Ruimtegeodesie I, ge-2111 Mechanica E.Schrama

Mechanica Ons zonnestelsel Copernicus, Brahe, Kepler Astronomische waarnemingen Aardrotatie en Tijdsystemen Kepler baanelementen Groundtracks en zichtbaarheid Baanbepaling Representatie vd resultaten

Ons zonnestelsel De zon bevindt zich op 480 lichtsec. afstand 9 planeten en meerdere manen aardse maan (1738 km diam, 1 ls.) Ons zonnestelsel is een onderdeel van een melkwegstelsel Melkwegstelsels zijn wederom geclusterd dichtsbijzijnde ster op 4 lichtjaar afstand

Het melkweg stelsel 250 miljard sterren 100 000 lj diameter centrum 30000 lj dikte 700 lj

Het Andromeda stelsel The largest galaxy in our group is called the Andromeda Spiral. A large spiral similar to the Milky Way. It is about 2.3 million light years from Earth and contains about 400 billion stars.

Verschil planeet en ster Zon Aarde Planeet

Copernicus, Brahe en Kepler In the 16th century, the Polish astronomer Nicolaus Copernicus replaced the traditional Earth-centered view of planetary motion with one in which the Sun is at the center and the planets move around it in circles. Although the Copernican model came quite close to correctly predicting planetary motion, discrepancies existed. This became particularly evident in the case of the planet Mars, whose orbit was very accurately measured by the Danish astronomer Tycho Brahe The problem was solved by the German mathematician Johannes Kepler, who found that planetary orbits are not circles, but ellipses. Kepler described planetary motion according to three laws.

Kepler’s Laws Law I: Each planet revolves around the Sun in an elliptical path, with the Sun occupying one of the foci of the ellipse. Law II: The straight line joining the Sun and a planet sweeps out equal areas in equal intervals of time. Law III: The squares of the planets' orbital periods are proportional to the cubes of the semimajor axes of their orbits. Reference: http://observe.ivv.nasa.gov/nasa/education/reference/orbits/orbit_sim.html

De eerste wet van Kepler Er zijn vier gevallen: e=0, cirkels 0<e<1, ellipsen e=1, parabolen e>1, hyperbolen Brandpunt ellips

De Kepler ellips Perihelium Apohelium

De tweede wet van Kepler O B C ABO  CDO

De derde wet van Kepler De variabele n is de gemiddelde bewegings snelheid, a is de halve lange as, G is een gravitationele constante, M is de massa van de Zon, T is de onloopstijd van de satelliet om de zon

Oefeningen Gegeven: de aarde heeft een elliptische baan met een straal van 1 AU met e=0.01 Vraag 1: Wat is de waarde van r in het perihelium en het apohelium Vraag 2: Wat is de omloopstijd van een planeet op 1.5 AU Vraag 3: Teken verloop van r als functie van de ware anomalie 

Astronomische waarnemingen Fotografeer een object tegen de sterren Hoe ontwerp je het statief van een sterrenkijker Hoe zie je een planeet, komeet, melkwegstelsel, onze maan, andere manen, een satelliet Hoe zie je Precessie, nutatie en poolbeweging Zie ook evt Seeber p 142-144 Surf op het web en zoek naar voorbeelden

Sterrenkijkers Declinatie Rechte klimming (tijdsgestuurd)

Voorbeelden van “polar mounts”

De sterrenhemel Seeber, pg 143 De lokale meridiaan W N E ster Horizon Poolster ster Horizon Seeber, pg 143 De lokale meridiaan W N E

Rechte klimming en declinatie (1) Lokale Meridiaan Hulppunt Poolster Ster Een referentie richting Situatie voor de waarnemer in het veld

Rechte klimming en declinatie (2) De spherische afstand tussen de poolster en de ster = De sferische afstand van H naar S = Poolster Rechte klimming: Ster Declinatie: Lentepunt (Aries)

De hemelbol Elke ster heeft een vaste positie op een fictieve hemelbol weergegeven door  en  De rechte klimming wordt beschreven met een rotatie in het equator vlak van de hemelbol De declinatie wordt beschrijft de hoogte boven het equatorvlak De poolster staat op de z-as van de hemelbol Het “lentepunt” ligt langs de x-as (Plaats jezelf in het centrum van de hemelbol)

Boldriehoeken en astronomie P: Poolster Z: Zenith S: Ster Z P : Declinatie u: Uurhoek (om te rekenen naar ) : de lokale breedtegraad S

Enkele opmerkingen De hoogte van de poolster boven de horizon is gelijk aan de breedte van de waarnemer Bij precessie en nutatie verandert het focus punt van de cirkels van de ene ster naar de andere (26000 jaar en 18.6 jaar variaties) Momenteel doet de poolster het goed, in het verleden was dit een andere ster Bij poolbeweging verandert de hoogte van de poolster ten opzichte van de lokale horizon.

