SYMPOSIUM OOSTENDE Numeriek, grafisch en symbolisch wiskunde leren

Presentatie over: "SYMPOSIUM OOSTENDE Numeriek, grafisch en symbolisch wiskunde leren"— Transcript van de presentatie:

1 SYMPOSIUM OOSTENDE 2006 Numeriek, grafisch en symbolisch wiskunde leren
18 augustus 2006

2 10 jaar zinvol gebruik van ICT-hulpmiddel geïntegreerd in wiskundelessen SO
Situeren in BREDER vakdidactisch kader : accentverschuivingen in wiskunde-onderwijs. Meer aandacht voor GEBRUIK van wiskunde. Visie op “maatschappelijke” verwachtingen, effecten en doelen. Meer CONSTRUCTIEVE aanpak. Vele VAKDIDACTISCHE aspecten aan BRUIKBAAR hulpmiddel.

3 Representaties Numeriek,Grafisch, Symbolisch
“Beeld” van wiskunde : getallen, grafieken, formules Ontwikkelen van begrip en vaardigheid : werken met GETALLEN: rekenkunde werken met GRAFIEKEN:meetkunde werken met FORMULES: algebra + onderlinge verbanden

4 Afstand punt-rechte : formule afleiden
Afstand punt P(-4,7) tot rechte r :3x+4y+9=0 Meten Berekenen : Loodlijn b, snijpunt, afstand Algemene formule afstand punt P(x1,y1) tot rechte r ax+by+c=0 AFLEIDEN

5 Afstand punt-rechte Aansluiting concrete berekening met betekenis,zin van veralgemeende formule Organisatie van de berekeningen met reductie van de complexiteit van de algebra (parameters, berekening afstand zonder substitutie van de opgeloste k)

6 Afstand punt-rechte : formule afleiden
Richtingsvector r : (b,-a) Richtingsvector loodlijn l : (a,b) Parametervergelijkingen loodlijn l, coördinaten snijpunt S (x1+ k.a, y1+ k.b) Afstand PS k = ? : uit S ligt op r

7 Afstand punt-rechte : formule gebruiken
BISSECTRICES Meetkundige Plaats van alle punten even ver van twee rechten PARABOOL Meetkundige plaats van alle punten even ver van een punt en een rechte

8 Representaties Numeriek,Grafisch, Symbolisch
Gebruik van hulpmiddelen voor maken van berekeningen, vervaardigen van figuren, grafieken en diagrammen, manipulaties met formules. ICT-hulpmiddelen : digitale, electronische representatie

9 ICT : electronische representatie
NUMERIEK : “Floating point” van klassieke rekenmachine. GRAFISCH : PIXELS op scherm worden verlicht. Welke ? Berekenen met numerieke module. SYMBOLISCH Computer Algebra Formulemanipulatie : eigen software systeem

10 Numeriek (Getallen) “Floating point” voorstelling in computers, rekentoestellen Getal = “decimaal getal” met eindig aantal decimalen, afronden Bruikbaar voor vele situaties Numerieke wiskunde (analyse, lineaire algebra)

11 Numeriek / GRAFISCH “Floating point” voorstelling in computers, rekentoestellen. Gebruiken voor “berekenen” van GRAFIEKEN/grafische voorstellingen. Organisatie via vectoren en matrices. Computerscherm = Matrix van “pixels” beschreven met coördinaten. Ontwikkeling grafische software.

12 SYMBOLISCH : Computer Algebra
CAS Formulemanipulatie : SOFTWARE Gehele getallen zijn rijen symbolen Breuken zijn “koppels” gehele getallen Irrationale getallen : symbolen als “letters,symbolen” worden via voorgeprogrammeerde regels gemanipuleerd (voorbeeld SOLVE(3x+y=4,x). De variabele “x” is hier gewoon een symbool

13 “Informatica” standpunt Numeriek,Grafisch, Symbolisch
ICT-hulpmiddelen : digitale, electronische representatie Vanuit “informatica”standpunt : Bernhard Kutzler (Oostende 2005) Numerics versus Symbolics

14 HULPMIDDEL : inhoudelijk integreren in wiskundeonderwijs
verschillende representaties IN COMBINATIE gebruiken Numerics AND Symbolics GRAFISCHE REKENMACHINE + Formules zonder ICT GRAFISCHE REKENMACHINE + CAS-systeem

15 Verschillende representaties gebruiken
verschillende representaties tegelijk gebruiken. - niet eenzijdig (verbaal)-FORMEEL. - herwaardering van getallen en grafische voorstellingen : “eenvoudiger”, “concreter”, “haalbare” voorstellingen waarmee toch al heel wat te leren is.

