Differentiaalvergelijkingen

Slides:



Advertisements
Verwante presentaties
3. Stoichiometrie Hoeveelheden berekenen van stoffen bij een chemische reactie Natuurwetenschappen Gezondheid en voeding.
Advertisements

Werkzame doorsnede  [m2]
Cursus Stralingsveiligheid niveau L. Niesen
vwo B Samenvatting Hoofdstuk 9
Hoofdstuk 3 Kinetiek van het radioactief verval
Niet-rechtlijnige beweging Vr.1
… Ioniserende straling !!
Cursus Stralingsveiligheid
percentage promillage ppm
Isotopen & Massa’s Klas 4.
Rekenen met atomen De mol.
V5 Chemische evenwicht H11.
WIS21.
Newton - VWO Ioniserende straling Samenvatting.
Deeltjestheorie en straling
Radioactiviteit.
Cursus Niveau 3 Inwendige besmetting
Cursus Niveau 3 Inwendige besmetting
Stralingsbescherming deskundigheidsniveau 5
Stralingsbescherming deskundigheidsniveau 5
15/04/2015capita selecta1 Capita selecta Frits Pleiter.
Formules, vergelijkingen en mol (en)
Chemisch rekenen voor oplossingen
Detectie Frits Pleiter 26/04/2017 detectie niveau 3.
10/02/2016dosimetrie niveau 31 Basale dosimetrie Frits Pleiter.
2/24/2016MEET niveau 31 Vraagstukken metingen van radioactiviteit 14 C-dateringGeactiveerd gereedschap Activiteit van strontium-isotopenDetectie van 55.
massa 1,67 • g Atoommassa Avogadro Massa H atoom
Cursus coördinerend SB deskundige – | 1 Compartimentensystemen samenvatting Hielke Freerk Boersma 14 december 2015.
30/05/2016stralingsbescherming deskundigheidsniveau 51 Stralingsbescherming deskundigheidsniveau 5 Frits Pleiter.
Vraagstukken inwendige dosimetrie
Differentiaalvergelijkingen
cursus CD - capita selecta
Vraagstukken externe dosimetrie
Wat is het grootste getal
Stralingsbescherming deskundigheidsniveau 5
Stralingsbescherming deskundigheidsniveau 5
Stralingsbescherming deskundigheidsniveau 5
havo A Samenvatting Hoofdstuk 10
Stralingsbescherming deskundigheidsniveau 5
Rekenen met atomen De mol.
Stralingsbescherming deskundigheidsniveau 5
Frits Pleiter SBE Rijksuniversiteit Groningen
Basale dosimetrie Frits Pleiter 04/12/2018 cursus CD - dosimetrie 1.
Proefexamen uitwerking open vragen Frits Pleiter
Differentiaalvergelijkingen
Levensreddende verlichting ?
* Frits Pleiter SBE Rijksuniversiteit Groningen
Besmetting van melk met 137Cs
Medische kwakzalverij
Waar stond ook al weer die verrekte Compton-formule ?
* Frits Pleiter SBE Rijksuniversiteit Groningen
* Frits Pleiter SBE Rijksuniversiteit Groningen
Hout uit Letland en de puntbronbenadering - beide in de open haard?
Kernafval en voetbal - een dodelijke combinatie ?
From Russia with love (examen 14 december 2015)
Bestaat toeval ? aspecten van een risico-analyse
Hoe een muis een olifant werd
RUG / GARP Frits Pleiter
Natuurlijk uranium ? Verrijkt uranium ?
Wat is mol??? Rekenen aan de deeltjes. Meten aan stoffen Grootheden en eenheden Grootheid = wat we meten, de elektrische energie die we gebruiken. Eenheid.
RUG / GARP Frits Pleiter
De Dood en de Leider risico-analyse voor een gewenst incident
Hoofdstuk 8 Wat gaan we vandaag doen? Opening Terugblik Doel
Stralingsbescherming meet- en regeltoepassingen
Vergelijkingen van de vorm x + a = b oplossen
Vergelijkingen van de vorm ax + b = c oplossen
Vergelijkingen van de vorm x + a = b oplossen
Vergelijkingen van de vorm ax = b oplossen
Vergelijkingen van de vorm ax = b oplossen
Breuken optellen en aftrekken
Transcript van de presentatie:

