbaar
Een verzameling die gelijkmachtig is met ℕ heet een aftelbaar oneindige verzameling. Je kunt de elementen, net als de natuurlijke getallen, in een oneindig lange rij zetten en ze dan zover aftellen als je maar wilt. Voorbeelden: ℤ is oneindig aftelbaar De verzameling van alle kwadraten is aftelbaar oneindig ℕ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ... ℤ -1 -2 -3 -4 -5 ℕ 1 2 3 4 5 6 7 ... kwadraten 9 16 25 36 49

24

25 Hilbert's Grand Hotel kamer 1 2 3 4 5 6 ... voor A B C D E na VRIJ!!!

26 Alle reële getallen tussen 0 en 1
Bekijk de verzameling van alle reële getallen tussen 0 en 1. Schrijf de getallen als (oneindig lange) kommagetallen Neem aan dat de verzameling aftelbaar oneindig is. Je kunt de elementen dan allemaal in een oneindig lange rij zetten (tabel). Er is een getal tussen 0 en 1 dat er niet bij zit. Tegenspraak! Natuurlijke getallen Alle reële getallen tussen 0 en 1 0 , 1 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , 5 0 , 6 0 , 7 0 , 8 0 , 9 0 , 10 0 , 11 0 , ... Maar deze zit er niet bij! 0 ,

27 Maak er 0 van Je mag alleen gehele getallen gebruiken.
Je mag alleen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en machtsverheffen. Je mag niet vermenigvuldigen met 0. Voorbeelden:

28 Maak er 0 van Opdracht 1 Maak 0 van de volgende 2 getallen: Opdracht 2
Bedenk zelf een getal waar je op deze manier 0 van kunt maken. Laat de leerling naast je het uitproberen. Opdracht 3 Denk je dat er ook getallen zijn waar je op deze manier geen 0 van kunt maken? Zo ja, kun je een voorbeeld geven?

29 Maak er 0 van

30 Algebraïsche getallen zijn oplossingen van vergelijkingen als a0 + a1x + a2x2 + a3x anxn = 0 waarin a0, a1, a2, ..., an gehele getallen zijn

31 Getallenverzamelingen
Irrationale getallen: niet rationale reële getallen (groen + rood). Transcendente getallen: niet algebraïsche reële getallen (rood).