Projectie en stelling van thales Hoofdstuk 7 Projectie en stelling van thales

2. Instap

2. Instap A B A’ B’

3. Evenwijdige projectie A B Z x A’ B’ Z’

3. Evenwijdige projectie Construeer door Z de evenwijdige rechte met p Het snijpunt van die rechte met x is het gezochte beeld Z’ p A B Z x A’ B’ Z’

4. Beeld van een figuur B p C A D F G H E J I x J’ G’ A’ C’

De evenwijdige projectie Vragen en opdrachten

Bepaal het beeld van de figuur F door de projectie op x, evenwijdig met p:

Bepaal het beeld van de figuur F door de projectie op x, evenwijdig met p:

Bepaal het beeld van de figuur F door de projectie op x, evenwijdig met p:

Het beeld van de rechte is een punt A’ 4. Bepaal het beeld van een rechte a door de projectie op x, evenwijdig met p. Maak, zo nodig, een onderscheid. a A’ 1° geval: rechte a loopt evenwijdig met p: Het beeld van de rechte is een punt A’

Het beeld van de rechte a is de rechte x 4. Bepaal het beeld van een rechte a door de projectie op x, evenwijdig met p. Maak, zo nodig, een onderscheid. a B’ A’ C’ 2° geval: rechte a loopt niet evenwijdig met p: Het beeld van de rechte a is de rechte x

De koppels behoren tot de evenwijdige projectie op x evenwijdig met p Behoren de koppels (A, A') en (B, B') tot een zelfde evenwijdige projectie? x p 1° vraag: lopen AA’ en BB’ evenwijdig? AA’ // BB’ 2° vraag: liggen A’ en B’ op één rechte? Ja Besluit: De koppels behoren tot de evenwijdige projectie op x evenwijdig met p

De koppels behoren tot de evenwijdige projectie op x evenwijdig met p Behoren de koppels (A, A') en (B, B') tot een zelfde evenwijdige projectie? p 1° vraag: lopen AA’ en BB’ evenwijdig? AA’ // BB’ x 2° vraag: liggen A’ en B’ op één rechte? Ja Besluit: De koppels behoren tot de evenwijdige projectie op x evenwijdig met p

De koppels behoren niet tot een evenwijdige projectie Behoren de koppels (A, A') en (B, B') tot een zelfde evenwijdige projectie? 1° vraag: lopen AA’ en BB’ evenwijdig? Nee! Besluit: De koppels behoren niet tot een evenwijdige projectie

De koppels behoren tot de evenwijdige projectie op x evenwijdig met p Behoren de koppels (A, A') en (B, B') tot een zelfde evenwijdige projectie? p 1° vraag: lopen AA’ en BB’ evenwijdig? Nee, maar in B vertrekt een lus dus B ligt op … x 2° vraag: liggen A’ en B’ op één rechte? Ja Besluit: De koppels behoren tot de evenwijdige projectie op x evenwijdig met p

1°: projectierichting p bepalen 6. De gegeven koppels bepalen een evenwijdige projectie. Construeer het beeld van het punt A. p A’ x 1°: projectierichting p bepalen 2°: projectiescherm x bepalen 3°: beeld van A bepalen evenwijdig met p op x

7. Bepaal voor de volgende figuur de beelden van A, B, C, D door de projectie op BD, evenwijdig met AD, (A’,B’,C’ en D’) de projectie op BD, evenwijdig met AC. (A’’,B’’,C’’ en D’’) =B’ =C’ =B’’ =A’’ =C’’ =A’ =D’ =D’’

Hoofdstuk 11 Homothetie

(12,-2) (-12,2) 5. Instap (6,-1).2 = (6,-1).(-2) = Een koppel met een getal vermenigvuldigen (6,-1).2 = (12,-2) Voorbeeld: (6,-1).(-2) = (-12,2) Welk koppel krijg je als je het koppel (0, 0) met om het even welk getal vermenigvuldigt? Antwoord: Het koppel (0,0)

5. Opdracht 1 : p201 We geven ten opzichte van een assenstelsel (x, y) het rechthoekig trapezium ABCD met hoekpunten: A(6,-1) B(2,3) C(6,3) D(8, 1) B’ C’ D’ A’ A’(12,-2) B’(4,6) C’(12,6) D’(16, 2)

5. Opdracht 1 : p201 We geven ten opzichte van een assenstelsel (x, y) het rechthoekig trapezium ABCD met hoekpunten: A(6,-1) B(2,3) C(6,3) D(8, 1) A’ D’ C’ B’ A’(-12,2) B’(-4,-6) C’(-12,-6) D’(-16,-2)