Differentiaalvergelijkingen Frits Pleiter 14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen lineaire differentiaalvergelijking van de 1ste orde geval 1: rechter lid is een constante radioactief verval lineïeke verzwakking van fotonen neutronenactivatie ingestie van 137Cs lekkende fles met 83Kr geval 2: rechter lid is een e-macht moeder-dochterevenwicht 3-compartimentensysteem verval van 210Pb verval van 99Mo 14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

differentiaalvergelijkingen Differentiaalvergelijkingen lineaire differentiaalvergelijking van de 1ste orde y + y = f(t) homogene vergelijking y +  y = 0 algemene oplossing y0(t) = A e -t inhomogene vergelijking y +  y = f(t) stel dat y1(t) is een speciale oplossing van de inhomogene vergelijking, dan is y(t) = y0(t) + y1(t) de algemene oplossing van de inhomogene vergelijking y0 +  y0 = 0 y1 +  y1 = f(t) + (y0 + y1) +  (y0 + y1) = f(t) y +  y = f(t) 14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen geval 1: rechter lid = constante y +  y = P speciale oplossing y1(t) = P /  algemene oplossing y(t) = A e -t + P /  randvoorwaarde y(0) = 0 invullen A = -P /  y(t) = (P / ) (1 - e -t) in evenwicht is y = 0  IN = UIT yevenwicht = P /  14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (1) radioactief verval (syllabus, blz. 55) dN/dt = - N N aantal radioactive atomen λ = 0,693 / T½ vervalconstante (s-1) T½ halveringstijd (s) P = 0 geen productieterm, homogene vergelijking N(t) = N(0) e -t A(t) =  N(t) =  N(0) e -t = A(0) e -t 14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (2) lineïeke verzwakking van fotonen (syllabus, blz. 71) dN/dx = -µ N N aantal opvallende fotonen  = 0,693 / d½ lineïeke verzwakkingscoëfficiënt (cm-1) d½ halveringsdikte (cm) P = 0 geen productieterm, homogene vergelijking N(x) = N(0) e -µx 14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (3) neutronactivering (syllabus, blz. 91; vraagstuk MEET-11) dN/dt = - N + P N aantal radioactive atomen λ = 0,693 / T½ vervalconstante (s-1) T1/2 halveringstijd (s) P = σ M  productieterm σ werkzame doorsnede voor neutronvangst (m2) M aantal targetatomen  = fluentietempo (m-2 s-1) N(t) = (σ M  / ) (1 - e -t) A(t) =  N(t) = σ M  (1 - e -t) ≈  σ M  t als t << 1 14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (3) Bij werkzaamheden in een kerncentrale is een stuk gereedschap radioactief geworden door activering. Het stuk gereedschap bevat 210 mg cobalt en is gedurende 0,1 uur blootgesteld aan neutronen. Gegevens: het atoomgewicht van cobalt is 58,9 g mol-1 de natuurlijke abundantie van 59Co is 100% het getal van Avogadro is NA = 6,021023 mol-1 het fluentietempo van de neutronen is  = 1,01016 m-2 s-1 de werkzame doorsnede voor 59Co(n,)60mCo is  = 2010-28 m2 de halveringstijd van 60mCo is T½ = 10 min A =  M  (1 - e -0,1) Vraag: bereken de 60mCo-activiteit 14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (3) Antwoord A =   M    (1 - e -0,1) M(59Co) = (massaCo / atoommassaCo)  NA = (21010-3 g / 58,9 g mol-1)  6,021023 mol-1 = 2,151021  = 0,693 / T½ = 0,0693 min-1 = 4,16 h-1 A(60mCo) = 2010-28 m2  2,151021  1,01016 m-2 s-1  (1 - e -4,160,1) = 1,51010 Bq = 15 GBq 14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (4) ingestie van 137Cs (vraagstuk INDO-15) dA/dt = - A + P A radioactiviteit in lichaam (Bq) λ = 0,693 / T½ biologische vervalconstante (s-1) T½ biologische halveringstijd (s) P inname (Bq s-1) opbouw van lichaamsactiviteit A(t) = (P / )  (1 - e -t) in evenwicht is IN = UIT  dA/dt = 0 Aevenwicht = P /  14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (4) Een persoon neemt een vol jaar lang elke dag dezelfde hoeveelheid 137Cs in. Na een jaar blijkt de activiteit in zijn lichaam 520 Bq te zijn. Gegevens: uitscheiding van Cs beschreven door een exponentiële functie biologische halveringstijd is T½ = 110 d. ga er vanuit dat de evenwichtssituatie is bereikt in de evenwichtssituatie geldt Aevenwicht = P /  Vraag: berekende de dagelijkse inname van 137Cs-activiteit 