vwo D Samenvatting Hoofdstuk 12

Reeksontwikkelingen De formule van Maclaurin In bovenstaande reeksontwikkeling is Rn de restterm. 12.1

De formule eiφ = cos(φ) + i sin(φ) Je kunt een complex getal op twee manieren noteren. (zie H.8) De notatie met behulp van het reële deel en het imaginaire deel. z = a + bi waarbij a = Re(z) en b = Im(z). De notatie met behulp van poolcoördinaten. z = r(cos φ + i sin φ) waarbij r = |z| en φ = arg(z). In H.8 steeds in graden, in dit hoofdstuk in radialen. De 3e manier is z = r eiφ is een complex getal met r = |z| en φ = arg(z). De formule van Euler: eiφ = cos(φ) + i sin(φ). 12.1

De functies f(z) = ez en g(z) = ln(z) De functie f(z) = ex beeldt de reële as af op de positieve reële as beeldt de imaginaire as af op de eenheidscirkel is periodiek met periode 2πi. Bij het berekenen van functiewaarden bij de complexe logaritmische functie f(z) = ln(z) gebruik je de rekenregels voor logaritmen en de formule van Euler. De functies f(z) = cos(z) en g(z) = sin(z) cos(z) = en sin(z) = 12.2

Het beeld van Re(z) = 1 is de cirkel met middelpunt 0 en straal e1, opgave 23 Het beeld van Re(z) = 1 is de cirkel met middelpunt 0 en straal e1, ofwel de cirkel met de vergelijking | z | = e. Het beeld van Im(z) = π is de halve lijn met beginpunt 0 die een hoek van π radialen maakt met de positieve reële as, ofwel de halve lijn met vergelijking Arg(z) = π. 12.2

De vergelijking z3 + pz = q De factorstelling Als x = k een oplossing is van de vergelijking x3 + ax2 + bx + c = 0, dan is x3 + ax2 + bx + c = (x – k)(x2 + …). De vergelijking z3 + pz = q Werkschema: het algebraïsch oplossen van de vergelijking z3 + pz = q Stel z = u + v en p = -3uv en herleid hiermee de vergelijking tot u3 + v3 = q. Gebruik p = -3uv om de vergelijking te herleiden tot u6 – qu3 – r = 0. 3 Bereken u3 en v3 en bereken hiermee z. 12.3

De vergelijking z3 + az2 + bz + c = 0 De formule van Cardano Een reële oplossing van de vergelijking z3 + pz = q is Werkschema: het algebraïsch oplossen van de vergelijking z3 + az2 + bz + c = 0 Gebruik de substitutie z = y - a om de vergelijking te herleiden tot de vorm y3 + py = q. Stel y = u + v en p = -3uv. Dit geeft u3 + v3 = q. Gebruik p = -3uv om de vergelijking te herleiden tot u6 – qu3 – r = 0. Bereken u3 en v3 en bereken hiermee y. Gebruik z = y - a om een reële oplossing z te berekenen. Gebruik de factorstelling om de andere oplossingen te berekenen. 12.3

opgave 40 opgave 41 12.3

De formule un = a · un - 1 + b · un - 2 Een recursieve formule van de vorm un = a · un – 1 + b · un – 2 met b ≠ 0 is een lineaire differentievergelijking van de tweede orde. De differentievergelijking is lineair omdat er alleen termen in voorkomen met un – 1 en un – 2 en niet bijvoorbeeld met (un – 1)2. De differentievergelijking is van de tweede orde omdat de term un is uitgedrukt in de twee voorafgaande termen. GR 12.4

De karakteristieke vergelijking Werkschema: het opstellen van een directe formule bij de rij un = a · un – 1 + b · un – 2 met startwaarden u0 en u1 Substitueren van un = gn geeft de karakteristieke vergelijking g2 – ag – b = 0 met D = a2 + 4b. 2a. Is D > 0 dan krijg je twee reële oplossingen g1 en g2 en is de directe formule van de vorm un = A · (g1)n + B · (g2)n. 2b. Is D = 0 dan krijg je één reële oplossing g en is de directe formule van de vorm un = (A + Bn) · gn. 2c. Is D < 0 dan krijg je twee complexe oplossingen g1 en g2 en is de directe formule van de vorm un = (A cos(φn) + B sin(φn)) · gn. Daarbij is φ een argument van g1 (of van g2) en g de modulus van g1. 3. Je berekent A en B met behulp van de startwaarden u0 en u1. 12.4