Berekenen van de responsie

Presentatie over: "Berekenen van de responsie"— Transcript van de presentatie:

1 Berekenen van de responsie
Er zijn 2 mogelijkheden om de responsie van een systeem te berekenen: oplossen van de differentiaalvergelijking of differentievergelijking (→ dit gaan we later doen via Laplace- of z-transformatie) via convolutie

2 Wat is convolutie ? Een tamelijk moeilijk begrip, daarom
eerst discrete convolutie (→ is gemakkelijker om uit te leggen) daarna analoge convolutie (→ om zo te komen tot de convolutie-integraal)

3 Discrete convolutie input output x[n] x[3] y[n] x[1] y[2] y[0] x[4] y[4] → x[2] y[3] y[1] x[0] n n x[n] = x[0] d[n] + x[1] d[n-1] + x[2] d[n-2] + …. + x[n] d[n-k] + …. oneindige som y[n] = x[0] h[n] + x[1] h[n-1] + x[2] h[n-2] + …. + x[n] h[n-k] eindige som n is het tijdstip waarop de responsie wordt berekend : de responsie kan dus geen rekening houden met de ingangspulsen die nog moeten komen !

4 Discrete convolutie n = 2
input output x[n] x[3] y[n] x[1] y[2] y[0] x[4] y[4] → x[2] y[3] y[1] x[0] n n x[n] = x[0] d[n] + x[1] d[n-1] + x[2] d[n-2] + …. + x[n] d[n-k] + …. oneindige som y[2] = x[0] h[2] + x[1] h[1] + x[2] h[0] eindige som Een andere manier om dit te begrijpen: de impulsresponsie is causaal, dit wil zeggen dat h[n]=0 voor negatieve n

5 Voorbeeld ? → x[n] = d[n] + 3 d[n-1] + 7 d[n-3]
y[n] 1 n → ? x[n] = d[n] + 3 d[n-1] + 7 d[n-3] h[n] n y[n] = h[n] + 3 h[n-1] + 7 h[n-3] 2 1 1 n

6 Grafische oplossing h[n] 3 h[n-1] 6 3 3 2 1 1 n n 0 1 2 3 4 5 6
7 h[n-3] y[n] 14 14 10 7 7 7 7 5 1 n n

7 Wiskundig is de convolutie - operator y[0] = x[0] h[0] = 1.1 = 1
y[1] = x[0] h[1] + x[1] h[0] = = 5 y[2] = x[0] h[2] + x[1] h[1] + x[2] h[0] = = 7 y[3] = x[0] h[3] + x[1] h[2] + x[2] h[1] + x[3] h[0] = = 10 … Algemeen : n is het tijdstip waarop de responsie wordt berekend k is de sommeervariabele is de convolutie - operator

8 De convolutie is commutatief
y[n] = x[0] h[n] + x[1] h[n-1] + x[2] h[n-2] + …. + x[n-1] h[1] + x[n] h[0]

9 Interpretatie van het ingangssignaal x[k] moet eerst worden omgeklapt rond de vertikale as: zo bekomt men het signaal x[-k] dit signaal wordt dan over n tijdstappen verschoven: zo bekomt men x[n-k] men vermenigvuldigt dit signaal met de impulsresponsie h[k], en men doet dit voor alle waarden van k - uiteindelijk neemt men de som van al deze produkten, om zo het uitgangssignaal op het tijdstip n te kunnen berekenen

10 n = 0 x[n-k] 7 3 1 k h[k] 2 1 1 k y[n] 1 n

11 n = 1 x[n-k] 7 3 1 k h[k] 2 1 1 k y[n] 5 n 1

12 n = 2 x[n-k] 7 3 1 k h[k] 2 1 1 k y[n] 7 n 2

13 n = 3 x[n-k] 7 3 1 k h[k] 2 1 1 k y[n] 10 n 3

14 n = 4 x[n-k] 7 3 1 k h[k] 2 1 1 k y[n] 14 n 4

15 n = 5 x[n-k] 7 3 1 k h[k] 2 1 1 k y[n] 7 n 5

16 n = 6 x[n-k] 7 3 1 k h[k] 2 1 1 k y[n] n 6

17 1 / z 1 + 2 3 5 7 n = 0 n = 1 n = 2

18 1 / z 7 10 3 1 + 2 14 n = 3 n = 4 n = 5

19 Besluit Discrete convolutie is omklappen verschuiven vermenigvuldigen
optellen

20 x(t) x(nD) x(7D) Analoog signaal x(t) kan worden benaderd door een som van rechthoekpulsen : nD 0 1D 2D 3D 4D 5D 6D 7D 8D 9D x(1D) PD(nD-1D) of nD limietovergang : D → dt ; nD → t ; kD → t ; S → ∫ 0 1D 2D x(2D) PD(nD-2D) zodat nD 0 1D 2D 3D

21 Analoge convolutie x(t) x(t) h(t) y(t) t
of (convolutie is commutatief):

22 Merk op n is het tijdstip waarop de responsie wordt berekend k is de sommeervariabele t is het tijdstip waarop de responsie wordt berekend t is de integreervariabele

23 Voorbeeld : RC netwerk i(t) R + 1k vIN(t) C vUIT(t) 1µF _
als vIN(t) = u(t) (eenheidsstap), dan is vUIT(t) te berekenen als : (t is hier de integreervariabele)

24 vIN(t-t) vIN(t-t) vIN(t-t) t t t t1 t2 t3 h(t) h(t) h(t) t t t h(t).vIN(t-t) h(t).vIN(t-t) h(t).vIN(t-t) vUIT(t1) ~ opp. vUIT(t2) ~ opp. vUIT(t3) ~ opp. t t t vUIT(t) vUIT(t) vUIT(t) t t t t1 t2 t3

25 vIN(t-t) vIN(t-t) vIN(t-t) t t t t1 t2 t3 h(t) h(t) h(t) t t t h(t).vIN(t-t) h(t).vIN(t-t) h(t).vIN(t-t) vUIT(t1) ~ opp. vUIT(t2) ~ opp. vUIT(t3) ~ opp. t t t vUIT(t) vUIT(t) vUIT(t) t t t t1 t2 t3

26 Besluit Analoge convolutie is omklappen verschuiven vermenigvuldigen
integreren