H4 Differentiëren

Case Winstmaximalisatie Voor een videocamera van het merk Canon wil beleidsmedewerker Jan Smit weten bij welke afzet de winst maximaal is. Om dit te bepalen kijkt hij allereerst naar de verkoopprijs van de camera. Deze bedraagt 400 euro per stuk. Vervolgens vraagt hij zich af welke relatie er bestaat tussen de totale kosten per dag en de productiehoeveelheid.

Case Winstmaximalisatie Met behulp van de statistische techniek meervoudige regressie bepaalt hij de volgende totale kostenfunctie:   TK = q³ - 45q² + 670q +2625, waarbij TK in euro per dag en q in stuks per dag. Hoe berekent Jan de afzet waarbij de winst maximaal is?

Differentiëren Voorbeeld: De relatie y = 4 is eenvoudig te tekenen. Als je 1 stap naar rechts gaat, dan is er geen verschuiving in de y-richting.

Differentiëren Als je 1 stap naar rechts gaat vanuit bijvoorbeeld x =1, dan is er geen sprake van een verschuiving in de y-richting. Met andere woorden, als Δx =1 vanuit x = 1, dan is Δy = 0. Uiteraard is dan ook Δy/Δx = 0/1 = 0. We zeggen dat de helling in de grafiek 0 is.

Differentiëren In de grafiek is het lineaire verband y = 4x getekend.

Differentiëren Als x = 1 dan is y = 4. Ga je vanuit x = 1 nu 1 stap naar rechts (Δx = 1), dan is x = 2. Bij x = 2 hoort y = 8. Dat betekent dat Δy = 8 – 4 = 4 dus Δy/Δx = 4/1 = 4 ofwel de helling is 4. Bij een lineaire functie is de helling gelijk is aan de richtingscoëfficiënt!

Differentiëren In de grafiek is het tweedegraads verband y = -x² + 8x getekend.

Differentiëren Hoe groot de helling is hangt af van waar je staat op de grafiek. Bij x = 1 is de helling positief omdat hier de grafiek stijgt. Bij x = 4 sta je even horizontaal en is de helling dus 0. Bij x = 5 is de helling negatief omdat je hier in een dalend stuk van de grafiek zit.

Differentiëren Hoe groot is de helling in x = 1? De bergparabool in x = 1 en de raaklijn bij x = 1 zijn beide even steil.

Differentiëren Hoe steil je in een punt van een grafiek staat is hetzelfde als de vraag hoe groot de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dit punt is. Hoe bepaal je de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in een punt?

Differentiëren Wanneer x = 1 dan geldt y = -1² + 8.1 = 7. Ga je vanuit dit punt (1, 7) één stap opzij dan wordt x = 2. De bijbehorende y-waarde is y = -2² + 8.2 = 12. In dit geval geldt dat Δx = 1 en Δy = 12 – 7 = 5.

Differentiëren De richtingscoëfficiënt van de lijn die gaat door de punten (1, 7) en (2, 12) is Δy/Δx = 5/1 = 5. Deze lijn noemen we lijn 1.

Differentiëren In plaats van Δx = 1 neem je nu Δx = 0,50. Je komt dan uit in het punt (1,5 ; 9,75). Nu is Δx = 0,50 dan is Δy = 9,75 – 7 = 2,75 De richtingscoëfficiënt van de lijn die door deze twee punten gaat is Δy/Δx = 2,75/0,50 = 5,50. Deze lijn noemen we lijn 2.

Differentiëren In de tekening kun je zien dat de rico van lijn 2 een betere benadering is van de rico van de raaklijn dan die van lijn 1.

Differentiëren In onderstaande tabel is te zien hoe een en ander zich ontwikkelt bij x = 1, als we Δx kleiner maken. We willen Δx naar 0 toe laten gaan. Hiervoor wordt een zogenaamde limietnotatie gebruikt: Δx 1 0,5 0,25 0,125 Δy/Δx 5 5,5 5,75 5,875

Differentiëren Regel 1 Noteer Lim Δy/Δx als dy/dx Δx→0 Je noemt dy/dx naast de helling in een willekeurig punt van een grafiek ook wel DE EERSTE AFGELEIDE.

