Zwaartekrachtenergie contra Bewegingsenergie Rekenen met de snelste rollercoaster ter wereld de Kingda Ka

Kingda Ka de snelste rollercoaster ter wereld

Algemene informatie Type Accelerator Coaster Bouwer(s) Intamin AG Status Geopend Opening 2005 Eigenschappen Topsnelheid bij lanceren 206 km/u In 3,5 s Baanlengte 950,4 m Baanhoogte Vrije val 139 m 127,4 m Ritduur 28 seconden Overig Minimale lengte persoon 137,2 cm

Voordat we gaan rekenen aan de Kingda Ka gaan we eerst maar eens even een ritje maken Attention Fasten your seatbells http://www.youtube.com/watch?v=HN8nv4tVFuA&feature=related

De versnelling a van de Kingda Ka is 2,5 x groter Aan het begin van de rit word je weggeschoten. In 3,5 seconden ga je van 0 km/h naar 206 km/h. Hoe groot is de versnelling a in m/s2 ? De oplossing: Je ziet dat de versnelling a gegeven is in m/s2 . Dus moet je eerst 206 km/h omrekenen naar m/s. 206 km/h : 3,6  57,22 m/s Nu kan je de versnelling berekenen, a = v eind – v begin = 57,2 m/s - 0,0 m/s = 16,3 m/s2 t eind - t begin 3,5 s – 0,0 s Is 16,35 m/s2 snel ?? Laten we dit eens vergelijken met een Porsche Carrera 4S sport. Deze auto accelereert in 4,3 seconde van 0 km/h naar 100 km/h a = v eind – v begin = 27,77 m/s - 0,00 m/s = 6,5 m/s2 t eind - tbegin 4,3 s – 0,0 s De versnelling a van de Kingda Ka is 2,5 x groter Bereken de versnelling van de Porsche a = versnelling in m/s2 v = snelheid in m/s t = tijd in s a = verschil in snelheid verschil in tijd

E zwaartekracht E beweging Nadat het karretje de snelheid van 206 km/h (57,22 m/s) heeft bereikt dan moet het karretje 130 meter klimmen zonder dat het door iets wordt aangedreven. Als we de weerstand niet meerekenen, hoe hoog zou het karretje dan komen? Voordat we gaan rekenen gaan we eerst kijken wat er nu gebeurd. Nadat het karretje gelanceerd is heeft het karretje bewegingsenergie (E beweging). E zwaartekracht Als het karretje het hoogste punt bereikt heeft dan is alle bewegingsenergie omgezet in zwaartekrachtenergie. (E zwaartekracht). Omdat we er van uitgingen dat we onderweg geen weerstand hadden, dus geen energie verliezen, moet de bewegingsenergie aan het begin van de klim net zo groot zijn als de zwaartekrachtenergie op de top. E beweging Dus mogen we zeggen: E beweging = E zwaartekracht

E zwaartekracht = m x g x h Nu we weten dat E beweging = E zwaartekracht, kunnen we nu de hoogte van het karretje dat het gaat halen gaan berekenen. Dit doen we met de formules: E beweging = ½ x m x v2 m is de massa van het karretje inclusief de passagiers v is de snelheid van het karretje op het moment dat die omhoog gaat E zwaartekracht = m x g x h m is de massa van het karretje inclusief de passagiers g is de sterkte van de zwaartekracht op aarde h is de hoogte die het karretje gaat halen en die gaan we berekenen. Als E beweging = E zwaartekracht dan geldt ook: ½ x m x v2 = m x g x h Als we nu de formule gaan invullen dan hebben we een probleem!! We weten de snelheid v ( =57,22 m/s), we weten de sterkte van de zwaartekracht op aarde g (=10) en de hoogte (h) die gaan we berekenen. Dan blijft de massa van het karretje inclusief de passagiers over en die weten we niet.