6. Homothetie Alle pijlen eindigen in de oorsprong (0,0) Opmerking 5 : Waar eindigen alle pijlen als k = O ? Alle pijlen eindigen in de oorsprong (0,0) = de constante homethetie

= de puntspiegeling met centrum O 6. Homothetie p201 Opmerking 6 : Ook k = -1 geeft een bijzondere transformatie. Welke? A’ (-6,1) (6,-1) D’ C’ B’ = de puntspiegeling met centrum O = de draaiing d(O,180°)

8. Eigenschappen van een niet-constante homothetie een niet-constante homothetie behoudt Het rechte-zijn de evenwijdige stand van rechten de hoekgrootte de loodrechte stand van rechten een niet-constante homothetie beeldt een rechte op een evenwijdige rechte af. A’ B’ C’ D’

9. Instap p204 We geven ten opzichte van een assenstelsel een rechthoekige driehoek met hoekpunten: A(2, - 2) B(2, 1) C(6, - 2) C’ A’ B’ h(O,-2) A’(-4,4) B’(-4,-2) C’(-12,4)

10. Verdere eigenschappen B’ Meet de zijden van ABC en A'B'C': |AB| = |BC|= |CA| = |A'B'|= |B'C'|= |CA'|= 1,5 cm 2,5 cm 2 cm 3 cm 5 cm 4 cm Voor een homethetie met centrum O en factor k geldt: |A’B’| = |k|.|AB|

10. Verdere eigenschappen B’ Bereken de omtrekken van ABC en A'B'C': Omtrek ABC = Omtrek A’B’C’ = 1,5 cm + 2,5 cm + 2 cm = 6 cm 3 cm + 5 cm + 4 cm = 12 cm Voor een homethetie met centrum O en factor k geldt: omtrek ABC = |k|. omtrek A’B’C’

10. Verdere eigenschappen B’ Bereken de oppervlakten van ABC en A'B'C': Oppervlakte ABC = Oppervlakte A’B’C’ = (2 cm . 1,5 cm) : 2 = 1,5 cm² (4 cm . 3 cm) : 2 = 6 cm² Voor een homethetie met centrum O en factor k geldt: oppervlakte ABC = k². oppervlakte A’B’C’

11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206 B’ 2 C’ 2 1 1 D’ 2 1 1 2 A’

11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206 Methode 1: Bepaal het beeld van het punt A door de homothetie h(O,3) A’ A 3 O 2 1 1. Trek de rechte OA 2. Geef O de abscis 0 en A de abscis 1 3. Zoek op de rechte OA het punt met abscis 3 4. Dit punt is het beeld A’ van A door h(O,3)

11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206 Methode 1: Bepaal het beeld van het punt A door de homothetie h(O; -0,5) A’ -0,5 1. Trek de rechte OA 2. Geef O de abscis 0 en A de abscis 1 3. Zoek op de rechte OA het punt met abscis -0,5 4. Dit punt is het beeld A’ van A door h(O;-0,5)

11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206 Methode 1: Bepaal het beeld van het punt A door de homothetie h(O,4) 1 A’ 4 1. Trek de rechte OA 2. Geef O de abscis 0 en A de abscis 1 3. Zoek op de rechte OA het punt met abscis 4 4. Dit punt is het beeld A’ van A door h(O,4)

11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206 Methode 1: Bepaal het beeld van het punt A door de homothetie h(O,-3) 1 -3 A’ 1. Trek de rechte OA 2. Geef O de abscis 0 en A de abscis 1 3. Zoek op de rechte OA het punt met abscis -3 4. Dit punt is het beeld A’ van A door h(O,-3)

11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206 Methode 2: Bepaal het beeld van het punt B door de homothetie met centrum O en koppel (A,A’) A’ B’ A B C’ C O D D’

11. Een homothetie zonder assenstelsel. p206 Methode 2: Bepaal het beeld van het punt B door de homothetie met centrum O en koppel (A,A’) 1. Trek de rechte OB en AB B’ 2. Trek door A’ de evenwijdige rechte met AB 3. Het snijpunt van deze rechte en OB is B’

Vragen en opdrachten p 207

8. Bepaal bet beeld van de gegeven figuur door de gegeven homothetie: 1 2

8. Bepaal bet beeld van de gegeven figuur door de gegeven homothetie: 1 3

8. Bepaal bet beeld van de gegeven figuur door de gegeven homothetie: -2 1

8. Bepaal bet beeld van de gegeven figuur door de gegeven homothetie: -1,5 -1 1

8. Bepaal bet beeld van de gegeven figuur door de gegeven homothetie: -1/3 1

9. Is de figuur F' het beeld van de figuur F door een homothetie? Zo ja, duid het centrum aan en geef de factor. 1 h(O,-2) O -2

