Het z-domein De z-transformatie.

Presentatie over: "Het z-domein De z-transformatie."— Transcript van de presentatie:

1 Het z-domein De z-transformatie

2 t n w q s z kw1 kq1 tijdcontinu tijddiscreet tijddomein
bemonstering t n tijddomein F.R. reconstructie FFT discreet frequentie-domein kw1 kq1 T→ ∞ ∞→N F.T. continu frequentie-domein w q x et z = ejq L.T. Z.T. complex frequentie-domein esTs = z s z

3 Van laplace- naar z-transformatie
Theoretische bemonstering van een signaal: een schakelaar die ‘even’ sluit + x(t) x*(t) _

4 Het bemonsterd signaal x*(t)
dt t t TS TS 3TS 4TS We willen het signaal bemonsteren op bepaalde tijdstippen: we moeten dt naar nul laten gaan !

5 Tussenstap: rechthoekpulsen
x*(t) dt x(3TS) x(TS) x(4TS) x[0] t TS 2TS TS 4TS x*(t) = x[0] Pdt (t) + x(TS) Pdt (t-TS) + x(2TS) Pdt (t-2TS) + …

6 De rechthoekpuls PD(t) = u(t) – u(t – D) PD(t) 1 t D u(t) 1 t
D u(t) 1 t -u(t – D) t -1

7 Limietovergang dt → 0 x*(t) oppervlak = x(4TS) dt t TS 2TS TS 4TS

8 Laplacetransformatie van x*(t)
Met ℒ [d(t)] = 1 en ℒ [d(t-nTS)] = e-snTS kan X*(s) = ℒ [x*(t)] worden geschreven als of kortweg

9 Vergelijking met LT v.e. tijdcontinu signaal
bemonsterd integratie is vervangen door een sommatie van samples op bemonsteringstijdstippen die op een afstand TS van elkaar liggen

10 Bruikbaarheid van X*(s)
X(s) is een reële, algebraïsche functie in de complexe variabele s T(s) T(s) en N(s) zijn algebraïsche veeltermen X(s) = N(s) X*(s) is dit duidelijk NIET: X*(s) is een som van transcendente e-machten Wat is dan het practische nut van X*(s) ?

11 Drie wijzigingen We gaan over van x(nTS) naar x[n]: we laten het bemonsteringsinterval TS weg We laten eveneens de factor dt weg (de tijd speelt niet meer mee: x[n] is gewoon een rij van getallen) We voeren een nieuwe complexe variabele z in z = esTS

12 Resultaat X(z) is een algebraïsche functie in de complexe variabele z !

13 Dimensie van V(z) Als v(t) een spanning voorstelt met de
dimensie [V], dan heeft de laplacegetrans- formeerde V(s) en ook V*(s) de dimensie [V.s] of [V/Hz]. Vermits we dt hebben weg- gelaten heeft V(z) terug de dimensie van [V].

14 Door de z-transformatie wordt een reëel signaal x[n] in het discrete tijddomein omgezet in een reëel signaal X(z) in het z-domein Z x[n] X(z) Z -1 DISCRETE TIJDDOMEIN z - DOMEIN X(z) = Z { x[n] }

15 Opmerking over bemonstering
Een schakelaar gedurende een oneindig korte tijd sluiten is natuurlijk onmogelijk: de werkelijke bemonstering van een signaal gebeurt met een ‘sample and hold’ schakeling + x(t) x*(t) _ schakelaar dicht = sample schakelaar open = hold

16 Het bemonsterd signaal x*(t)
sample x(t) x*(t) hold t t TS TS 3TS 4TS Gedurende de ‘hold’-faze heeft men de tijd om het bemonsterd signaal te digitaliseren met een analoog-digitaal convertor

17 Eigenschappen van de Z.T.
1. Lineariteit Z { x[n] } = X(z) als Z { y[n] } = Y(z) en dan is Z { a x[n] + b y[n] } = a X(z) + b Y(z)

18 Z {x[n]} = X(z) = x[0] + x[1] z-1 + x[2] z-2 + x[3] z-3 + …
2. Tijdsverschuiving x[n] x[n-1] x[3] x[3] x[1] x[1] x[4] x[-1] x[-1] x[2] x[2] x[0] x[0] n n Z {x[n]} = X(z) = x[0] + x[1] z-1 + x[2] z-2 + x[3] z-3 + … Z {x[n-1]} = x[-1] + x[0] z-1 + x[1] z-2 + x[2] z-3 + … Dus : Z {x[n-1]} = z-1 X(z) + x[-1]

19 Z {x[n-1]} = z-1 X(z) + x[-1]
Z {x[n-2]} = z-2 X(z) + z-1 x[-1] + x[-2] Z {x[n+1]} = z X(z) - z x[0] Z {x[n+2]} = z2 X(z) – z2 x[0] – z x[1] dus: De operator z-1 komt overeen met een vertraging: dit is de reden waarom in het blok diagram van tijddiscrete systemen we de bouwblok vertraging hebben voorgesteld door het symbool 1/z

20 3. Vermenigvuldgen met an
Z [x[n]] = X(z) = x[0] + x[1] z-1 + x[2] z-2 + x[3] z-3 + … Z [x[n] an] = x[0] + x[1] a z-1 + x[2] a2 z-2 + x[3] a3 z-3 + … Bijgevolg: Z [x[n] an] = Vermenigvuldigen met an in het tijddomein komt overeen met delen door a in het z-domein.