16 NUMERIEK/GRAFISCH : integreren in wiskundeonderwijs
sluit aan bij “visie”, “beeld” wiskundeonderwijs - CONSTRUCTIEF voorbereiding op abstractere aanpak - meer aandacht voor GEBRUIK van wiskunde (wiskunde “Queen and servant of sciences”)

17 GRAFISCH Rekentoestel
Grafisch rekentoestel als didactisch hulpmiddel voor tweede en derde graad laat toe om (decimale) getallen en grafieken meer te gebruiken - in combinatie met leren werken met algebra (formules) - “kijken” naar getallen en grafieken - Hulpmiddel bij uitvoeren (genereren tabellen, grafieken ...)

18 GETALLEN GETALLEN in secundair onderwijs : werken met “reële” getallen zonder formele constructie van het systeem van de reële getallen Decimale getallen zien als “benaderingen” in tabellen, rekenbladen, vectoren, matrices Voldoende voor analyseren en begrijpen van veel situaties Toch aandacht voor breuken, irrationale getallen ..

19 FUNCTIES FUNCTIES via tabellen, grafieken en formules (voorschrift)
Volgorde : zonder FORMEEL functiebegrip al werken met (reële) functies Verloop van elementaire reële functies : ZONDER formele theorie ANALYSE Ervaring opdoen met begrippen (minimum, maximum, nulpunten...) Gegeven data-punten beschrijven met functies (regressiemodellen)

20 Numeriek (Getallen) Getal = “Decimaal” getal (40.5).
Gebruikt voor kwantificeren van probleem. Daarna georganiseerde analyse van data via berekeningen en/of grafieken en (eenvoudige) algebra. Wiskunde gebruiken (mathematiseren, wiskundige modellen ..)

21 Getallen en Grafieken GEBRUIKEN
In combinatie met (eenvoudige) formules Mogelijkheden voor wiskundig minder “sterke” leerlingen. Zingeving voor FORMULES

22 Exponentieel verband tussen de tijd en het volume
Manueel opsporen van het verband Controleer of ‘alle’ waarden uit de tabel min of meer beantwoorden aan je gevonden formule. Opsporen van het verband met het grafisch rekentoestel Begeleid zelfstandig leren en werken in de derde graad secundair onderwijs met de TI-83 (84) Plus Geert Delaleeuw

23 HULPMIDDEL : inhoudelijk
Cahier 6 - Ontwikkeling van het functiebegrip in de tweede graad Cahier 1 - Mathematiseren met functies in de derde graad Cahier 2 - Elementaire functies leren gebruiken als wiskundige modellen

24 HULPMIDDEL : inhoudelijk
STATISTIEK “beschrijvend” , “grafisch” : zonder FORMEEL kansbegrip toch werken met kansen en “integralen” (als oppervlakten). REGRESSIE om verbanden tussen data te beschrijven.

25 HULPMIDDEL : inhoudelijk

26 HULPMIDDEL : inhoudelijk

27 HULPMIDDEL : inhoudelijk

28 HULPMIDDEL : inhoudelijk
Cahier 3 - Regressie, een eerste kennismaking Cahier 8 - Betrouwbaarheidsintervallen en het testen van hypothesen Cahier 7 - Modelleren vanuit experimenteel verkregen data

29 HULPMIDDEL : inhoudelijk
VERANDERINGEN (Dynamisch syteem) beschrijven Eerst DISCREET “beschrijvend” : numeriek, grafisch, formules Overstap naar “Afgeleide in een punt” om verandering op 1 moment te beschrijven. Calculus : werken met afgeleide functies en “calculus” zonder formeel limietbegrip toch werken met limieten.