Oefeningen Hoe lang duurt het voordat een ster weer door de lokale meridiaan gaat (dit is een vorm van tijdmeting) Als een ster om 12:00 in Delft door de lokale meridiaan gaat, wanneer gaat hij dan in Rome door de lokale meridiaan Hoe meet je een astronomisch azimuth vanaf het dak op geodesie naar de nieuwe kerk in Delft? Waarom heb je voor astronomische plaatsbepaling met een sextant een klok nodig, hoe goed moet zo’n klok zijn voor +/- 1 km navigatie (nb. Hoe werkt een sextant eigenlijk?)

Quiz Het betreft hier een nachtelijke foto met een lange sluitertijd: 1) wat was de sluitertijd? 2) wat is de breedte graad van de waarnemer? 3) Hoe ziet deze opname er 4 uur later uit? 4) Idem 30 graden naar het oosten? 5) Idem op dezelfde tijd een 8 maanden later? 6) Idem 10 graden naar het noorden? 7) Idem 24 uur later? 8) Stel dat de streep een aardse satelliet was: Hoe reken je dan de rechte klimming van de klimmende knoop van het satellietbaan vlak uit?

Aardrotatie en Tijdsystemen De dynamica van aarde rotatie kan beschreven met een stelsel gewone differentiaal vergelijkingen Newton/Euler: de aarde is een starre gyroscoop Liouville: de aarde is een flexibile gyroscoop Rotatie rond 1 as veel groter dan bij alle andere assen Een typische oplossing bestaat uit een precessie langs een conus Precessie en nutatie worden veroorzaakt door differentiele zwaartekracht effecten van Zon en Maan. Sommige tijdsystemen zijn gekoppeld aan aardrotatie

Precessie en nutatie Precessiekegel Eclipticavlak Equatorvlak Rotatieas : Nutatie

Poolbeweging (en LOD variatie) De richting vd as blijft behouden in de inertiele ruimte Poolbeweging: De aarde beweegt tov de as LOD: mate van rotatie verandert

Tijdsystemen Hoe werkt een klok (oscillator + teller) Welke kloktypen bestaan er: Sterdoorgang door een meridiaan Aardrotatie zelf is een natuurlijke klok Siderische kloksnelheid: meridiaandoorgangen De 24 uurs klok: 365/366 * siderische klok Zonsdoorgang door een meridiaan De lokale meridiaan of een referentie meridiaan Lokale zonnetijd en gemiddelde zonnetijd Equation of time, en zonnewijzers Door de mens gemaakte klokken UT1, UT1R, TAI, UTC, GPS

Kepler baanelementen De bewegingsvgl voor het Keplerprobleem De beweging moet zich afspelen in een vlak Positie en snelheid in het baanvlak Orientatie vd Kepler ellips in de 3 dimensionele inertiele ruimte De vergelijking van Kepler Kepler elementen Rekenschema Referentie systemen

Mechanica en Keplerbanen (1) Let op: Het betreft hier inertiele coordinaten

Mechanica en Keplerbanen (2)

Mechanica en Keplerbanen (3) Het deeltje beweegt in een centraal krachtenveld De beweging speelt zich geheel af in een zgn baanvlak De oplossing van de bewegings vergelijkingen wordt dan ook uitgerekend in het baanvlak Substitutie 1: poolcoordinaten in het baanvlak Substitutue 2: r vervangen door 1/u Karakteristieke vgl Oplossen ahv mathematische slinger Zie ook Seeber pagina 54 t/m 66, of RG2 diktaat Tenslotte transformatie beweging in baanvlak naar 3D

Orientatie van de Keplerellips in coordinatenstelsel XYZ: inertiaal cs : rechte klimming : argument van perigeum : ware anomalie I: Inclinatie baanvlak H: hoekmoment vector r: positievector satelliet v: snelheid satelliet Satelliet Zi Perigeum I Yi Xi Nodal line Klimmende knoop Zie Seeber p 69

Snelheid en Positie in een Kepler ellips Straal r Snelheid v Let op: bij het Kepler probleem zijn alleen of , of E of M tijdsafh

De vergelijking van Kepler Er is een verschil tussen de ware anomalie , de eccentrische anomalie E en de gemiddelde anomalie M Pas op: verwar E niet met de eccentriciteitsparameter e Zie ook Seeber pagina 62 ev: M = E - e sin(E) M = n (t - t0) Dit is de vgl van Kepler Virtuele cirkel Keplerellips Middelpunt ellips/cirkel  E Tweede relatie: Perihelium Focus

Kepler elementen De positie en snelheid worden beschreven door: De halve lange as a De excenticiteit e De inclinatie van het baanvlak I De rechte klimming vd klimmende knoop  Het argument van perigeum  Een anomalie in het baanvlak (Gemiddelde anomalie M, Eccentrische anomalie E of ware anomalie  ) (leer de tekening die erbij hoort uit je hoofd)

Let op: de v in Seeber is hier een  Figuur 3.9 en 3.10 uit Seeber   Let op: de v in Seeber is hier een 

Rekenschema Oefening 1: Ontwerp zelf een het bovenstaande algorithme (ref Seeber p 96-101) Reken eerst alle informatie in het baanvlak uit Maak gebruik van de impulse momenten wet Gebruik vervolgens rotatiematrixen Reken een niet triviaal voorbeeld uit van links naar rechts en terug Oefening 2: Los de vergelijking van Kepler op dmv iteraties