½ x m x v2 = m x g x h Hoe moeten we dit nu oplossen? We gaan er van uit dat het karretje tijdens de klim geen onderdelen of passagiers verliest. Het karretje heeft dus onderaan de klim en bovenaan de klim de zelfde massa. Met andere woorden: de massa m voor het = teken is net zo groot als de massa m na het = teken ½ x m x v2 = m x g x h Met een wiskundig trucje, de balansmethode genoemd, kunnen we massa uit de formule laten verdwijnen. Dit doen we door de formule links en rechts door de massa m van het karretje te delen

½ x m x v2 = m x g x h : m ½ x m x v2 = m x g x h m m ½ x v2 = g x h De massa’s tegen elkaar weg strepen. We houden dan de volgende formule over: ½ x v2 = g x h We moeten de hoogte h berekenen en het zou dan prettig zijn als de g naar de andere kant van het = teken gaat. Ook dit doen we met de balans methode. ½ x v2 = g x h De herschreven formule wordt dan: : g ½ v2 = h g Nu kunnen we de hoogte h van het karretje berekenen. ½ x v2 = g x h g g

g De formule: h = ½ x v2 De formule h = ½ x (57,22)2 invullen: 10 De formule h = 163,7 m uitrekenen: Het karretje moest ongeveer 130 meter klimmen. Zonder weerstand van de lucht en rolweerstand van de baan en de wielen zou het karretje 163,7 m hoog komen. Er is dus al energie verdwenen in de vorm van warmte.

Als je eenmaal over de top bent dan maak je een vrije val van 127,4 meter. Hoe groot is nu de snelheid aan het eind van de vrije val? ook hier geldt weer: E beweging =E zwaartekracht ½ x m x v2 = m x g x h We willen de snelheid v berekenen dus proberen we de formule zo te herschrijven dat de snelheid v alleen aan een kant van het = teken staat. Ook dit doen we met de hulp van de balans methode. Dit is een methode die jullie ook veel bij wiskunde krijgen.

√ ½ x m x v2 = m x g x h : m ½ x v2 = g x h X 2 v2 = 2 x g x h We gaan eerst de massa’s uit de formule weghalen dat doen we door beide kanten te delen door m. ½ x m x v2 = m x g x h : m ½ x v2 = g x h Nu werken we de ½ weg door beide kanten met 2 te vermenigvuldigen. X 2 v2 = 2 x g x h Als laatste gaan we aan beide kanten de wortel trekken. v = √ 2 x g x h √ Met deze formule kunnen we de snelheid na de vrije val berekenen.

De formule : v =√ 2 x g x h De formule invullen: v = √ 2 x 10 x 127 ,4 De formule uitrekenen v = 50,5 m/s = 181,7 km/h Van de 206 km/h is nog maar 182 km/h over. Daarom worden heuvels en loopings naar het eind van de baan toe steeds lager om dat de rollercoaster constant energie verliest, dus steeds langzamer gaat en dus ook steeds minder bewegingsenergie heeft.

We gaan nu een paar oefensommen maken We gaan nu een paar oefensommen maken. Bij iedere som gaan we ervan uit dat er geen weerstand is. Een kogel wordt recht omhoog afgeschoten met een snelheid van 530 m/s . Bereken hoe hoog de kogel komt. Gebruik de formule : h = ½ x v2 g Oplossing: h = ½ x v2 g h = ½ x 5302 10 h = 14.045 m

v = √ 2 x g x h v = √ 2 x 10 x 828 v = 128 m/s ( x 3,6 = 460 km/h) Het hoogste gebouw ter wereld is de Burj Khalifa. Het staat in Dubai in de Verenigde Arabische Emiraten. Het gebouw is 828 meter hoog. Iemand laat een knikker van de top naar beneden vallen. Bereken met welke snelheid de knikker de grond raakt. Gebruik de formule v = √ 2 x g x h De oplossing: v = √ 2 x g x h v = √ 2 x 10 x 828 v = 128 m/s ( x 3,6 = 460 km/h)