30 Opbouw logistisch model

31 Logistisch Model r=0.7,K=10

32

33

34

35 Logistische groei (Verhulst / Pearl&Reed)

36 Symbol Sense, Algebra en CAS
Band tussen verschillende representaties is belangrijk. Alleen grafisch en numeriek is een nadeel.

37 HULPMIDDEL : computeralgebra
Aansluiting met FORMULES ZINVOL in te schakelen in secundair wiskundeonderwijs ? NIET vervanging voor LEREN van de algebraïsche REKENREGELS of van de opbouw en zin van formele systemen

38 HULPMIDDEL : computeralgebra
WEL Hulpmiddel voor CORRECT en BEWUST toepassen van gekende formele rekenregels - in complexere problemen (oplossing deelprobleem) - om te werken met parameters - om te werken met substituties

39 HULPMIDDEL : computeralgebra
WEL Gebruiken als CONTROLEMIDDEL om inzicht te krijgen in basiselementen (substitutie, equivalentie van formules) Alternatieven proberen, overschakelen naar andere representaties

40 HULPMIDDEL : computeralgebra
WEL Bijdrage bij verwerven van “symbol sense” (zinvol gebruiken van formules om oplossingen te vinden voor problemen) P. Drijvers : “Wat “a” is kan je niet weten”

41 HULPMIDDEL : computeralgebra
Situaties aanbieden waarin “symbol sense” kan groeien in directe relatie met conceptuele wiskunde. Vooral uitleggen wat de ZIN en kracht is en hoe het als hulpmiddel gehanteerd (geïnstrumentaliseerd) wordt.

42 Symbol Sense en Algebra
Rol van “letters” als onbekenden, variabelen, parameters … Belangrijke elementen : « Gestalt » Keuzes maken

43 Grafisch + Computer Algebra in wiskunde-onderwijs
- algebra, calculus ... zijn op zich formele systemen, methoden om oplossingen te vinden Gebruiken in COMBINATIE met grafische/numerieke representatie Meer nadruk op zingeving en opzet van het systeem Relativeren voor ingewikkelde puur mechanische oefeningen

44 Formules-Symbol Sense
Experimenteren met algebra en met diverse representaties Hulpmiddel wordt INSTRUMENT (welke formule,procedure wanneer gebruiken ?)

45 Gemeenschappelijke loodlijn
van twee kruisende rechten

46 Gemeenschappelijke loodlijn
van twee kruisende rechten Parametervergelijkingen van de rechten AB en CD neem een punt P (met parameter k) op AB neem een punt Q (met parameter l) op CD. PQ loodrecht op AB : PQ loodrecht op CD : k en l bepalen (2 vergelijkingen met 2 onbekenden) zo kennen we de punten P en Q en dus ook de lengte van PQ = d(AB,CD)

47 Van parametervergelijkingen naar
vergelijking van een vlak

48 Van parametervergelijkingen naar
vergelijking van een vlak Vind een cartesiaanse vergelijking voor het vlak  met parametervergelijkingen vlak  door P(6,9,1) met richtingen (-4,12,5) en (1,3,5)

49 Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak
We gebruiken de eerste twee vergelijkingen om op te lossen naar r en s : met CAS. Je kunt een stelsel invoeren in de SOLVE-functie door de vergelijkingen te verbinden met "and". De variabelen die we willen berekenen uit dat stelsel plaatsen we tussen accolades.

50 Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak
Vervolgens substitueren we deze uitdrukkingen in de derde vergelijking,met | SUBSTITUTE.TUTE Eventueel werken we ook nog de noemers weg. Het vlak  heeft dus als vergelijking 45 x+25 y – 24 z – 471 = 0.

51 Van parametervergelijkingen naar vergelijking van een vlak
Conceptueel duidelijker methode voor eliminatie, met CAS uit te voeren. Band meetkundige context met algebraïsche operaties. Vergt geen “technische” algebra en kan dus snel gebruikt worden in analytische ruimtemeetkunde Later wordt duidelijk wat het voordeel is van andere algebraïsche methoden (o.a. rijherleiden, determinant …) vooral nuttig bij het opstellen van een “algemene formule” . Niet te snel veralgemenen.

52 Logistisch Model r=0.7,K=10

53 Logistisch Model r,K Onderzoek de evenwichten en stabiliteit voor K=1
(steeds mogelijk) en verschillende waarden van de parameter r.

54

55 De Strofoïde

56 De Strofoïde De meetkundige plaats ontstaat als snijpunten van geassocieerde krommen. De klassieke werkwijze bestaat erin de parameter te elimineren uit het stelsel vergelijkingen van de geassocieerde krommen. Voor leerlingen is het echter natuurlijker eerst te zoeken naar de snijpunten. Je krijgt op die manier parametervergelijkingen van de kromme. Vaak lijdt dit echter tot zware berekeningen en is het elimineren van de parameter uit de parametervergelijkingen minder eenvoudig dan het elimineren uit het oorspronkelijke stelsel. Deze bezwaren vallen weg als we het rekenwerk kunnen overlaten aan een rekentoestel met computeralgebrasysteem.

57 De Strofoïde We voeren de vergelijking van de cirkel en de rechte in en lossen op naar x en y. .

58 De Strofoïde Aangezien de rechte en de cirkel twee snijpunten hebben, vinden we twee oplossingen (verbonden met "or"). We laten dan de kromme tekenen met deze parametervergelijkingen. .

59 ICT : didactisch gebruik
Moet “beheersbaar” blijven voor de leerkracht tijdens de les. Gebruik als illustratie : vooral GRAFISCHE illustratie. Leerkracht kan die ZELF (gedeeltelijk) ter beschikking stellen (ook zonder dat leerling beschikt over GRM) Vergelijking zoeken raaklijn in een punt, of raaklijn aan ellips.

60 ICT : didactisch gebruik
Moet “beheersbaar” blijven voor de leerkracht tijdens de les. Wings of Change, Teaching with the TI Bärbel Barzel – Marie-Curie Gymnasium Düsseldorf, Duitsland Integratie van ICT in het wiskundeonderwijs Anne Van Streun – Universiteit van Groningen, Nederland ICT en manueel rekenwerk in de wiskundeles en in de evaluatie Luc Gheysens – De Pleinschool, Kortrijk

61 ICT : didactisch gebruik
Leren gebruiken als INSTRUMENT bij oplossen van problemen. Leerlingen kunnen zelf ervaring opdoen, controleren, op verschillende manieren voorstellen. Computeralgebra, van "artefact" tot instrument Paul Drijvers – APS, Freudental Instituut, Nederland

62 ICT : didactisch gebruik
Er blijft natuurlijk heel wat in wiskunde dat NIET met ICT gedaan wordt. "If it is not necessary to use a computer/calculator, it is necessary not to use a computer/calculator." (Helmut Heugl)

63 ICT : didactisch gebruik
”Gematigd” inschakelen van “hand-held” ICT systeem kan wiskunde-onderwijs verrijken en ondersteunen. De machine doet uit zichzelf NIETS : om een resultaat te bereiken moet men weten welke opdrachten hiertoe leiden. Dat vraagt kennis en inzicht van de gebruiker en dus uitleg van de LEERKRACHT

64 ICT : didactisch gebruik
Materiaal beschikbaar voor inschakeling van GRAFISCH REKENTOESTEL. EVOLUTIE en experimenteren met gebruik van geïntegreerd toestel met goede keuzes voor interface …. TI-Nspire

65 Didactisch HULPMIDDEL
POSITIEVE bijdrage Bredere visie op doel wiskundeonderwijs : ook aandacht voor “gebruik” van wiskunde Constructieve aanpak en meer gericht op ZINgeving van abstractie Meer ZINvol onderwijs …

66 Symposium in LEUVEN op 22,23,24 augustus 2007
Naar 10de symposium Aansluitend bij … 100 jaar Vliebergh-Sencie Centrum K.U.Leuven Symposium in LEUVEN op 22,23,24 augustus 2007

67 Dank … Voor uw belangstelling en positieve atmosfeer
Aan de medewerkers van het hopelijk gevarieerde programma Voor de gastvrije ontvangst door KHBO en de mensen die gezorgd hebben voor organisatie en de prima maaltijden ….