Praktische Opdracht Wiskunde Uitwerking van hoofdstuk 3 EM3 en hoofdstuk 4 EM4 Gemaakt door: Martijn Oosterik, Rineke Veldhuis, Willem Liedenbaum en Edwin Geerdink.

Inleiding In deze presentatie hebben wij geprobeerd hoofdstuk 3, van het 2e wiskunde boek uit 4VWO, en hoofdstuk 4 van 5VWO zo overzichtelijk en duidelijk mogelijk uit te leggen. Wij hebben voor hoofdstuk 3 gekozen omdat dit een belangrijke basis vormt voor ons examen, en hoofdstuk 4 omdat deze hier bij aansluit.

Differentievergelijkingen Recurrente formule U0=2 U1=U0+2 U2=U1+2 … Un+1=Un+v Bij een getallenrij Un wordt de beginterm met U0 aangegeven. Twee bijzondere rijen zijn de rekenkundige rij (rr) en de meetkundige rij (mr). Bij een rr is het verschil tussen twee opeenvolgende termen constant. Het wordt aangegeven met een v. Dus bij de rij 2,4,6,8, … is v=2. Bij deze rij hoort de recursieve (recurrente) formule Un+1=Un+2 met U0=2. Daarnaast kan de rij Un+1=Un+2 ook worden gegeven met een directe formule. Zie het verschil hiernaast: Directe formule U0= 2+0×2 U1=2+1×2 U2=2+2×2 … Un=U0+vn

Differentievergelijkingen deel 2 Bij een mr is het quotiënt van twee opeenvolgende termen constant. Het wordt aangegeven met r. Dus bij de rij 2,4,8,16, … is r=2. Bij deze rij hoort de recursieve formule Un+1=2Un met U0=2. Het getal 2 heet de factor of de groeifactor: r Een recursieve formule wordt ook wel differentievergelijking genoemd. Dit komt omdat elke recurrente betrekking te herleiden is tot een vorm met ΔUn. Zie hiernaast: De recurrente formule: Un+1=1,28Un Is ook te noteren als: Un+1=Un+0,28Un Un+1-Un=0,28Un  ΔUn=0,28Un. Hier komt het verschil (=differentie) ΔUn voor, dus ΔUn=0,28Un heet een differentievergelijking.

Lineaire differentievergelijkingen van de eerste orde De formules met de vorm Un+1=aUn+b zijn lineaire differentievergelijkingen van de eerste orde. Dit houdt in dat in de recursieve formule van Un+1 alleen de direct voorgaande term Un voorkomt. Er bestaat een lineair verband tussen Un+1 en Un. Voor a=0,85 en b=5 ontstaat de differentievergelijking Un+1=0,85Un+5. Met behulp van de GR kun je de termen Un berekenen. In dit gevalstartwaarde 8: 5 [exe] ans×0,85+5. Na nog een aantal keren op [exe] te hebben gedrukt blijkt Un te naderen tot een grenswaarde, namelijk ≈33,33. Hieruit blijkt dat in dit geval op den duur geldt Un≈33,33. Dit is het verzadigingsniveau. Je kunt het verzadigingsniveau V algebraïsch berekenen: Als het verzadigingsniveau bereikt is geldt: Un+1=Un=V  V=0,85V=5 -0,85V+V=5 0,15V=5 V=33 1/3 De termen van de bijbehorende rij Un kunnen ook anders worden doorgerekend: door de formule in te voeren op het rijen-invoerscherm en de termen in een tabel te zetten, en door de bijbehorende tijdgrafiek (de horizontale as geeft in feite de tijd aan) te plotten en deze met de trace-cursor te doorlopen.

Logistische groei Bij logistische groei hoort een S-vormige kromme die de grenswaarde G nadert. De toename van P is minder naarmate P dichter bij de grenswaarde ligt. Hierbij hoort het logistische groeimodel: Pt+1 = Pt + k × Pt × (1- Pt : G) * hierin is k de groeivoet. * 1 - Pt : G de remfactor. De remfactor ligt tussen de 0 en 1, en is kleiner naarmate Pt dichterbij G ligt. In de tabel zie je dat de formule: remfactor = (1 – Pt : 20000) aan de eisen voldoet. Hoe dichter Pt bij 20000, de te dichter ligt de remfactor bij 0. Pt 4000 8000 11000 15000 18000 19000 1 – Pt : 2000 0,8 0,6 0,4 0,25 0,1 0,05

Logistische groei deel twee Bij de differentievergelijking Pt+1 = Pt + 0,5 × Pt × (1-Pt : 20) kun je de puntenrij (P0,P1), (P1,P2), (P2,P3), (P3,P4), … in een Oxy-assenstelsel tekenen. Elk punt (x,y) van deze rij voldoet aan Pt+1 = Pt + 0,5 × Pt × (1 – Pt : 20). Dus telkens is y= x + 0,5x (1- x : 20). y= x + 0,5x – 0,5 : 20 x² y= 1,5x – 0,025 x² De punten liggen dus op de bergparabool y = -0,025x² + 1,5x. Uitgaande van P0 = 5. De webgrafiek nadert het snijpunt van de parabool y = -0,025x² + 1,5x en de lijn y = x. De x-coördinaat van dit snijpunt kun je algebraïsch berekenen: -0,025x² + 1,5x = x -0,025x² + 0,5x = 0 x(-0,025x + 0,5) = 0 x = 0 -0,025x = -0,5 x = 0 x = -0,5 -0,025 x = 20 De evenwichtswaarde van p-streep = 20.

Voorbeeldsom Bij een logistische groei is de grenswaarde 2000. De startwaarde is 150 en de groeivoet 0,5 per maand. a) Stel de differentievergelijking op. Gebruik Pt voor het aantal na t maanden. b) Plot op je Grafische Rekenmachine de tijdgrafiek. Vanaf welke t is Pt meer dan 1800? c) Vanaf welke t verschilt Pt minder dan 20 van de grenswaarde? d) Verander de differentievergelijking zo, dat de grenswaarde 5000 is. Vanaf welke t verschilt Pt minder dan 20 van de grenswaarde? a) G = 2000, P0 = 150 en k = 0,5 Pt+1 = Pt + 0,5 × Pt ( 1 – Pt : 2000) met P0 = 150. b) P9 ≈ 1727 en P10 ≈ 1845  vanaf t = 10 c) G = 2000. 2000 – 20 = 1980. T14 = 1988,7  Voor t = 14 d) Pt+1 = Pt + 0,5 × Pt (1 – Pt : 5000) met P0 = 150. Vanaf t = 17.

De differentievergelijking Un+1=aUn+b Voor b=0 gaat de algemene vorm Un+1=aUn=b over in Un+1=aUn. Deze recursieve formule hoort bij een meetkundige rij met groeifactor a. Hierbij hoort de directe formule: Un=U0×a^n. Bij de rij Un krijg je de somrij S als volgt: S0=U0 S1=U0+U1 (2 termen) S2=U0+U1+U2 (3 termen) … Sn=U0+U1+U2+…+Un (n+1 termen) Voor de meetkundige rij Un met factor a en beginterm U0 geldt: Un+1-U0 U0×a^n+1-U0 Sn= a-1 ofwel Sn= a-1 Voor -1<a<1 en grote waarden van n is a^n+1 vrijwel 0. U0×0-U0 -U0 U0 U0 Je krijgt dan Sn≈ a-1 = a-1 = 1-a . De rij heet sommeerbaar met som S = 1-a

Oplossingsformule voor de differentievergelijking Bij een differentievergelijking kun je een directe formule opstellen. Deze directe formule heet de oplossingsformule. In algemene vorm: De oplossingsformule van de differentievergelijking Un+1=aUn+b met beginterm Uo is b Un=U+a^n(U0-U) met U=1-a , dit laatste is de evenwichtswaarde. Bij Un+1=0,4Un+12 met U0=30 is a=0,4 en b=12 b 12 Dus U=1-a = 1-0,4 = 20 Je krijgt Un=20+0,4^n(30-20), Ofwel Un=20+10×0,4^n

Voorbeeldsom Geef de oplossingsformule van: Un+1=1,25Un-10 met U0=20 Un+1=0,95Pn+1000 met P0=25 000 a=1,25 en b=-10 b -10 dus U= 1-a = 1-1,25 = 40 Un=40+1,25^n(20-40) Wordt: Un=40+1,25^n(-20) Is: Un=40-20×1,25^n A=0,95 en b=1000 b 1000 dus U= 1-a = 1-0,95 = 20 000 Un=20 000+0,95^n(25 000- 20 000) Wordt: Un=20 000+0,95^n(5000) Is: Pn=20 000+5000×0,95^n

Gedrag van de rij Un+1=aUn+b met U0≠U Bij Un+1=aUn+b heeft de waarde van a grote invloed op het gedrag van de rij Un. We onderscheiden enkele situaties: Bij -1<a<1 convergeert de rij Un naar de evenwichtswaarde. Je kunt dat begrijpen als je naar de oplossingsformule kijkt, want a^n≈0 voor een grote n, dus Un≈U+0(U0-U)=U. Zie de eerste grafieken voor de verschillende rijen die hier bij voorkomen. Bij a>1 is de rij divergent. Afhankelijk van de startwaarde U0 is de rij Un monotoon stijgend of monotoon dalend. Bij a<-1 is de rij divergent. De afstand tot de evenwichtsstand wordt steeds groter. Zie de tweede grafieken.

Webgrafieken Bij de differentievergelijking Un+1 = 2Un+1 met U0 = 1 kun je twee grafieken tekenen: ¤ Een tijdgrafiek, daarbij zet je op de horizontale as n uit, en op de verticale as zet je Un uit. ¤ Een grafiek waarbij je zowel op de horizontale als op de verticale waarden van Un uit. Je gebruikt daarvoor de volgende puntenrij. (1,3) (3,7) (7,15) (15,31) (31,63) …. (U0,U1) (U1,U2) (U2,U3) (U3,U4) (U4,U5) …. De punten van de rij (Un,U n+1) liggen op een lijn. Je kunt dat als volgt verklaren. Telkens is: Un+1  de y-coördinaat 2 Un+1  de x-coördinaat Dus de y-coördinaat is gelijk aan 2 keer de x-coördinaat plus 1. Elk punt (x,y) van de rij voldoet dus aan y = 2x + 1. De punten liggen op de lijn y = 2x + 1.

Webgrafiek tekenen Er bestaat om methode om zonder te rekenen bij een gegeven strartwaarde U0 de punten (Un, Un+1) snel te tekenen. Daarbij gebruik je behalve de lijn y = 1,5x + 1 ook de lijn y = x. Je begint met de lijnen y = 1,5x + 1 en y = x te tekenen. Teken U0 op de x-as en ga via y = 1,5x + 1 naar U1 op de y-as. Zet vervolgens U1 op de x-as. Dat gaat handig via de lijn y = x. De ontstane grafiek heet een webgrafiek.

Webgrafieken deel 2 * De webgrafiek van de differentievergelijking Un+1 = aUn+b heeft te maken met de lijnen y = ax+b en y = x. De x-coördinaat van het snijpunt van deze lijnen is: x = b : 1-a. b : 1-a noemen we de evenwichtswaarde van de rij Un. * Als U0 = b : 1-a, dan bestaat de webgrafiek alleen uit dit snijpunt. * De rij Un is een constante rij voor Un = b : 1-a convergeren = op één punt richten divergeren = uiteen wijken * Bij een stabiel evenwichtspunt convergeert Un naar u-streep = b : 1-a en de evenwichtswaarde = verzadigingsniveau. * Bij een instabiel evenwichtspunt divergeert de rij Un. Er is geen verzadigings niveau

Directe en recursieve formules In deze paragraaf gaan we kijken naar getallenrijen en de daarbij behorende formules. Wat is nou een getallenrij? Klinkt misschien logisch, maar het is gewoon een rij/reeks met getallen waar een verband in zit tussen de termen. De getallen in de rij heten termen. Om er achter te komen wat nou precies het verband is tussen de termen in een getallenrij zijn er 2 formules. De recursieve en de directe formule. Een recursieve formule is een formule waarin is vastgelegd hoe een term van een rij uit 1 of meer voorafgaande termen wordt berekend, bv. Un + 1 = Un + v met U1 = beginwaarde en v = het verschil tussen de termen. Je berekent de termen indirect, door namelijk de voorafgaande termen te gebruiken. Je moet dan wel de startwaarde(n) kennen. De directe formule daarentegen kun je elke term van een rij direct berekenen, bv.Un = Un + b De n-de term van een rij wordt genoteerd met Un of Vn.

Directe en recursieve formules Uitwerking  We nemen een normale getallenrij: 102, 106, 110, 114, 118, …. Termen: U1 U2 U3 U4 U5 enz. De bijbehorende recursieve formule ( Un + 1 = Un + v met U1 = Beginwaarde) bereken je als volgt: Het verschil tussen de termen is steeds 4, dus v = 4 De getallenrij begint bij 102, dus b = 102 Dan gaat de formule als volgt: Un +1 = Un + 4 met U1 = 102 Dus : -U2 = U1 + 4 -U3 = U2 + 4 -U4 = U3 + 4 Bij deze recursieve formule kun je de termen makkelijk berekenen met behulp van de GR via [MENU 1]. Daar typ je de beginwaarde in, dus 102 [ENTER] doe je + 4 [ENTER], [ENTER], [ENTER], …..Moet je alleen het aantal keer [ENTER] tellen  We hebben een getallenrij: 5, 9, 13, 17, …. De bijbehorende directe formule ( Un = Vn + b) bereken je als volgt: Het verschil tussen de termen is steeds 4, dus V = 4 Nu krijg je de formule: Un = 4n + 1 Bv. U4 = 4 x 4 + 1 U4 = 17 U5 = 4 x 5 + 1 U5 = 21

Rekenkundige en meetkundige rijen Tussen getallenrijen kunnen we 2 soorten toe- of afnames onderscheiden. - Een constante groei/afname - Een exponentiele groei/afname. Een getallenrij met een constante groei/afname tussen de onderlinge termen, noemen we een rekenkundige rij (RR). Een getallenrij waarbij het quotiënt van twee opvolgende termen steeds hetzelfde getal is, noemen we een meetkundige rij (MR). Een RR is een rij waarbij het verschil van 2 opeenvolgende termen steeds hetzelfde getal is. Bijv. 2, 5, 8, 11, 14 Hier is het verschil telkens 3, dus een RR. Bij een RR met de beginterm B en verschil V hoort de directe formule Un = B + (N-1) x V En de recursieve formule Un + 1 = Un + V met U1 = beginwaarde Bij een MR kun je de termen steeds met hetzelfde getal vermenigvuldigen, Een voorbeeld van een MR is, 5, 10, 20, 40 Hier is het getal waarmee je steeds vermenigvuldigd, de factor, 2. Een MR met de beginterm B en factor R hoort de directe formule Un = B x R(tot de N-1 de) En de recursieve formule Un + 1 = R x Un met U1 = beginwaarde

Rekenkundige en meetkundige rijen Uitwerking  We beginnen met de RR. Hier horen 2 formules bij, de recursieve RR en de directe RR. Direct: Un = B + (N-1) x V Recursief: Un + 1 = Un + V met U1 = beginwaarde We nemen een willekeurige getallenrij: 150, 160, 170, 180, 190, …. Om nu achter de directe formule te komen, moeten we de beginwaarde, B, en het verschil tussen de termen, V, opzoeken. In dit geval, B = 150 en V = (160-150) = 10 Directe RR = Un = B + (N-1) x V Nu krijg je Un = 150 + (N-1) x 10 = 150 + 10N-10, dus Un = 10N + 140 Nacontrole: U1 = 10 x 1 + 140 = 150 U3 = 10 x 3 + 140 = 170 Nu gaan we de recursieve formule opzoeken.. Die is Un + 1 = Un + V met U1 = beginwaarde Het verschil, V, tussen de termen is hier 10 en de beginwaarde = 150 Nu krijg je Un + 1 = Un + 10 met U1 = 150 Nacontrole: U1 = 150 U2 = 150 + 10 = 160 U3 = 160 + 10 = 170

Rekenkundige en meetkundige rijen Uitwerking  Nu bekijken we de MR, Hier horen ook 2 formules bij, de recursieve MR en de directe MR. Direct: Un = B x R(tot de N-1 de) Recursief: Un + 1 = R x Un met U1 = beginwaarde. We nemen een willekeurige getallenrij 100; 105; 110,25; 115,76; 121,55; …. Om achter de directe formule te komen, moeten we de beginwaarde, B, en het quotiënt waarmee telkens wordt vermenigvuldigd, R, opzoeken. In dit geval, B = 100 en R = (110,25 / 105) = 1,05 Directe MR = Un = B x R(tot de N-1 de) Nu krijg je Un = 150 x 1,05(tot de N-1 de) Om de recursieve formule te vinden moet je de factor, R, en de beginwaarde hebben. In dit geval: R = 1,05 en beginwaarde = 100. Recursief = Un + 1 = R x Un met U1 = beginwaarde Nu krijg je Un + 1 = 1,05 x Un met U1 = 100 Nacontrole: U1 = 100 U2 = 1,05 x 100 = 105 U3 = 1,05 x 105 = 110,25

Som en verschilrijen Wanneer men de som van een aantal termen bij elkaar op wil tellen, noteert met dat met Sn als de som van de eerste termen van un. Bijvoorbeeld: De getallen reeks 5, 7, 9, 11, 13 S1 = 5 S2 = 5+7= 12 Sn = S2 + 9 = 21 enzovoorts. Met behulp van deze sommen ontstaat er een somrij van 5, 12, 21, 32, en verder. Voor deze somrij geldt de recursieve formule Sn+1 = Sn + un+1 met S1 = u1 . Voorbeeld De somrij van de rij un is gegeven door de directe formule Sn = 2n² + 8n. a.) Bereken de eerste vier termen van de rij un. b.) Bereken u10. Uitwerking: a.) S1 = 10, S2 = 24, S3 = 42, S4 = 64 u1 = S1 = 10, u2 = S2 - S1 = 14, u3 = S3 - S2 = 18, u4 = S4 - S3 = 22 b.) u10 = S10 - S9 = 280 - 234 = 46

Som en verschilrijen (2) De som van een aantal opeenvolgende termen van de rij un wordt vaak genoteerd met de Griekse hoofdletter ∑, dat je uitspreekt als sigma. 10 Zo wordt u1 + u2 + u3 + u4 + u5 genoteerd als ∑ uk . k=1 Voorbeeld Schrijf de volgende sommen met de ∑-notatie. a.) 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 18 + 20 b.) 10 + 10 ∙ 1,2 + 10 ∙ 1,2² + … + 10 ∙ 1,2^8 Uitwerking: a.) De rij 2,4,6,… is de rij even getallen. un = 2n 2 + 4 + 6 + 8 + … + 18 + 20 = ∑2k b.) 10 ; 10 ∙ 1,2 ; 10 ∙ 1,2² ; … is een mr met un = 10 ∙ 1,2 ^n-1. 9 10 + 10 ∙ 1,2 + 10 ∙ 1,2² + … + 10 ∙ 1,2^8 = ∑10 ∙ 1,2^k-1 Ook met de Grafische Rekenmachine kan men snel een somrij optellen. Voor de Casio GR geldt: Menu 8  druk op SHIFT en dan op MENU om de ∑-display op ON te zetten  druk op EXIT  kies type formule en voer de formule in  kies je range  druk op TABL om bij de tabel te komen.

Som en verschilrijen (3) Toepassing van de ∑-notatie Voorbeeld Joost stort telkens op 1 januari een bedrag van 1000 euro op zijn spaarrekening. Hij is hiermee begonnen op 1 januari 1995. Hij krijgt 4,6% rente per jaar over het gespaarde bedrag. De rente wordt jaarlijks op 1 januari op zijn rekening bijgeschreven. a.) Schrijf het saldo van zijn rekening op 1 januari 2008 met behulp van de ∑-notatie. b.) In welk jaar staat er voor het eerst meer dan 50.000 euro op de rekening van Joost Uitwerking: a.) Op 1 januari 2008 is het kapitaal uitgegroeid tot 1000 + 1000 ∙ 1,046 + ... + 1000 ∙ 1,046^13 = 14 ∑ 1000 ∙ 1,046^k-1 k=1 b.) un = un-1 + 1000 ∙ 1,046^n-1 komt in de tabel voor het eerst boven 50.000 bij n=27. n=27 hoor bij 1 januari 2021, dus in de loop van het jaar 2020 staat er voor het eerst meer dan €50.000 op zijn rekening.

Som en verschilrijen (4) Bij het kijken naar rijen is het handig om naar de onderlinge verschillen van de getallen te kijken. Rij 6 8 14 24 38 Eerste verschil <- 2 -> <- 6 -> <- 10 -> <- 14 -> De eerste verschillen van een rij un vormen op hun beurt ook weer een rij, namelijk de verschilrij van un. Notatie: ∆un. Bij de rij 6, 8, 14, 24, 38, 56, ... hoort de verschilrij 2, 6, 10, 14, 18, ... ∆u1 = u2 – u1 ∆u2 = u3 – u2 ∆u3 = u4 – u3  Algemeen is ∆un = un+1 – u1 Voorbeeld Gegeven is de rij un = n² + n Geef de directe formule van de verschilrij. Uitwerking ∆un = un+1 – un = (n + 1)² + n + 1 – (n² + n) = n² + 2n + 1 + n + 1 - n² - n = 2n + 2

Formules van somrijen De som van de eerste n termen van een rekenkundige rij un is gelijk aan: Sn = 0,5 x n x (u1 + u2) Voorbeeld Gegeven is de rr un = 7n + 1 Uitwerking u1 = 8 en u20 = 141, dus S20 = 0,5 x 20 x (8 + 141) = 1490 Voorbeeld 2 Bij de 10 km rijden schaatsers 25 rondjes van 400 meter. a.) Ben begint met een rondje van 34 seconden. Vervolgens rijdt hij elke ronde 0,15 seconde langzamer dan de voorafgaande ronde. Bereken zijn eindtijd. b.) Bart begint met een rondje van 36,5 seconden. Vervolgens rijdt hij elke ronde 0,2 seconde sneller dan de voorafgaande ronde. Bereken de eindtijd van Bart. a.) Ben’s rondetijden vormen een deel van een rr met un = 34 + (n -1) ∙ 0,15 u25 = 37,6 en S25 = 0,5 x 25 x (34 + 37,6) = 895 seconden = 14 minuten en 55 seconden. b.) Bart’s rondetijden vormen een deel van een rr met un = 36,5 + (n -1) ∙ -0,2 u25 = 31,7 en S25 = 0,5 x 25 x (36,5 + 31,7) = 852,5 seconden = 14 minuten en 12,5 seconden

Formules van somrijen Voor een meetkundige rij met factor r geldt Sn = (un+1 – u1) ∕ (r – 1), ofwel Sn = (b x r^n – b) ∕ (r – 1) Voorbeeld Gegeven is de rij un = 32 x 1,5 ^n-1 Bereken S10 Uitwerking Mr met u1 = 32 en u11 = 32 x 1,5 ^10 = 1845,28125 S10 = (1845,28125 – 32) ∕ (1,5 – 1) = 3226,5625 Voorbeeld 2 Jordy doet mee aan een spaarregeling. Elke maand stort hij €200,- op een rekening. Hij krijgt 0,55% rente per maand. Bn is het bedrag in guldens dat Jordy na n maanden op zijn rekening heeft staan. a.) Bn is de som van n termen van een mr. Geef van deze meetkundige rij b en r. b.) Geef de formule van Bn. c.) Bereken in centen nauwkeurig hoeveel Jordy na vijf jaar gespaard heeft. a.) Het is een mr met b = 200 en r = 1,0055 b.) Bn = 200 + 200 x 1,0055 + ... + 200 x 1,0055^n = (200 x 1,0055^n+1 – 200) ∕ (1,0055 – 1) c.) n = 5 x 12 = 60 geeft B60 = (200 x 1,0055^61 – 200) ∕ (1,0055 – 1) ≈ € 14.449,25