Differentiëren Regel 2 De eerste afgeleide van een constante y = a is dy/dx = 0. De eerste afgeleide van een lineair verband y = ax + b is dy/dx = a. De eerste afgeleide van is gelijk aan

Differentiëren Dan geldt: a = 5 en n = 6 Voorbeeld: Het bepalen van de eerste afgeleide heet differentiëren. Neem y = 5x6 Dan geldt: a = 5 en n = 6 De eerste afgeleide is: 5.6.x6-1 = 30x5 De eerste afgeleide van y = 5x6 is dy/dx = 30x5

Differentiëren De eerste afgeleide in het punt x = 1 bij y = -x2 + 8x kan nu worden uitgerekend. De eerste afgeleide van -x2 is dy/dx = -2x1 = -2x De eerste afgeleide van 8x is dy/dx = 8 De eerste afgeleide van -x2 + 8x is dy/dx = -2x + 8 Invullen x = 1 geeft de helling dy/dx = -2.1 + 8 = 6

Differentiëren De helling in een paar andere punten: Bij x = 2 is de helling dy/dx = -2.2 + 8 = 4 en is de grafiek stijgend. Bij x = 4 is de helling dy/dx = -2.4 + 8 = 0. Dit had je al gezien, bij de top staan we immers horizontaal! Bij x = 5 is de helling dy/dx = -2.5 + 8 = -2 en is de grafiek dalend.

Differentiëren Het tekenverloop van de eerste afgeleide ziet er als volgt uit: In deze figuur kun je zien dat de grafiek een top heeft bij x = 4.

Differentiëren Regel 3 als dy/dx > 0 dan is de grafiek stijgend als dy/dx = 0 dan is de grafiek horizontaal als dy/dx < 0 dan is de grafiek dalend

Differentiëren Regel 4 Bij het volgende tekenoverzicht van de eerste afgeleide is sprake van een maximum:

Differentiëren Vervolg regel 4: Bij het volgende tekenoverzicht van de eerste afgeleide is sprake van een minimum:  

Differentiëren Vervolg regel 4: Bij de volgende tekenoverzichten van de eerste afgeleide is sprake van een zadelpunt

Differentiëren Voorbeeld: Gegeven y = x3 – x2. Bij welke punten is de eerste afgeleide 0 en wat is de aard van deze punten? dy/dx = 3x2 – 2x 3x2 – 2x = 0 x(3x – 2) = 0 x = 0 of 3x – 2 = 0 x = 0 of x = 2/3 Tekenoverzicht:

Differentiëren Je ziet in het tekenoverzicht dat bij x = 0 sprake is van een (lokaal) maximum en bij x = 2/3 een (lokaal) minimum. Schets van de grafiek:

Oplossen Case Winstmaximalisatie Om het probleem op te lossen, doorlopen we de volgende stappen: I Bepaal de totale winstfunctie II Bepaal de eerste afgeleide en stel deze gelijk aan 0 III Los de vergelijking op IV Maak een tekenoverzicht van de eerste afgeleide V Bepaal het maximum

Oplossen Case Winstmaximalisatie I Bepaal de van totale winstfunctie TO = p.q De verkoopprijs per stuk is € 400,00, dus TO = 400q. TW = TO – TK en TK = q³ – 45q² + 670q + 2625, dus    TW = TO – TK = 400q – (q³ – 45q² + 670q + 2625) = -q³ + 45q² – 270q –2625,   Waarbij TW in euro per dag en q in euro per stuk.

Oplossen Case Winstmaximalisatie II Bepaal de eerste afgeleide en stel deze gelijk aan 0 De eerste afgeleide van de totale winstfunctie stel je gelijk aan 0: dTW/dq = -3q² + 90q – 270 = 0.

Oplossen Case Winstmaximalisatie Regel 5 De eerste afgeleiden van TO, TK en TW hebben een speciale naam:    dTO/dq = MO heet de Marginale Opbrengst dTK/dq = MK heet de Marginale Kosten dTW/dq = MW heet de Marginale Winst

Oplossen Case Winstmaximalisatie III Los de vergelijking op. Door beide zijden van de gevonden vergelijking te delen door -3 krijg je: q² – 30q + 90 = 0 Oplossen met de abc-formule met: a = 1 b = -30 c = 90  

Oplossen Case Winstmaximalisatie Invullen in de abc-formule: Dit geeft de oplossingen q = 3,4 en q = 26,6.  

Oplossen Case Winstmaximalisatie IV Maak een tekenoverzicht van de eerste afgeleide Het tekenoverzicht van de eerste afgeleide is:

Oplossen Case Winstmaximalisatie V Bepaal het maximum TW bereikt zijn maximale winst bij q = 26,6. Invullen in TW = -q³ + 45q² – 270q – 2625 geeft:   TW(26,6) = -26,6³ + 45.26,6² – 270.26,6 – 2625 = 3212,1. Bij een productie en verkoop van 26,6 videocamera’s per dag is de maximale totale winst gelijk aan € 3212,10 per dag.

Oplossen Case Winstmaximalisatie De tekening van TW: