Voorkennistest wiskunde voor Stralingshygiëne niveau 4, 3 en 2 If people do not believe that mathematics is simple, it is only because they do not realize how complicated life is.  ~John Louis von Neumann

Uitleg Dit is een voorkennistest op het gebied van wiskunde voor de cursus stralingshygiëne niveau 4, 3 en 2. Rechtsboven is steeds aangegeven voor welke niveaus de gevraagde wiskundige vaardigheid relevant is. Werk de vraag uit op papier, bij voorkeur zonder rekenmachine. Bij elke vraag kunt u een hint krijgen door te klikken. Klikt u nogmaals dan krijgt u de uitwerking. Onder de uitwerking kunt u aangeven of u de vraag correct had weten te beantwoorden of niet. Er wordt vervolgens aangegeven met welke vraag u verder kunt gaan. Wanneer u meerdere vragen over hetzelfde onderdeel of heel basale vragen fout beantwoordt, zal de test aangeven dat u door ons aangeraden wordt de Voorcursus te volgen. U kunt echter natuurlijk beslissen verder te gaan met de volgende vraag. De test bestaat uit 50 opgaven, maar u hoeft deze nooit alle te maken. De tijd die de test maximaal zou moeten kosten is 1,5 uur.

Lineaire en kwadratische vergelijkingen Vraag 1 Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking: Hint: Breng door herschrijven x uit de noemer.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 3 Fout? Door naar Vraag 2

Lineaire en kwadratische vergelijkingen Vraag 2 Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking: Hint: Begin met aan beide zijden 7 op te tellen.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 3 Fout? We raden u aan u op te geven voor de Voorcursus

Lineaire en kwadratische vergelijkingen Vraag 3 Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking: Hint: Ontbindt de vergelijking in factoren in de vorm (x + a)(x + b) = 0.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 5 Fout? Door naar Vraag 4 Ontbinden in factoren: (x + a)(x + b) = 0 a en b opgeteld -6, a en b vermenigvuldigd 9. Alle mogelijkheden op gehele getallen die bij vermenigvuldiging 9 opleveren: a b + * 1 9 10 3 6 -1 -9 -10 -3 -6 Goed? Door naar Vraag 5 Fout? Door naar Vraag 4

Lineaire en kwadratische vergelijkingen Vraag 4 Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking: Hint: Haal buiten haakjes en los op

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 6 Fout? We raden u aan u op te geven voor de Voorcursus

Lineaire en kwadratische vergelijkingen Vraag 5 Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking: Hint: Herschrijf de vergelijking in de vorm ax 2 + bx + c = 0, vereenvoudig en los op.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 6 Fout? Door naar Vraag 4

Machten en logaritmes Vraag 6 Reken uit zonder rekenmachine: Hint: a-1 = 1/a

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 8 Fout? Door naar Vraag 7 Een negatieve macht leidt volgens de rekenregels voor machten tot een breuk: Goed? Door naar Vraag 8 Fout? Door naar Vraag 7

Machten en logaritmes Vraag 7 Reken uit zonder rekenmachine: Hint: De exponent geeft aan hoeveel keer het grondtal met zichzelf moet worden vermenigvuldigd.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 8 Fout? We raden u aan u op te geven voor de Voorcursus

Machten en logaritmes Vraag 8 Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking: Hint: Niet nodig om de machten uit te rekenen, rekenregels voor machten gebruiken

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 10 Fout? Door naar Vraag 9 Wanneer machten met hetzelfde grondtal met elkaar worden vermenigvuldigd, mogen de exponenten worden opgeteld: Uitgeschreven is dit logisch te verklaren: Goed? Door naar Vraag 10 Fout? Door naar Vraag 9

Machten en logaritmes Vraag 9 Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking: Hint: Vergelijkbare rekenregel als in vraag 8

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 10 Rekenregel: Goed? Door naar Vraag 10 Fout? We raden u aan u op te geven voor de Voorcursus

Machten en logaritmes Vraag 10 Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking: Hint: Rekenregels voor machten gebruiken en 4x schrijven als macht van 2.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 12 Fout? Door naar Vraag 11 Wanneer een macht tot een macht wordt verheven, kunnen de exponenten worden vermenigvuldigd: Dezelfde regel gebruiken om 4x om te schrijven: Goed? Door naar Vraag 12 Fout? Door naar Vraag 11

Machten en logaritmes Vraag 11 Reken uit zonder rekenmachine: Hint: Wortels zijn de omgekeerde bewerking van machten

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 12 Fout? Door naar Vraag 13 Probeer uit welk getal je 3x met zichzelf moet vermenigvuldigen om 64 te krijgen: Goed? Door naar Vraag 12 Fout? Door naar Vraag 13

Machten en logaritmes Vraag 12 Reken uit zonder rekenmachine: Hint: Gebroken machten zijn wortels. Splits deze macht in een vermenigvuldiging van twee machten en reken uit.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 14 Fout? Door naar Vraag 13 Uitwerking (een van de manieren): Splits op m.b.v. rekenregels voor machten: Een gebroken macht is gelijk aan een wortel: Dus het correcte antwoord is: Goed? Door naar Vraag 14 Fout? Door naar Vraag 13

Machten en logaritmes Vraag 13 Reken uit zonder rekenmachine: Hint: Reken ofwel met de vierdemachtswortel, of gebruik de rekenregels voor exponenten om de macht te splitsen.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 14 Gebroken machten zijn wortels. Herschrijven: Andere oplossing is rekenregels gebruiken: Goed? Door naar Vraag 14 Fout? Aandachtspunt, maar ook door naar Vraag 14

Machten en logaritmes Vraag 14 Bereken het volgende logaritme: Hint: Het logaritme wordt gebruikt om de exponent van een macht te berekenen. Bovenstaande opgave vraagt eigenlijk: “Tot welke macht moet het grondtal 2 verheven worden om 1024 te krijgen?”.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 17 Fout? Door naar Vraag 15

Machten en logaritmes Vraag 15 Bereken het volgende logaritme: Hint: Het logaritme wordt gebruikt om de exponent van een macht te berekenen. Bovenstaande opgave vraagt eigenlijk: “Tot welke macht moet het grondtal 3 verheven worden om 81 te krijgen?”.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 16 Fout? We raden u aan u op te geven voor de Voorcursus

Machten en logaritmes Vraag 16 Bereken het volgende logaritme: Hint: Rekenregels voor logaritmen vergemakkelijken deze berekening.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 18 Wanneer een exponent in een logaritme voorkomt, mag deze er direct uitgehaald worden en vermenigvuldigd worden met het resterende logaritme. Hiermee is vaak vereenvoudiging mogelijk: Goed? Door naar Vraag 18 Fout? Aandachtspunt, maar ook door naar Vraag 18

Machten en logaritmes Vraag 17 Los x op uit de volgende vergelijking: Hint: Maak gebruik van de rekenregels voor logaritmen om deze vergelijking te herschrijven.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 18 Fout? Door naar Vraag 16 Wanneer een exponent in een logaritme voorkomt, mag deze er direct uitgehaald worden en vermenigvuldigd worden met het resterende logaritme. Hiermee is vaak vereenvoudiging mogelijk: Goed? Door naar Vraag 18 Fout? Door naar Vraag 16

Machten en logaritmes Vraag 18 Bereken het volgende logaritme. U mag hierbij uw rekenmachine gebruiken. Hint: Gebruik de rekenregel alog b = xlog b / xlog a om het logaritme om te schrijven naar een ander grondtal en zo in de rekenmachine te kunnen invoeren.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 20 Fout? Door naar Vraag 19 Gebruik het logaritme met grondtal 10, deze zit op uw rekenmachine (10log- of LOG-knop): Goed? Door naar Vraag 20 Fout? Door naar Vraag 19

Machten en logaritmes Vraag 19 Bereken het volgende logaritme. U mag hierbij uw rekenmachine gebruiken. Hint: Gebruik de rekenregel alog b = xlog b / xlog a om het logaritme om te schrijven naar een ander grondtal en zo in de rekenmachine te kunnen invoeren.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 20 Gebruik het logaritme met grondtal 10, deze zit op uw rekenmachine (10log- of LOG-knop): Goed? Door naar Vraag 20 Fout? We raden u aan u op te geven voor de Voorcursus

Machten en logaritmes Vraag 20 Bereken het volgende logaritme. Kan ook zonder rekenmachine. Hint: Gebruik de rekenregel alog b = xlog b / xlog a om het logaritme om te schrijven naar een ander grondtal en het eenvoudig op te kunnen lossen.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 21 Herschrijven naar het logaritme van 3 om het zonder rekenmachine op te lossen: Herschrijven naar het logaritme van 10 met rekenmachine werkt altijd: Goed? Door naar Vraag 21 Fout? Het kunnen oplossen met rekenmachine is essentieel voor alle niveaus, begrip van het principe voor N2 en N3. Verder naar Vraag 21.

Machten en logaritmes Vraag 21 Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking: Hint: Schrijf 32 als macht van 2 of gebruik het logaritme.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 22 Schrijf 32 als macht van 2: Dit is feitelijk hetzelfde als het logaritme nemen: Goed? Door naar Vraag 22 Fout? We raden u aan u op te geven voor de Voorcursus

Machten en logaritmes Vraag 22 Los t op uit de volgende wiskundige vergelijking die u zou kunnen tegenkomen in de berekening van verval van radioactief afval: Hint: Deze vergelijking kan ook opgelost worden door te bepalen hoe vaak het getal 4480 gehalveerd moet worden om 35 te krijgen.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 24 Fout? Door naar Vraag 23 Alternatief voor log-berekening: Tel eenvoudigweg na hoe vaak het getal 4480 gehalveerd moet worden om op 35 te komen. Het antwoord is 7. Goed? Door naar Vraag 24 Fout? Door naar Vraag 23

Machten en logaritmes Vraag 23 Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking die overeenkomt met radioactief verval: Hint: Los op door ofwel het logaritme te nemen ofwel steeds met 1/2 te vermenigvuldigen.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 24 Alternatief voor log-berekening: Tel eenvoudigweg na hoe vaak het getal 1024 gehalveerd moet worden om op 2 te komen. Het antwoord is 9. Goed? Door naar Vraag 24 Fout? We raden u aan u op te geven voor de Voorcursus

Machten en logaritmes Vraag 24 Los t op uit de volgende wiskundige vergelijking die u zou kunnen tegenkomen in de berekening van verval van radioactief afval (u mag de rekenmachine gebruiken): Hint: Los op via logaritmeberekening. Let op het minteken in de exponent en de juiste invoer van de wetenschappelijke notatie.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 25 Fout? Aandachtspunt, maar ook door naar Vraag 25

Machten en logaritmes Vraag 25 Los d op uit de volgende wiskundige vergelijking die je zou kunnen tegenkomen in de berekening van een afschermingsdikte. Hint: De exponent van het getal e (= 2,71828…) kan worden berekend door het natuurlijk logaritme (ln) te nemen.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 26 Fout? Door naar Vraag 27 Gebruik het natuurlijk logaritme om de e-macht weg te werken: Goed? Door naar Vraag 26 Fout? Door naar Vraag 27

Machten en logaritmes Vraag 26 Los t op uit de volgende wiskundige vergelijking die u zou kunnen tegenkomen in de berekening van een activiteitsproductieberekening. Hint: Maak de e-macht vrij en gebruik de ln om deze op te lossen.

Uitwerking Goed? N3 en N2: Door naar Vraag 28 N4: Door naar Vraag 31 Fout? Door naar Vraag 27

Machten en logaritmes Vraag 27 Los d op uit de volgende wiskundige vergelijking die je zou kunnen tegenkomen in de berekening van een afschermingsdikte. Hint: Gebruik de ln-knop op de rekenmachine om het natuurlijk logaritme van een getal te nemen.

Uitwerking Goed? N3 en N2: Door naar Vraag 28 N4: Door naar Vraag 31 Gebruik het natuurlijk logaritme om de e-macht weg te werken: Goed? N3 en N2: Door naar Vraag 28 N4: Door naar Vraag 31 Fout? N3 en N2: Wij raden u de Voorcursus aan N4: Aandachtspunt, door naar Vraag 31

Machten en logaritmes Vraag 28 Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking: Hint: Gebruik de rekenregels om het logaritme te splitsen.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 30 Fout? Door naar Vraag 29 Als in een logaritme een vermenigvuldiging van twee termen staat, kan dit opgesplitst worden in een optelling van twee logaritmes: Goed? Door naar Vraag 30 Fout? Door naar Vraag 29

Machten en logaritmes Vraag 29 Los x op uit de volgende wiskundige vergelijking: Hint: Gebruik de rekenregels om tot één logaritme te herschrijven.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 30 Wanneer twee logaritmes met hetzelfde grondtal worden opgeteld of afgetrokken, kunnen ze worden gecombineerd tot één logaritme: Andersom kan deze regel ook gebruikt worden om een logaritme op te splitsen. Goed? Door naar Vraag 30 Fout? We raden u aan u op te geven voor de Voorcursus

Machten en logaritmes Vraag 30 Herschrijf de onderstaande exponentiële vergelijking die verzwakking van een stralingsbundel beschrijft in decimeringen (afnamen in factoren van 10) naar een vergelijking met grondtal e. Hint: ax = (e ln a)x

Uitwerking Herschrijf het grondtal in een e –macht en vereenvoudig daarna zover mogelijk m.b.v. rekenregels voor machten: Vul in: Fout? Aandachtspunt. Vooral in N2 is het kunnen omschrijven van vergelijkingen essentieel. Door naar Vraag 31. Goed? Door naar Vraag 31

Machten en logaritmes Vraag 31 Gebruik de hiernaast afgebeelde grafiek om te bepalen hoeveel procent van een stralingsbundel door een loden wand van 4 cm dik kan dringen. Transmissie is de fractie straling die door een afscherming heen komt. Hint: Let goed op de onderverdeling binnen de logaritmische schaal.

Uitwerking Wanneer nauwkeurig afgelezen ziet men dat de zwarte lijn voor lood bij 4 cm dikte op hoogte is van het eerste ongemarkeerde streepje boven de aanduiding 10-3. Er bevinden zich acht ongemarkeerde streepjes tussen 10-3 en 10-2, dus eerste streepje staat voor een fractie van 2∙10-3. Dit is gelijk aan 2/1000e deel, dus 0,2%. Fout? Aandachtspunt. In alle niveaus is correct kunnen aflezen van lineaire en logaritmische assen belangrijk. Door naar Vraag 32. Goed? Door naar Vraag 32

Goniometrie Vraag 32 N4 N3 N2 5,0 m Een stralingsbron produceert een bundel in de richting van een betonnen muur. Door verstrooide straling wordt een persoon in dezelfde ruimte blootgesteld. Het is belangrijk de afstand van het verstrooiingspunt tot de persoon en de verstrooiingshoek te kennen om de dosis te kunnen bepalen. Bereken afstand x en hoek . Hint: Gebruik de stelling van Pythagoras voor x en de tangens voor de hoek.  2,0 m x m

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 35 Fout? Door naar Vraag 33 Afstand via stelling van Pythagoras: Hoek m.b.v. de tangens: Goed? Door naar Vraag 35 Fout? Door naar Vraag 33

Goniometrie Vraag 33 N4 N3 N2 In de hiernaast afgebeelde rechthoekige driehoek (niet op schaal) is de lengte van zijde a 5,0 meter en van schuine zijde c 9,0 meter. Hoe lang is zijde b ? Hint: Pythagoras. c a b

Uitwerking c a Vul stelling van Pythagoras in: Zijde b is ca. 7,5 m lang (niet nauwkeuriger weergeven dan oorspronkelijk gegeven lengten). b Fout? N3 en N2: Wij raden u de Voorcursus aan N4: Aandachtspunt, door naar Vraag 34 Goed? Door naar Vraag 34

Goniometrie Vraag 34 c a  b In de hiernaast afgebeelde rechthoekige driehoek (niet op schaal) is de lengte van zijde a 30 cm. Hoek  is 30°. Hoe lang is zijde c ? Hint: Gebruik de sinus van hoek . c a  b

Uitwerking De sinus van een hoek in een rechthoekige driehoek is gelijk aan de overstaande zijde gedeeld door de schuine zijde. c a  b Fout? N3 en N2: Wij raden u de Voorcursus aan N4: Aandachtspunt, door naar Vraag 35 Goed? Door naar Vraag 35

Meetnauwkeurigheid en statistiek Vraag 35 Geef in het juiste aantal significante cijfers antwoord op de volgende vraag: Een wand is 275,5 bij 1102,0 cm groot. Met 1,0 liter muurverf kun je 12,5 m2 verven. Hoeveel liter verf heb je nodig? Hint: Let goed op de eenheden en op de nauwkeurigheid van de verschillende gegevens.

Uitwerking Het wandoppervlak is 275,5 ∙ 1102,0 = 3,036∙105 cm2 = 30,36 m2. Met 1,0 liter verf je 12,5 m2, dus voor 30,36 m2 heb je nodig: 30,36/12,5 ∙ 1,0 = 2,4 liter verf. Aangezien de minst nauwkeurige waarde (volume verf) in twee significante cijfers gegeven is, wordt het eindantwoord ook in twee significante cijfers gegeven. Goed? N4: U bent klaar met de test, u heeft de Voorcursus niet nodig. N3 en N2: Door naar Vraag 36 Fout? Aandachtspunt. N4: U bent klaar, u heeft de Voorcursus niet nodig. N3 en N2: Door naar Vraag 36

Meetnauwkeurigheid en statistiek Vraag 36 Kennis van statistische basisbegrippen is nodig om de nauwkeurigheid van stralingsmetingen te kunnen beoordelen. Bereken het gemiddelde, de modus en de mediaan van de volgende serie gemeten massa’s in grammen: 420 415 424 406 432 422 427 433 420 Hint: Zet voor bepaling van modus en mediaan als eerste de getallen op volgorde van laag naar hoog.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 37 Herschikking getallenreeks: 406 415 420 420 422 424 427 432 433 Berekening gemiddelde: Modus = de meetwaarde die het meest voorkomt = 420 gram. Mediaan = de middelste meetwaarde in de reeks op volgorde van laag naar hoog = 422 gram. Goed? Door naar Vraag 37 Fout? Gemiddelde dient minimaal bekend te zijn. Door naar Vraag 37.

Meetnauwkeurigheid en statistiek Vraag 37 Bereken de absolute en de relatieve standaarddeviatie van het gemiddelde in dezelfde serie gemeten massa’s als de vorige vraag: 420 415 424 406 432 422 427 433 420 Hint: De standaarddeviatie is de wortel uit de variantie, die berekend wordt door van elk van de waarde het verschil met het gemiddelde te berekenen, kwadratisch op te tellen en te delen door het aantal metingen.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 38 Bereken eerst de variantie, dit is de standaarddeviatie in het kwadraat: De absolute standaarddeviatie: De relatieve standaarddeviatie, ook wel variatiecoëfficiënt genoemd: Goed? Door naar Vraag 38 Fout? Aandachtspunt, door naar Vraag 38

Meetnauwkeurigheid en statistiek Vraag 38 Metingen van radioactieve bronnen voldoen aan een binomiaalverdeling die bij grote aantallen overgaat in een Poissonverdeling. Hiervan kan uit één meting de relatieve meet-onzekerheid (1 standaarddeviatie) worden berekend met √N / N. N staat hierin voor het aantal gemeten telpulsen. Hoeveel telpulsen moeten worden gemeten als de relatieve meetonzekerheid 0,5% mag zijn? Hint: Stel op als vergelijking en probeer eerst te vereenvoudigen.

Uitwerking Fout? Aandachtspunt, maar wordt ook behandeld in cursus. Door naar Vraag 39 Goed? Door naar Vraag 39

Meetnauwkeurigheid en statistiek Vraag 39 Een serie activiteitsmetingen geeft als gemiddelde waarde 250 Bq en als standaarddeviatie 15 Bq. De meetwaarden hebben een normale verdeling. Tussen welke waarden ligt het 95% betrouwbaarheidsinterval (onzekerheidsinterval)? Hint: De (on)zekerheid van een meting in normaalverdeling wordt bepaald door het aantal standaarddeviaties marge dat wordt genomen.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 40 Een marge van één standaarddeviatie in een normaalverdeling leidt tot een 68% betrouwbaarheidsinterval, wanneer twee standaarddeviaties wordt genomen is dit 95% en bij drie 99%. De grenswaarden voor 95% betrouwbaarheid zijn dus 220 Bq en 280 Bq. Goed? Door naar Vraag 40 Fout? Aandachtspunt, door naar Vraag 40

Meetnauwkeurigheid en statistiek Vraag 40 Trek de volgende gemeten teltempo’s met foutenmarges van elkaar af om het netto teltempo te verkrijgen: Hint: Bij optellen of aftrekken van meetwaarden kan men de standaarddeviaties “kwadratisch optellen”.

Uitwerking Het netto teltempo (=gemeten minus achtergrond): 244 – 34 = 210 cps. Als een waarde z wordt berekend uit meetwaarden x en y door optellen of aftrekken, geldt voor de standaarddeviaties: Rapportage berekende waarde: 210 ± 6,1 cps. Fout? Bij meer dan de helft van de vragen van dit onderdeel fout raden we u de Voorcursus aan, anders door naar Vraag 41 Goed? Door naar Vraag 41

Vraag 41 Differentiëren en integreren Differentiëren is het bepalen van de hellingfunctie oftewel de afgeleide functie. Differentieer de volgende functie: Hint: De afgeleide van a∙x n + b is a∙n∙x n-1.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 43 Fout? Door naar Vraag 42 f is een machtsfunctie, hiervoor bestaan eenvoudige rekenregels voor het snel bepalen van de afgeleide functie. Het getal -6 wordt niet meegenomen: dit bepaalt alleen de verticale verschuiving van de curve, niet de helling. Goed? Door naar Vraag 43 Fout? Door naar Vraag 42

Vraag 42 Differentiëren en integreren Differentieer de volgende functie: Hint: De afgeleide van a∙x n + b is a∙n∙x n-1.

Uitwerking Fout? N3: Aandachtspunt, door naar Vraag 43 N2: Wij raden u de Voorcursus aan Goed? Door naar Vraag 43

Vraag 43 Differentiëren en integreren Een bepaalde radioactieve stof in het lichaam wordt volledig uitgescheiden in de urine met twee verschillende verwijderingssnelheden. De retentie van activiteit in het lichaam wordt beschreven met deze functie: De functie (met fu als fractie van de totale uitscheiding naar de urine, hier dus 1) is de zogenaamde excretiefunctie en beschrijft de activiteit in de urine. Bepaal deze excretiefunctie. Hint: De afgeleide van a∙e nx is a∙n∙e nx.

Uitwerking Goed? Door naar Vraag 44 Een e-macht blijft gelijk bij differentiëren. Alleen het getal voor de variabele in de e-macht komt naar voren: Goed? Door naar Vraag 44 Fout? Aandachtspunt, door naar Vraag 44

Vraag 44 Differentiëren en integreren Bereken de afgeleide van de volgende functie die de activiteit van een radioactief dochternuclide in een zogenoemd glijdend evenwicht beschrijft: Bereken tevens bij welke waarde van t de activiteit een maximum bereikt (de afgeleide functie die de helling beschrijft 0 is). Hint 1: De afgeleide van a∙e nx is a∙n∙e nx. Werk hiertoe eerst de haakjes weg. Hint 2: Zorg bij het oplossen van t dat aan beide zijden van het = teken een e-macht staat. Los daarna op met gebruik van de rekenregels

Uitwerking Fout? N3: Aandachtspunt, door naar Vraag 45 Afgeleide berekenen: Maximum bepalen: Fout? N3: Aandachtspunt, door naar Vraag 45 N2: Indien beide onderdelen fout raden wij u de Voorcursus aan Goed? Door naar Vraag 45

Vraag 45 Differentiëren en integreren Met een integraal wordt het oppervlak onder een curve berekend. Dit kan bijvoorbeeld nodig zijn om uit te rekenen wat de dosis is als gevolg van het inademen van radioactief materiaal. Reken de onderstaande opgeloste integraal van een negatieve exponentiële vergelijking uit: Hint: Vul in voor de bovenste grenswaarde, vul in voor de onderste grenswaarde, en trek tenslotte de twee antwoorden van elkaar af.

Uitwerking Goed? N2: Door naar Vraag 47 Fout? Door naar Vraag 46 Vul in de gegeven primitieve functie (tussen de vierkante haken) de bovenste en onderste grenswaarde voor t in en trek de twee gevonden waarden van elkaar af. Dit geeft het oppervlak onder de curve. Goed? N2: Door naar Vraag 47 N3: U bent klaar met de test, u heeft de Voorcursus niet nodig. Fout? Door naar Vraag 46

Vraag 46 Differentiëren en integreren Reken de onderstaande opgeloste integraal uit: Hint: Vul in voor de bovenste grenswaarde, vul in voor de onderste grenswaarde, en trek tenslotte de twee antwoorden van elkaar af.

Uitwerking Goed? N2: Door naar Vraag 47 Fout? Grenswaarden invullen in de gegeven integraal: Goed? N2: Door naar Vraag 47 N3: U bent klaar met de test, u heeft de Voorcursus niet nodig Fout? N2: Wij raden u de Voorcursus aan N3: Aandachtspunt. Indien alle vragen van dit onderdeel fout raden wij de Voorcursus aan. U bent klaar met de test.

Vraag 47 Differentiëren en integreren Differentieer de volgende functie: Hint 1: Quotiëntregel: Hint 2: Kettingregel:

Uitwerking Bereken eerst apart de afgeleiden van de functie g (x) in de teller en de functie h (x) in de noemer. Gebruik voor de teller de kettingregel. Voor de afgeleide van het totaal: vul de quotiëntregel in en vereenvoudig zo ver mogelijk. Fout? Kennis van product-, quotiënt- en kettingregel is handig, door naar Vraag 48 Goed? Door naar Vraag 48

Vraag 48 Differentiëren en integreren Bereken de volgende integraal: Hint: Integreren is het omgekeerde van differentiëren. Bereken eerst de zgn. primitieve functie en vul deze in met de grenswaarden.

Uitwerking Bereken de primitieve via de omgekeerde rekenregels voor differentiëren: Vul de grenswaarden in en werk uit. De onbekende constante c komt te vervallen bij het invullen van grenswaarden. Fout? Belangrijk punt! Oefen zelf verder met oplossen integreren van e-machten of volg de Voorcursus Goed? Door naar Vraag 49

Vraag 49 Differentiëren en integreren De volgende differentiaalvergelijking beschrijft de vermogensopbouw door maandelijkse inleg van 175 euro en een rente van 0,5% per maand: Los de differentiaalvergelijking op tot een vergelijking voor V met randvoorwaarde dat op t = 0 geldt V = 0. Hoe lang moet men sparen om tot 100.000 euro te komen? Hint 1: Herschrijf tot de termen met V en dV aan een kant van het = teken staan en t en dt aan de andere kant. Primitiveer daarna links en rechts. Hint 2: De primitieve van 1/x is ln x.

Uitwerking Oplossen differentiaalvergelijking: Invullen randvoorwaarde:

Uitwerking (vervolg) Invullen en omschrijven tot functie Uitrekenen wanneer tot 100.000 euro is gespaard: Goed? U bent klaar met de test. U heeft de Voorcursus niet nodig Fout? Door naar Vraag 50

Vraag 50 Differentiëren en integreren Los de volgende differentiaalvergelijking op die wordt gebruikt bij afschermingsberekeningen van gammastraling. Randvoorwaarde is dat bij dikte x = 0 geldt dat fluentie  = (0) Hint 1: Herschrijf met fluentie naar links en dx naar rechts. Hint 2: De primitieve van 1/x is ln x.

Uitwerking Oplossen differentiaalvergelijking: Invullen randvoorwaarde: Dus afschermingsformule luidt: Fout? Minimaal het kunnen volgen van het oplossen van eenvoudige differentiaalvergelijkingen is van belang. U bent klaar met de test. Goed? U bent klaar met de test. U heeft de Voorcursus niet nodig