21 ↔ s ℒ [ x(t) ] = s X(s) – x(0) 4. Differentie
Z {D x} = Z {x[n] - x[n-1]} = X(z) – z-1 X(z) – x[-1] Z {D x} = Analogie met laplacetransformatie ℒ [ x(t) ] = s X(s) – x(0) ↔ s Twee besluiten: x[-1] is de beginvoorwaarde

22 ↔ ℒ [ ] = X(s) 5. Opteller : y[n] = y[n-1] + x[n]
Z [y[n]] = Y(z) = Z [y[n-1] + x[n]] = z-1 Y(z) + y[-1] + X(z) uitgang is kausaal Analogie met laplacetransformatie 1 ℒ [ ] = X(s) s 1 ↔ Zelfde besluit : s

23 6. Convolutie in de tijd Z [ x[n] * y[n] ] = X(z) . Y(z) Convolutie in het tijddomein wordt in het z-domein een eenvoudig product !

24 Beginwaardetheorema In het s-domein geldt:
Vermits z = esTS gaat z → ∞ als s → ∞ Gebruik makende van de analogie kunnen we schrijven: Logisch want X(z) = x[0] + x[1] z-1 + x[2] z-2 + x[3] z-3 + …

25 Eindwaardetheorema In het s-domein geldt :
Vermits z = esTS gaat z → 1 als s → 0 Gebruik makende van de analogie kunnen we schrijven:

26 De Z.T. van enkele signalen
De discrete diracimpuls d[n] Z {d[n]} = 1 Z {d(n-m)} = z-m De exponentiële getallenrij an Z {an} = 1 + a z-1 + a2 z-2 + … Als |az-1|< 1 dan convergeert deze meetkundige reeks tot Z {an} =

27 ↔ s ℒ [u(t)] = Z {u[n]} = De eenheidsstap u[n]
We kunnen de eenheidsstap beschouwen als u[n] = 1n Met de vorige formule en met a = 1 bekomen we Z {u[n]} = ℒ [u(t)] = Merk op: dezelfde analogie ↔ s

28 Z Z { n } = De eenheidshelling n [n+1] u[n] - n u[n] = u[n]
3 2 [n+1] u[n] - n u[n] = u[n] 1 n Z [n+1] u[n] 3 z X(z) – X(z) = 2 1 n Z { n } = u[n] 1 1 1 n

29 Kwadratische functie [n+1]2 – n2 = 2n + 1 Z z X(z) – X(z) = Z { n2 } =

30 De sinus Z {sin qn} = Z { } = = Z {sin qn} =

31 De cosinus Z {cos qn} = Z { } = = Z {cos qn} =

32 Z {u[n]} = Z { n } = Z { n an} = Z { n2 } = De eenheidsstap u[n]
De eenheidshelling n Z { n } = Helling x exponentiële Z { n an} = Kwadratische functie Z { n2 } =

33 Z {sin qn} = Z {an sin qn} = Z {cos qn} = Z {an cos qn} = De sinus
De gedempte sinus Z {an sin qn} = De cosinus Z {cos qn} = De gedempte cosinus Z {an cos qn} =

34 Responsie via het z-domein
x[n] y[n] differentievergelijking Z Z -1 Z X(z) Y(z) algebraïsche vergelijking

35 We illustreren de werkwijze aan de hand van drie voorbeelden
Eerste-orde systeem Tweede-orde systeem met reële polen Tweede-orde systeem algemeen Deze voorbeelden kunnen eenvoudig gesimuleerd worden met behulp van Excel

36 Eerste-orde: impulsresponsie
y[n] – 3 y[n-1] = 6 d[n] met beginvoorwaarde : y[-1] = 4 Y(z) – 3 { z -1 Y(z) + y[-1] } = X(z) Y(z) {1 – 3 z-1 } – 12 = 6 y[n] = 18 x 3n y[0] = 18 x 30 = 18 = x 4 y[1] = 18 x 31 = 54 = x 18 y[2] = 18 x 32 = 162 = x 54

37 Eerste-orde: stapresponsie
y[n] – 3 y[n-1] = 6 u[n] met beginvoorwaarde : y[-1] = 4 Y(z) [1 – 3 z-1 ] – 12 = Deze uitdrukking vinden we niet rechtstreeks in de tabel

38 Procedure Z -1 via de tabel
eerst delen we Y(z) door z dan splitsen we in partieelbreuken de bekomen uitdrukking “bewerken” we tot herkenbare functies uit de tabel

39 Toegepast op het voorbeeld
y[n] = -3 u[n] + 21 x 3n y[0] = x 30 = 18 = x 4 y[1] = x 31 = 60 = x 18 y[2] = x 32 = 186 = x 60

40 Tweede-orde: impulsresponsie
y[n] – 5 y[n-1] + 6 y[n-2] = x[n] = 2 d[n] beginvoorwaarden: y[-1] = 6 en y[-2] = 4 y[n] = x[n] - 6 y[n-2] + 5 y[n-1] n x[n] y[n-2] y[n-1] y[n] 2 4 6 8 1 -28 3 -164 -652 y[n] = ?

41 Berekening van Y(z) y[n] – 5 y[n-1] + 6 y[n-2] = x[n] = 2 d[n]
y[-1] = 6 en y[-2] = 4 Y(z) – 5 {z-1 Y(z) + y[-1]} + 6 {z-2Y(z) + z-1y[-1] + y[-2]} = X(z) Y(z) {1 – 5 z z-2 } – 30 + z = 2

42 Berekening van y(t) y[n] = -12 x 3n + 20 x 2n
y[0] = -12 x x 20 = = 8 y[1] = -12 x x 21 = = 4 y[2] = -12 x x 22 = = -28 y[3] = -12 x x 23 = = -164

43 Tweede-orde: stapresponsie
y[n] – 5 y[n-1] + 6 y[n-2] = x[n] = 2 u[n] beginvoorwaarden : y[-1] = 6 en y[-2] = 4 y[n] = x[n] - 6 y[n-2] + 5 y[n-1] n x[n] y[n-2] y[n-1] y[n] 2 4 6 8 1 -16 3 -114 -472 y[n] = ?

44 Berekening van Y(z) Y(z) {1 – 5 z z-2 } – 30 + z = 2

45 Berekening van y(t) y[n] = -9 x 3n + 16 x 2n + u[n]
y[0] = -9 x x = = 8 y[1] = -9 x x = = 6 y[2] = -9 x x = = -16 y[3] = -9 x x = = -114

46 Tweede-orde algemeen y[n] + b y[n-1] + c y[n-2] = x[n]
beginvoorwaarden: y[-1] = 0 en y[-2] = 0 Er zijn 3 mogelijkheden : Complexe polen b2 < 4c Reële polen b2 > 4c Samenvallende polen b2 = 4c

47 Complexe polen z2 + b z + c = z2 – 2 cosq a z + a2
In dit geval behouden we de kwadratische vorm: z2 + b z + c = z2 – 2 cosq a z + a2 Hieruit volgt:

48 Impulsresponsie y[n] – 1,7 y[n-1] + 0,81 y[n-2] = d[n]
Cijfervoorbeeld :

49 Plot impulsresponsie b=-1,7 c=0,81

50 Stapresponsie met zelfde cijfervoorbeeld : C = 9,09 A = -8,08 D = 1,64

51 Plot stapresponsie b=-1,7 c=0,81

52 Reële polen z2 + b z + c = (z - p1) (z - p2)
In dit geval ontbinden we de kwadratische vorm in factoren: z2 + b z + c = (z - p1) (z - p2) (p1)n+1 - (p2)n+1 De impulsresponsie wordt dan: y[n] = p1 - p2 De stapresponsie: y[n] = A (p1)n + B (p2)n + C u[n]

53 Plot impulsresponsie b=-1 c=0,09 p1 = 0,9 p2 = 0,1

54 Plot stapresponsie b=-1 c=0,09 p1 = 0,9 p2 = 0,1

55 Probleem: p1 of p2 is gelijk aan 1
z2 + b z + c = (z - p) (z - 1) De stapresponsie moet dan worden berekend uit: De stapresponsie : y[n] = A pn + B n + C u[n]

56 Plot stapresponsie b=-1,9 c=0,9 p1 =1 p2 = 0,9

57 Samenvallende polen z2 + b z + c = (z - p)2 met p = -b/2
In dit geval geldt: z2 + b z + c = (z - p) met p = -b/2 De impulsresponsie wordt dan: y[n] = pn + n pn De stapresponsie : y[n] = A pn + (B/p) n pn + C u[n]

58 Plot impulsresponsie b=-1,6 c=0, p1 = p2 = 0,8

59 Plot stapresponsie b=-1,6 c=0, p1 = p2 = 0,8

60 Zelfde probleem als p = 1 y[n] - 2 y[n-1] + y[n-2] = x[n]
In dit geval geldt: z2 + b z + c = (z - 1)2 De stapresponsie moet nu worden berekend uit :

61 Berekening van y(t) omdat we in de tabellen terugvinden
Uit A(z-1)2 + B(z-1) + C(z+1) = z2 volgt y[n] = u[n] + 1,5 n + 0,5 n2

62 Plot stapresponsie b=-2 c= p1 = p2 = 1

63 Besluit Een tijddiscreet systeem wordt beschreven door de transferfunctie H(z) in het z-domein Deze transferfunctie heeft polen en nulpunten De polen en nulpunten bepalen de transiëntresponsie van het systeem