Afleidingen Signaaldetectietheorie Oppervlaktestelling S = LRc Az

Afleiding Oppervlaktestelling Area theorem: A is equivalent met proportie correcte antwoorden in 2AFC-experiment: Gegeven: 1 ruisstimulus 1 signaal (+ruis) stimulus, Welke is wat? Lijkt zinnig! Belangrijk maar lastig.

Aanpak: produceer een formule voor de proportie correct in een 2AFC-experiment (Pc) Produceer een formule voor de oppervlakte onder de ROC-curve A Laat zien dat de formule voor A erg veel lijkt op die voor Pc Laat zien dat de formules identiek zijn.

fn fs ∞ PH = ∫ fs(x)dx λ = H(λ) ∞ PFA = ∫ fn(x)dx λ = FA(λ) x PH PFA Recap: In het algemeen: fn fs ∞ PH = ∫ fs(x)dx λ = H(λ) ∞ PFA = ∫ fn(x)dx λ = FA(λ) x 0 λ PH λ = FA-1(PFA) ROC-curve: PH = H(λ) = H[FA-1(PFA)] Specifiek model hangt af van fn and fs PFA

fs fn ∞ PH = ∫ fs(x)dx λ = H(λ) ∞ PFA = ∫ fn(x)dx λ = FA(λ) x Herinterpretatie voor 2A FC experiment: fs fn ∞ PH = ∫ fs(x)dx λ ∞ PFA = ∫ fn(x)dx λ = H(λ) = FA(λ) x 0 λ De twee alternatieven corresponderen met twee punten op de x-as. Stel dat λ de ruisstimulus is: PC = p(xs>xn), indien xn = λ, p(xs>xn) = H(λ) Alle H(λ) voor elke λ sommeren Wegen voor dichtheid van λ [= fn(λ)]: ∞ PC = ∫ H(λ)fn(λ)dλ -∞

fn fs ∞ PH = ∫ fs(x)dx λ = H(λ) ∞ PFA = ∫ fn(x)dx λ = FA(λ) x PH Oppervlakte onder Roc-curve: fn fs ∞ PH = ∫ fs(x)dx λ = H(λ) ∞ PFA = ∫ fn(x)dx λ = FA(λ) x 0 λ ROC-curve: PH [= H(λ)] as functie van PFA [= FA(λ)] PH 1 A = ∫ H(λ)dFA(λ) 0 ∞ PC = ∫ H(λ)fn(λ)dλ -∞ Vgl: PFA A lijkt op PC ; A is ook PC ; kun je bewijzen

∫ 1 A = ∫ H(λ)dFA(λ) 0 -fn(λ)dλ fn(x)dx = 1 - fn(x)dx dFA(λ) d(λ) afleiding (optioneel): 1 A = ∫ H(λ)dFA(λ) 0 -fn(λ)dλ fn(x)dx = 1 - fn(x)dx ∞ λ ∫ -∞ dFA(λ) d(λ) ------- = -fn(λ) Nog twee kleine klusjes: integratielimieten en minteken dFA(λ) = -fn(λ)dλ ∞ PC = ∫ H(λ)fn(λ)dλ -∞

∫  ∫ ∫  ∫ fs fn x -∞  ∞ 1 A = ∫ H(λ)dFA(λ) 0 -fn(λ)dλ 0 λ -∞  ∞ Van Integreren over FA naar integreren over λ 1 A = ∫ H(λ)dFA(λ) 0 -fn(λ)dλ 1 ∫ -H(λ)fn(λ)dλ 0 ∫  ∫ 1 -∞ ∞ Limieten: als FA(λ)=PFA= 0 dan λ = ∞ als FA(λ)=PFA= 1 dan λ = -∞ Omkeren: -H(λ)fn(λ)  H(λ)fn(λ) ∞ ∫  ∫ -∞ ∞ PC = ∫ H(λ)fn(λ)dλ -∞

PFA dPH dPFA Maten voor criterium Elk punt van ROC-curve geeft criterum/bias bij die gevoeligheid PH Richtingscoefficiënt raaklijn op dat punt als maat voor bias/criterium S = .49 PFA ROC-curve: PH als functie van PFA dPH Richtingscoefficiënt S = ------ dPFA

fn fs ∞ PH = ∫ fs(x)dx λ ∞ PFA = ∫ fn(x)dx λ x = LRc 0 λ Maten voor criterium ∞ PH = ∫ fs(x)dx λ ∞ PFA = ∫ fn(x)dx λ d(1-PFA) dPFA PFA dPH ---------- = - ----- = fn , ---- = - fn , evenzo: ------ = - fs …dx dx dx dx dPH dPH Van ------ naar ------ dx dPFA dPH dPH dPFA ----- = ----- • ------.dx dPFA dx (kettingregel) dPH dPH/dx S = ----- = ----------- dPFA dPFA/dx - fs fs = ----- = ----- - fn fn = LRc

Gaussiaans model met ongelijke varianties Ruisverdeling blijft gelijk: μ = 0, σ = 1 Dus blijft ook: PFA = Φ(-λ), zFA = -λ Wat verandert is de signaalverdeling: μs, σs (≠ 1) dus wordt PH “gestandaardiseerd”: μs – λ μs – λ PH = Φ zH = σs σs De formules worden ingewikkelder en de z-getransformeerde ROC-curve heeft een richtingscoëfficient ≠ 1

PH PFA zH zFA PFA = Φ(-λ), zFA = -λ θ μs – λ μs – λ PH = Φ zH = σs σs Unequal variance model σn=1, σs PFA zH zH= ---- + --- zFA μs σs σs PFA = Φ(-λ), zFA = -λ μs/σs θ -μs zFA μs – λ μs – λ PH = Φ zH = σs σs tg(θ) = 1/σs

zH zFA Measures: e a de = Oe√2 da = Oa√2 O Δm μs √1 + σs2 Δm maakt geen verschil tussen grote en kleine σs Measures: Afstand tot oorsprong naar analogie met d' : zH ZH= -ZFA e a μs √1 + σs2 de = Oe√2 da = Oa√2 zFA O Δm (Pythagoras en gelijkvormige driehoeken)

Om Az , het oppervlak onder de ROC-curve van het Gaussiaanse model met ongelijke varianties te vinden: Produceer een formule voor het 2AFC-experiment onder dit model Volgens het oppervlakte theorema is dat gelijk aan A onder dit model = Az

n s PH PFA Oppervlakte onder Gaussiaanse ROC-curve: Az Oppervlaktestelling!!! PFA Gaussiaans 2AFC: n s PC = p(xs>xn) = p(xs-xn>0)

PC = p(xs>xn) = p(xs- xn>0) -μs =1 - Φ √1 + σs2 -μs De variantie van het verschil van twee onafhankelijke randomvariabele is de som van de beide varianties -μs μs = Φ √1 + σs2 = Az volgens oppervlaktestelling!

μs = Φ √1 + σs2 μs/σs = Φ √1/σs2 + 1 PH PFA Oppervlakte onder Gaussiaanse ROC-curve: Az μs = Φ √1 + σs2 (al aangetoond) PFA μs/σs = Φ √1/σs2 + 1 tg Az = Φ(da/√2) Gelijke varianties : Az = Ad' = Φ(d'/√2)