Orientatie in een aardvast coordinatenstelsel Satelliet (XYZ)e: aardvast cs : rechte klimming : G.A.S.T. : argument van perigeum : ware anomalie I: Inclinatie baanvlak H: hoekmoment vector r: positievector satelliet v: snelheid satelliet Ze Perigeum I Ye Xe Nodal line Klimmende knoop Zie Seeber p 69

Aardvast (CTS) vs. Inertiaal (CIS) Zie ook Seeber pagina: 10-17

Andere coordinaatsystemen (Seeber p 17-25) Topocentrisch: Azimut en Zenit van een ruimtelijk object op de plaats van een waarnemer Globale ellipsoidische coordinaatsystemen Lokale ellipsoidische coordinaatsystemen Heliocentrische pseudo inertiaal systemen (dit is voor berekeningen in het zonnestelsel) Vertikale referentie systemen (Geoide, Ellipsoide, etc)

De aarde draait onder de satellietbaan, westelijke verschuiving Grondtracks Een groundtrack is een projectie van een satelliet baan op het aardoppervlak, meestal hebben we te maken met een sinus-achtige figuur die langzaam naar het westen propageert De aarde draait onder de satellietbaan, westelijke verschuiving

Zichtbaarheid N W E S Topocentrisch Geografisch Een satelliet is zichtbaar wanneer hij voor de waarnemer boven de horizon staat N Z N W E E S Topocentrisch Geografisch Weten:Azimut en Elevatie voor een station satelliet combinatie uitrekenen

Baanbepaling De theorie van Kepler moet je zien als een goede benadering van de beweging van kleine deeltjes in het zwaartekrachtsveld van een grote massa zoals de aarde of de zon. In werkelijkheid spelen er hogere orde termen van het zwaartekrachtsveld en andere krachten een rol. De volledige bewegingsvgl zijn daarom: Vragen: - welke coord. sys. zijn van toepassing? - verklaar alle symbolen - wat is het bereik van n,m,a - bereken de gradient van V

Overige krachten Getijden effecten van Zon en Maan Zwaartekrachts effect van lucht/water etc Stralingsdruk van zonnelicht Stralingsdruk van Aard licht (Albedo) Atmospherische remming Relativistische mechanica Alle andere dingen die we vergeten zijn

Oplossen vd bewegingsvgl Analytische Lagrange planeetvergelijkingen Potentiaal in Kepler elementen schrijven Eerste orde oplossing isoleren Hogere orde verstoringen benaderen Numeriek Omschrijven vgl naar stelsel eerste order DVs Integratie vd vergelijkingen mbv een numeriek schema (diverse mogelijkheden)

Verstoorde Keplerbanen De Keplerbaan opzich is een heel goede benadering van wat je uit de exacte oplossing van de bewegingsvgl krijgt. De meest significante verstoring ten opzichte van de Kepler ellips wordt veroorzaakt door de afplattingsterm C20 van het aardse gravitatie veld. Ref: Seeber tabel 3.4

Lineaire verstoring door C20 C20 niet genormaliseerd, n: mean motion Ref: Seeber p 84

Overblijvende verstoringen De overige gravitationele storingen zijn allen oscillerend, dwz er zijn cos/sin reeksen waarin je de amplitudes analytisch kunt uitrekenen Voor operationele doeleinden gebruiken we numerieke integratie methoden Nodig is een beginstatevector en een krachten model voor een specifieke satelliet Voor het classificeren van satellietbanen hoef je niet noodzakelijkerwijs numeriek te integreren

Classificatie van banen Zonsynchrone banen: het inertiele baanvlak loopt even snel door C20 als dat de aarde om de zon draait Golden inclination: Het perigeum beweegt niet Repeating: De ground tracks herhalen zich na verloop van tijd (dwz na een cycle) op het aardoppervlak Polaire banen: het inertiele baanvlak is gefixeerd

Preciese Baanbepaling (POD) In werkelijkheid worden banen geschat uit metingen (afstand, richting, Doppler, etc etc) van de aarde naar satelliet Een numeriek stabiel schema wordt gebruikt Keuze initiele statevector + krachtenmodel Iteratieve verbetering van div. Parameters Er wordt gebruik gemaakt van zgn variationele vergelijkingen

Variationele vgl Voorbeeld : initiele state vector componenten, termen in krachtenmodel etc

Representatie baanelementen De uiteindelijke baan die uitgerekend wordt past zo goed mogelijk bij de waarnemingen Veelal worden er handige representatie methoden gebruikt om de uitgerekende informatie samen te vatten Files met kolommen getallen (t, pos., vel.) Compressie door middel van polynomen Functie Kepler elementen gecomprimeerd met enkele eenvoudige coefficienten Verspreiding: via data kanaal GPS, via internet, etc

Broadcast Ephemeriden GPS

Broadcast ephemeriden GPS (2)

Einde onderdeel mechanica