14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (4) Antwoord in de evenwichtssituatie geldt Aevenwicht = P /   = 0,693 / T1/2 = 0,693 / 110 (d) = 6,310-3 d-1 P =   Aevenwicht = 6,310-3 (d-1)  520 (Bq) = 3,3 Bq d-1 14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (5) lekkende fles met 83Kr (vraagstuk INDO-19) dA/dt = -D a + P = -D A / V + P = - A + P D debiet (m3 h-1) a activiteitsconcentratie (Bq m-3) A activiteit (Bq) V ruimtevolume (m3)  ventilatievoud = aantal ruimtevolumes per uur (h-1) P lek (Bq h-1) in evenwicht is IN = UIT  dA/dt = 0 Aevenwicht = P /  14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (5) In een opslagruimte lekt een fles gevuld met 85Kr. Gegevens: in evenwichtssituatie geldt Aevenwicht = P /  volume van de opslagruimte is 500 m3 ventilatievoud is 1,0 h-1 lektempo is 40 MBq h-1 dosisconversiecoëfficiënt van 85Kr is e = 9,210-13 Sv h-1 per Bq m-3 Vraag: bereken de activiteitsconcentratie in de ruimte Vraag: bereken het dosisequivalenttempo H* in de ruimte 14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (5) Antwoord in evenwichtssituatie geldt Aevenwicht = P /  P = lek = 40 MBq/h = 40106 Bq h-1  = ventilatievoud = ruimtevolumes per uur = 1 h-1 A = P /  = 40106 (Bq h-1) / 1,0 (h-1) = 40106 Bq activiteitsconcentratie a = 40106 (Bq) / 500 (m3) = 8,0104 Bq m-3 dosisequivalenttempo dH*/dt = e  a = 9,210-13 (Sv h-1 per Bq m-3)  8,0104 (Bq m-3) = 7,410-8 Sv h-1 = 74 nSv h-1 14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen geval 2: rechter lid = e-macht y +  y = P e -t speciale oplossing y1(t) = C e -’t invullen - C e -t +  C e -t = P e -t C = P / ( - ) algemene oplossing y(t) = A e -t + P e -’t / ( - ’) randvoorwaarde y(0) = 0 invullen A = -P / ( - ’) y(t) = P (e -t - e -t) / ( - ) merk op dat dit overgaat in speciaal geval 1 als  = 0 stilzwijgend aangenomen dat    voorbeeld is moeder-dochterrelatie (syllabus, blz. 64-65) 14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen geval 2: rechter lid = e-macht y(t) = P (e -t - e -t) / ( - ) stel t is klein  > ' e -'t  1 → y(t)  (P/) (1 - e -t)  < ' e -t  1 → y(t)  (P/') (1 - e -'t) stel t is groot  > ' e -t << e -'t → y(t)  (P/) e -'t  < ' e -'t << e -t → y(t)  (P/') e -t merk op: ingroeiconstante is de grootste van  en ' vervalconstante is de kleinste van  en ' 14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen geval 2: rechter lid = e-macht y(t) = P (e -t - e -t) / ( - ) y(t) is maximaal als dy/dt = 0 → d(e -'t - e -t )/dt = d(e -'t)/dt - d(e -2t)/dt = 0 d(e -'t)/dt = d(e -t)/dt -' e -'t = - e -t e -'t / e -t =  / ' e ( - ')t =  / ' neem links en rechts de logaritme ( - ') t = ln( / ') t = ln( / ') / ( - ') 14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (6) 210Pb 210Bi k12 210Po k23 206Pb k34 T½(210Pb) = 22 j T½(210Bi) = 5,0 d T½(210Po) = 138 d T½(206Pb) = stabiel Vraag: schets het verloop van de activiteiten van 210Pb, 210Bi, 210Po en 206Pb als functie van de tijd, uitgaande van zuiver 210Pb 14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (6) Antwoord A(210Pb) = A(0) e -0,693t/(36522) ≈ A(0) A(210Bi) ≈ A(210Pb) (1 - e -0,693t/5,0) A(210Po) ≈ A(210Pb) (1 - e -0,693t/138) A(206Pb) = 0 14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (7) 99Mo 99mTc k12 99Tc k23 99Zr k34 T½(99Mo) = 66 h T½(99mTc) = 6,0 h T½(99Tc) = 2105 j T½(99Zr) = stabiel (syllabus, blz. 64-65) Vraag: schets het verloop van de activiteiten van 99Mo en 99mTc als functie van de tijd, uitgaande van zuiver 99Mo Vraag: bereken het tijdstip waarop de activiteit van 99mTc maximaal is 14/04/2017 differentiaalvergelijkingen

Differentiaalvergelijkingen voorbeeld (7) Antwoord 1 = 0,693 / 66 = 0,0105 h-1 2 = 0,693 / 6,0 = 0,116 h-1 A1(t) = A(0) e -1t A2(t) = A1(0) [2 / (2 - 1)] [e -1t - e -2t] = A(0)  [0,116 / (0,116 - 0,0105)] [e -0,0105t - e -0,116t] = 1,1  A(0)  [e -0,0105t - e -0,116t] de activiteit van 99mTc is maximaal als t = ln(2 / 1) / (2 - 1) = ln(0,116 / 0,0105) / (0,116 - 0,0105) = 23 h 14/04/2017 differentiaalvergelijkingen