Formules van somrijen Van een mr met -1 < r < 1 is r^n voor grote waarden van n bij benadering 0. Je krijgt dan Sn = (b ∙ r^n – b) ∕ (r – 1) ≈ (0 – b) ∕ (r – 1) = b ∕ (1 – r). De waarde b ∕ (1 – r) heet de grenswaarde S van Sn. De rij un heet in dit geval sommeerbaar met som S. Voorbeeld Bereken de som van 10 – 5 + 2,5 – 1,25 + 0,625 - ... Uitwerking Het is een sommeerbare mr met b = 10 en r = -0,5 S = b ∕ (1 – r) = 10 ∕ (1 - - 0,5) = 10 ∕ 1,5 = 6⅔ Voorbeeld 2 Een heimachine slaat een betonnen paal in de grond. Bij de eerste klap gaat de paal 200 centimeter de grond in. Bij de volgende klap gaat de paal 20% minder ver de grond in dan bij de voorafgaande klap. Hoe ver kan de heimachine de paal maximaal de grond in slaan? 200 + 200 ∙ 0,8 + 200 ∙ 0,8² + 200 ∙ 0,8^3 + ... = 200 ∕ (1 – 0,8) = 1000. De heimachine kan de paal dus 1000 centimeter de grond in slaan, oftewel 10 meter.

Gemengde opgaven Vraagstelling Op 22 juni 1997 is het wereldrecord kratten stapelen in handen gekomen van de inwoners van Loo-Bathmen. In totaal zijn er toen in 16 uur 53.955 kratten op elkaar gestapeld in piramide-vorm. De top van de piramide bestaat uit één krat, daaronder komt een laag van vier kratten, dan een van negen kratten, dan van 16 kratten, enzovoort. a.) Uit hoeveel lagen bestaat de stapel? Gebruik de GR. Neem aan dat de bouwers elk uur evenveel kratten op hun plaats hebben gezet. b.) Hoeveel minuten deden ze over de onderste laag? c.) Wat was de hoogte na 8 uur stapelen? Uitwerking a.) GR menu 8 “RECUR”  type F2 “an+1 = Aan + Bn + C”  formule: an+1 = an + n²  Bij S54 = 53.955 kratten b.) De 53.955 kratten werden in 16 uur opgestapeld. De onderste laag telde 54² = 2.916 kratten. Hiervoor was nodig 2.916 ∕ 53.955 x 16 x 60 minuten ≈ 52 minuten. c.) Na 8 uur stapelen zitten ze dus op de helft van het aantal kratten. Daarom moet je weten hoeveel kratten ze dan gestapeld hebben. Uit de tabel van je GR blijkt dat de helft van de 53.995 kratten (53.995 : 2 = 26978) tussen S42 = 25.585 en S43 = 27.343 liggen. S42 is het aantal kratten in de bovenste 42 lagen. In de onderste 54-42= 12 lagen zitten dus 53.955 – 25.585 = 28.370 kratten en in de onderste 11 zitten er 53.955 – 27.434 = 26.521 kratten. Na 8 uur stapelen was met bezig met de 12e laag en had de stapel al een hoogte van 12 lagen. Omdat 54 lagen 13 meter hoog zijn, zijn 12 lagen 12 ∕ 54 ∙ 13 ≈ 2,89 meter hoog.

Bronnenlijst Als bronnen hebben we gebruikt: Getal en ruimte vwo EM4, 1e druk 1999 Getal en ruimte vwo EM3, 1e druk 1999 Getal en ruimte 4vwo2, overhandigd exemplaar