Fractale en Wavelet Beeldcompressie Les 1 5/04/2017 | pag. 1

Cursus Professor Assistent Bureau Webpage Referenties Ann Dooms Ann.Dooms@vub.ac.be Geoffrey Janssens Geoffrey.Janssens@vub.ac.be Pleinlaan 9, 2.29 http://homepages.vub.ac.be/~andooms (Education) http://studio.infogroep.be/wiskunde2/ Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 2

Beeldcompressie Beeldcompressie is noodzakelijk voor opslaan van digitale beelden versturen van beelden over internet … Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 3

Beeldcompressie Een digitaal beeld bestaat uit een eindig aantal pixels die elk een eindig aantal kleuren kunnen aannemen. De grootte vindt men dan als volgt Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 4

Wiskunde snelt ter hulp … Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 5

Beeldcompressie Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 6

Proces Beeldcompressie Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 7

Fractale Beeldcompressie Om het aantal op te slagen bits te reduceren gaat men bij fractale beeldcompressie op zoek naar globale zelfsimilariteit in een beeld. L Telkens 2 driehoeken verstoppen. Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 8

Fractale Beeldcompressie Een mogelijke oplossing is: Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 9

Fractale Beeldcompressie Het beeld is in feite opgebouwd uit drie kleinere kopieën van zichzelf! Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 10

Fractale Beeldcompressie Wat is een kleinere kopie wiskundig gezien? Kleiner, dan spreken we over meten. Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 11

Voorbeeld (0,1) (0,1) W (-1/2,0) (0,0) (1/2,0) (1/2,0) Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 12

Voorbeeld (0,1) (0,1) W (1/2,0) (1,0) Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 13

Voorbeeld (0,1) (0,1) (1/2,0) (1/2,0) Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 14

Voorbeeld (0,1) (1/2,0) Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 15

Sierpinski-driehoek Het fixpunt van de contractie W noemt men de attractor van het IFS. Dit is een fractaal, vandaar fractale beeldcompressie. De naamgeving fractaal wordt in de derde voordracht verklaard. Deze attractor noemt men de Sierpinski-driehoek. Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 16

Sierpinski-driehoek Sierp op rechthoek!!! Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 17

Fractale beeldcompressie Om de lijst met waarden in te korten, gaat men bij fractale beeldcompressie op zoek naar globale zelfsimilariteit in een beeld. Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 18

Globale zelfsimilariteit Het grote blad is in feite opgebouwd uit vier kleinere copiën van zichzelf! Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 19

Collagestelling Wanneer een digitaal beeld opgebouwd is uit kleinere kopieën van zichzelf kan men dit beeld benaderen door de attractor van een IFS. Collage: je verkleint en kopieert het blad 4 keer en plakt deze dan op het origineel zodat het overdekt wordt. Hoe beter het beeld opgebouwd is uit kleinere kopijen, hoe beter de benadering. Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 20

Iteratie op een rechthoek Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 21

De attractor van het IFS Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 22

Iteratie op een cirkel Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 23

Compressie In plaats van alle pixels van het beeld te bewaren onthouden we enkel het IFS. Sierpinski-driehoek: Aantal pixels: 16,9 kbytes Sierpdriehoek via IFS: 83 bytes We onthouden enkel de getallen in een tekstbestandje. “Als .jpg opslaan”, betekent zo’n proces uitvoeren. 0.5 0 0 0.5 0 0.5 0.5 0 0 0.5 0.25 0 0.5 0 0 0.5 -0.25 0 Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 24

Decompressie De attractor vinden we door iteratie van het IFS op een willekeurig beeld, bvb. een driehoek of rechthoek. Dit noemt men decoderen. Het decoderen gebeurt dan bij het openen van de file! Bij het openen worden met de getallen transformaties geassocieerd en worden ze geitereerd op een willekeurige begin-tekening. Dit proces ziet men niet, maar gebeurt tijdens dat de zandloper getoond wordt. Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 25

Lokale zelfsimilariteit Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 26

Wiskundige tools Fractale beeldcompressie: Metriek (Cauchy)rijen, complete ruimte Contractie, Banach-fixpuntstelling Affiene transformaties, stelsels Eigenwaarden en eigenvectoren Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 27

Wavelet beeldcompressie Om de lijst met waarden in te korten, gaat men bij wavelet beeldcompressie op zoek naar overbodige informatie in een beeld. Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 28

Wavelet beeldcompressie Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 29

Wavelet beeldcompressie Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 30

Wavelet beeldcompressie Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 31

Wiskundige tools Wavelet beeldcompressie: Vectorruimte Norm Basis, basisverandering Inproduct, orthogonaal Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 32

Samengevat Fractalen Wat is een kleinere copie wiskundig gezien? Wavelets Hoe kan men overbodige informatie wiskundig detecteren? Fractale & Wavelet Beeldcompressie 5/04/2017 | pag. 33