9. Is de figuur F' het beeld van de figuur F door een homothetie? Zo ja, duid het centrum aan en geef de factor. 1 O -0,5 h(O;-O,5)

Geen homothetie, wel een verschuiving 9. Is de figuur F' het beeld van de figuur F door een homothetie? Zo ja, duid het centrum aan en geef de factor. Geen homothetie, wel een verschuiving

De homothetie met factor  1: 1 dekpunt, nl. het centrum 10. a. Heeft een homothetie dekpunten? Maak, zo nodig, een onderscheid. De homothetie met factor  1: 1 dekpunt, nl. het centrum De homothetie met factor = 1: alle punten zijn dekpunten

h-1(O,-2) = h(O;-1/2) h-1(O,k) = h(O,k-1) 10. b. Als je bij een homothetie alle pijlen omkeert, krijg je dan opnieuw een homothetie? A’ D’ C’ B’ h-1(O,-2) = h(O;-1/2) h-1(O,k) = h(O,k-1)

Doorloopzin blijft behouden 10. c. Behoudt een niet-constante homothetie de doorloopzin van een figuur? A’ D’ C’ B’ Doorloopzin blijft behouden

11. Omtrek F = 18 cm Oppervlakte F = 24 cm² Voor het beeld F' van F door h(O, 3) geldt: omtrek F' = oppervlakte F' = Voor het beeld F" van F door h(P, -4) geldt: omtrek F" = oppervlakte F" = Voor het beeld F'" van F door h(Q, -0,5) geldt: omtrek F'" = oppervlakte F'" = |3|.18 cm = 54 cm 3².24 cm² = 9.24 cm² = 216 cm² |-4|.18 cm = 72 cm (-4)².24 cm² = 16.24 cm² = 384 cm² |-0,5|.18 cm = 9 cm (-0,5)².24 cm² = 0,25.24 cm² = 6 cm²

 Driehoek OBC is het beeld van  OVA door een homothetie met factor Dus |BC| = k1 . |AV| = (1) Driehoek FBC is het beeld van  FOD door een homethetie met factor Dus |BC| = k2 . |AV| = (2) Lid aan lid ((2) delen door (1)) geeft: A D  B C

     Beide leden delen door v Beide leden + 1/b A D C D Vervangen –we nu |FB| door b-f , |OF| door f, |OB| door b en |OV| door v dan krijgen we    Beide leden delen door v  Beide leden + 1/b 

Voor wie meer wil! p 208

Er bestaan twee homothetieën die de rechthoek F op de rechthoek F‘ afbeelden. Construeer telkens het centrum en geef de factor. 1 O1 O2 1 -2 2 h(O1,2) h(O2,-2)

14. Bereken voor elke figuur x en y: x = k.11 = 3 . 11 = 33 y = 24 : k = 24 : 3 = 8

14. Bereken voor elke figuur x en y: x = k.9 = 2 . 9 = 18 y = 10 : k = 10 : 2 = 5

Wordt een rechte afgebeeld op een evenwijdige rechte? 15. Behoren de gegeven koppels tot een zelfde homothetie? Wordt een rechte afgebeeld op een evenwijdige rechte? Nee! Geen homothetie

15. Behoren de gegeven koppels tot een zelfde homothetie? Ja! Ja! Wordt een rechte afgebeeld op een evenwijdige rechte? Homothetie met k>1 Is er een mogelijke oorsprong?

15. Behoren de gegeven koppels tot een zelfde homothetie? Ja! Ja! Wordt een rechte afgebeeld op een evenwijdige rechte? Homothetie met 0<k<1 Is er een mogelijke oorsprong?

15. Behoren de gegeven koppels tot een zelfde homothetie? Ja! Ja! Wordt een rechte afgebeeld op een evenwijdige rechte? Homothetie met k<-1 Is er een mogelijke oorsprong?

Een lijnstuk wordt op een evenwijdig lijnstuk afgebeeld… 16. Construeer het beeld van het punt A door de homothetie bepaald door de gegeven koppels: A’ Een lijnstuk wordt op een evenwijdig lijnstuk afgebeeld…

Een lijnstuk wordt op een evenwijdig lijnstuk afgebeeld… 16. Construeer het beeld van het punt A door de homothetie bepaald door de gegeven koppels: A’ Een lijnstuk wordt op een evenwijdig lijnstuk afgebeeld…

17*. Gegeven is een ABC. Construeer een vierkant met één hoekpunt op [AB], één op [AC] en twee op [BC]. Nu werk je verder met een homothetie met centrum B… Teken een vierkant met 2 punten op BC en 1 op AB