6 Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden Rekenen in verhouding Rekenen, onderzoeken, ontwerpen, modelleren | havo | Samenvatting 6.1 Rekenvaardigheden Rekenen in verhouding Als twee grootheden met dezelfde factor toe- of afnemen, kun je rekenen in verhouding. Er is dan sprake van een constante verhouding. Bij berekeningen kun je gebruik maken van een verhoudingstabel: × 120 100 km 12 000 km 6,8 liter Figuur 1

6 Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden Rekenen met procenten Rekenen, onderzoeken, ontwerpen, modelleren | havo | Samenvatting 6.1 Rekenvaardigheden Rekenen met procenten Bij berekeningen met procenten kun je ook gebruik maken van een verhoudingstabel. Meestal komt dan in één van de vakjes de waarde 100% te staan. De uitkomst bereken je met de vermenigvuldigingsfactor, door terug te rekenen naar 1% of met het kruisproduct. × 0,78 ÷ 0,78 100 % 78 % 340 kJ Figuur 2

6 Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden Evenredig Rekenen, onderzoeken, ontwerpen, modelleren | havo | Samenvatting 6.1 Rekenvaardigheden Evenredig Twee grootheden zijn evenredig met elkaar als ze met dezelfde factor toe- of afnemen. De verhouding tussen de twee grootheden is dan constant. De formule wordt bijvoorbeeld: 𝑢 𝑚 =0,6 of 𝑢 = 0,6∙𝑚 Massa 2 kg 8 kg 15 kg 20 kg 25 kg Uitrekking 1,2 m 4,8 m 9,0 m 12 m 15 m Verhouding 0,6 Figuur 3

6 Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden Evenredig Rekenen, onderzoeken, ontwerpen, modelleren | havo | Samenvatting 6.1 Rekenvaardigheden Evenredig Twee grootheden zijn evenredig met elkaar als ze met dezelfde factor toe- of afnemen. De verhouding tussen de twee grootheden is dan constant. De formule wordt bijvoorbeeld: 𝑢 𝑚 =0,6 of 𝑢 = 0,6∙𝑚 De grafiek is een rechte lijn door de oorsprong. De constante in de formule is gelijk aan het hellingsgetal van de lijn. Figuur 4

6 Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden Omgekeerd evenredig Rekenen, onderzoeken, ontwerpen, modelleren | havo | Samenvatting 6.1 Rekenvaardigheden Omgekeerd evenredig Twee grootheden zijn omgekeerd evenredig met elkaar als de ene grootheid met dezelfde factor toeneemt als de andere afneemt. Het product van de twee grootheden is dan constant. De formule wordt dan: 𝑣∙𝑡=1800 of 𝑡= 1800 𝑣 tijd (s) 75 120 150 240 300 snelheid (m/s) 24 15 12 7,5 6,0 product 1800 Figuur 5

6 Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden Omgekeerd evenredig Rekenen, onderzoeken, ontwerpen, modelleren | havo | Samenvatting 6.1 Rekenvaardigheden Omgekeerd evenredig Twee grootheden zijn omgekeerd evenredig met elkaar als de ene grootheid met dezelfde factor toeneemt als de andere afneemt. Het product van de twee grootheden is dan constant. De formule wordt dan: 𝑣∙𝑡=1800 of 𝑡= 1800 𝑣 De grafiek is een kromme, dalende lijn die de assen niet snijdt. De oppervlakte van de rechthoek tussen de oorsprong en de lijn is constant. Figuur 6

6 Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden Rekenen, onderzoeken, ontwerpen, modelleren | havo | Samenvatting 6.1 Rekenvaardigheden Evenredig met het kwadraat of met de wortel Als de ene grootheid n keer zo groot wordt, dan wordt de andere grootheid n2 keer zo groot of √n keer zo groot. ×3 ×9 x 1 3 5 7 9 y 4 36 100 196 10 7,5 12 15 24 30 8,4 10,6 11,9 16,8 ×1,6 ×√1,6 Figuur 7

6 Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden Rekenen, onderzoeken, ontwerpen, modelleren | havo | Samenvatting 6.1 Rekenvaardigheden Omgekeerd evenredig met het kwadraat of met de wortel Als de ene grootheid n keer zo groot wordt, dan wordt de andere grootheid n2 keer zo klein of √n keer zo klein. ×3 ÷32 x 1 3 5 7 9 y 54 6 2,16 1,1 0,67 7,5 12 15 24 30 84 66 59 47 42 ×1,6 ÷√1,6 Figuur 8

6 Vaardigheden 6.1 Rekenvaardigheden Rekenen, onderzoeken, ontwerpen, modelleren | havo | Samenvatting 6.1 Rekenvaardigheden Nauwkeurigheid en significante cijfers Bij een onderzoek probeer je zo nauwkeurig mogelijk te werken. Gebruik goede apparatuur om de grootheden te meten en houd tijdens de meetreeks de andere grootheden constant. Verspreid de metingen over een groot meetbereik, doe veel metingen en herhaal metingen. Bij vermenigvuldigen en delen rond je af op het aantal significante cijfers van het minst nauwkeurige gegeven. Bij optellen en aftrekken rond je af op het aantal decimalen van het minst nauwkeurige gegeven.

6 Vaardigheden 6.2 Onderzoeksvaardigheden Verbanden onderzoeken Rekenen, onderzoeken, ontwerpen, modelleren | havo | Samenvatting 6.2 Onderzoeksvaardigheden Verbanden onderzoeken Het verband tussen twee grootheden kan bijvoorbeeld evenredig of omgekeerd evenredig zijn. Dan kun je de tabelmethode gebruiken om het verband te onderzoeken. x 10 20 30 40 50 y 0,24 0,48 0,72 0,96 1,20 verhouding y/x 0,024 7,5 12 15 24 6,0 product y∙x 180 Figuur 9

6 Vaardigheden 6.2 Onderzoeksvaardigheden Verbanden onderzoeken Rekenen, onderzoeken, ontwerpen, modelleren | havo | Samenvatting 6.2 Onderzoeksvaardigheden Verbanden onderzoeken Bij een functiefit zoek je met de computer de best passende formule bij een serie metingen. Veel evenredigheden zijn machtsfuncties. evenredig 𝒚=𝒄∙𝒙 𝒚=𝒄∙ 𝒙 𝟏 omgekeerd evenredig 𝒚=𝒄∙ 𝟏 𝒙 𝒚=𝒄∙ 𝒙 −𝟏 evenredig met het kwadraat 𝒚=𝒄∙ 𝒙 𝟐 evenredig met de wortel 𝒚=𝒄∙ 𝒙 𝒚=𝒄∙ 𝒙 𝟏 𝟐 omgekeerd evenredig met het kwadraat 𝒚=𝒄∙ 𝟏 𝒙 𝟐 𝒚=𝒄∙ 𝒙 −𝟐 omgekeerd evenredig met de wortel 𝒚=𝒄∙ 𝟏 𝒙 𝒚=𝒄∙ 𝒙 − 𝟏 𝟐 Figuur 10

6 Vaardigheden 6.2 Onderzoeksvaardigheden Onderzoeksvraag Rekenen, onderzoeken, ontwerpen, modelleren | havo | Samenvatting 6.2 Onderzoeksvaardigheden Onderzoeksvraag Bij veel onderzoeken bij natuurkunde gaat de onderzoeksvraag over het verband tussen twee grootheden. De hypothese is een beredeneerde voorspelling van de uitkomst van het onderzoek, vaak in de vorm van een verband of een grafiek. Het resultaat van zo’n onderzoek is een grafiek met een bij de metingen passend verband. De conclusie is dan een verband, eventueel in de vorm van een formule.

6 Vaardigheden 6.2 Onderzoeksvaardigheden Tabellen en grafieken Rekenen, onderzoeken, ontwerpen, modelleren | havo | Samenvatting 6.2 Onderzoeksvaardigheden Tabellen en grafieken Meetresultaten noteer je in een tabel. In de eerste kolom de grootheid die je zelf ingesteld hebt. De afhankelijke grootheid noteer je in de tweede kolom. Noteer boven de kolom de grootheid en de eenheid . Bij een diagram gelden de volgende eisen: Grootheden en eenheden langs de assen. Meetpunten aangeven met een duidelijke stip. Het verband geef je aan met een rechte lijn of een vloeiende kromme lijn die zo goed mogelijk bij de meetpunten past. Figuur 11

6 Vaardigheden 6.2 Onderzoeksvaardigheden Videometen Rekenen, onderzoeken, ontwerpen, modelleren | havo | Samenvatting 6.2 Onderzoeksvaardigheden Videometen Bij videometen leg je de positie van een bewegend voorwerp op elk beeldje vast. Daardoor ontstaat een meetspoor in een assenstelsel. Met de schaalverdeling worden de coördinaten van elke positie berekend. Het resultaat is een s,t-diagram en een v,t-diagram. Met functiefit kan van beide grafieken een formule gevonden worden. De helling van de (raak)lijn in het v,t-diagram is de versnelling. De oppervlakte onder het v,t-diagram is de verplaatsing.

6 Vaardigheden 𝐝𝒗 𝐝𝒕 =𝒂 (of 𝒗=𝒗+𝒂∙𝐝𝒕) 𝐝𝒔 𝐝𝒕 =𝒗 (of 𝐬=𝒔+𝒗∙𝐝𝒕) Rekenen, onderzoeken, ontwerpen, modelleren | havo | Samenvatting 6.3 Dynamische modellen Modelgrootheden Een dynamisch model is opgebouwd uit drie soorten grootheden: constante grootheden, formulegrootheden en groeigrootheden. Het hart van een dynamisch model wordt gevormd door de groeivergelijkingen. Daarmee wordt vastgelegd hoe de overige grootheden zorgen voor de verandering van de groeigrootheid. Bij een rechtlijnige beweging zijn de groeivergelijkingen: 𝐝𝒗 𝐝𝒕 =𝒂 (of 𝒗=𝒗+𝒂∙𝐝𝒕) 𝐝𝒔 𝐝𝒕 =𝒗 (of 𝐬=𝒔+𝒗∙𝐝𝒕)

6 Vaardigheden 6.3 Dynamische modellen Modelgrootheden Rekenen, onderzoeken, ontwerpen, modelleren | havo | Samenvatting 6.3 Dynamische modellen Modelgrootheden Een dynamisch model rekent in tijdstappen. Een kleinere tijdstap zorgt voor een grotere nauwkeurigheid en een langere rekentijd. Begintijd en eindtijd worden in het model gekozen. Groeigrootheden hebben een startwaarde. Bij elke formulegrootheid hoort een rekenregel in het model. Het resultaat van een dynamisch model is bijvoorbeeld een tabel, een grafiek of een animatie van een bewegend voorwerp.

6 Vaardigheden 6.4 Technisch ontwerpen Ontwerpcyclus Rekenen, onderzoeken, ontwerpen, modelleren | havo | Samenvatting 6.4 Technisch ontwerpen Ontwerpcyclus Bij een technisch ontwerp zijn zowel het resultaat (het product) als het proces (de ontwerpcyclus) belangrijk. Startpunt van de ontwerpcyclus is een programma van eisen. Daarna volgt een inventarisatie van mogelijke (deel)oplossingen. In die fase is divergent denken belangrijk. In de volgende fase wordt toegewerkt naar een (deel)ontwerp. In die fase is convergent denken belangrijk. Nadat het ontwerp gerealiseerd is wordt het getest en geëvalueerd.

6 Vaardigheden 6.4 Technisch ontwerpen - ontwerpcyclus Rekenen, onderzoeken, ontwerpen, modelleren | havo | Samenvatting 6.4 Technisch ontwerpen - ontwerpcyclus Figuur 12