ribwis1 Toegepaste wiskunde – Exponentiele functies Lesweek 5 IBB ribwis1 Toegepaste wiskunde – Exponentiele functies Lesweek 5 Opleiding: Bouwkunde / Civiele techniek Propedeuse, kernprogramma 2e kwartaal

Exponentiele functies Een bioloog heeft gedurende een aantal jaren onderzoek gedaan naar het aantal konijnen in een duinrijk gebied. In het onderstaande tabel worden zijn waarnemingen weergegeven. Jaar 1960 1964 1968 1972 1976 1980 Aantal konijnen op 1 sept. 15000 30000 60000 120000 240000 480000 Y = 15000 * 2x

Exponentiele functies De beginwaarde van de exponentiele functie is gelijk aan 15000, voor x = 0. De functiewaarde bij x = 0 is gelijk aan 15000 De functie is voor elke waarde van x positief De functie vertoont een stijgend verloop. Bij toenemende x wordt de mate van stijgen steeds groter. Per eenheid van x neemt de y-waarde steeds een factor 2 toe. In de functie zien we dat de verandering exponentieel toeneemt, de verandering verdubbeld zich steeds Grafiek (aantallen * 1000) y = 15000 * 2x

Exponentiele functies Dezelfde bioloog heeft gedurende een aantal jaren onderzoek gedaan naar het aantal konijnen in tweede duinrijk gebied. In het onderstaande tabel worden zijn waarnemingen weergegeven. Jaar 1960 1964 1968 1972 1976 1980 Aantal konijnen op 1 sept. 480000 240000 120000 60000 30000 15000

Exponentiele functies De beginwaarde van deze exponentiele functie is gelijk aan 480000, voor x = 0. De functie is voor elke waarde weer positief. De functie vertoond een dalend verloop. Bij toenemende x wordt de mate van dalen steeds kleiner: Per eenheid x neemt de y-waarde steeds met een factor ½ af. K = 480000 * ½ x Grafiek (aantallen * 1000)

Exponentiele functies De functie y = b * gx wordt een exponentiele functie genoemd. Hierin wordt g het grondtal genoemd. Het grondtal is de groeifactor per eenheid van x; b wordt de beginwaarde bij x = 0 genoemd. Als het grondtal g > 1, dan is de grafiek van de functie stijgend. Als 0 < g < 1, dan is de functie dalend.

Exponentiele functies Beschouw de functies y= 2x en y = ½ x, in onderstaande grafiek.

Exponentiele functies Het domein van beide functies is R. Beide grafieken snijden de x-as nergens: y = 2x nadert tot nul als we x een steeds hogere negatieve waarde toekennen en y = 1/2x nadert tot nul als we x een steeds hogere positieve waarde toekennen. y = 2x is op het gehele domein een stijgende functie, y = 1/2x is een op het gehele domein een dalende functie. De grafieken van y = 2x en y = 1/2x zijn elkaars spiegelbeeld t.o.v. de y-as De x-as is de horizontale asymptoot voor de functie met de vergelijking y = b * gx

Exponentiele functies Opstellen functievoorschrift. In de bovenstaande grafieken met konijnen berekenen we de opeenvolgende quotienten. Indien de quotienten weinig of niets van elkaar verschillen mogen we uitgaan van exponentiele groei. Voor de groeifactor neem je dan het gemiddelde van de verschillende quotienten. Het punt b is het startpunt vanaf waar we de vergelijking voor de functie opstellen.

Exponentiele functies Voorbeeld. Een geldbedrag van 1000 euro staat gedurende langere tijd op een spaarrekening tegen een vaste rente van 5% per jaar. De rente wordt jaarlijks bijgeschreven op dezelfde spaarrekening.

Exponentiele functies Met de volgende formule kunnen we de grootte van het gespaarde geld na x jaar vaststellen. y = 1000 * 1,05x Hoelang moeten we nu sparen voor het beginkapitaal van 1000 euro zich heeft verdubbeld ? We moeten dus de waarde x berekenen als het kapitaal 2000 euro is geworden, dus gaat het om de vergelijking: 1000 * 1,05x = 2000

Exponentiele functies Hieruit volgt: 1,05x = 2 Deze vergelijking kan logaritmisch worden opgelost. gx = a → gloga = x 1.05Log2 = x 10Log2 / 10Log1,05 = 14,21 Na circa 15 jaar heeft een geldbedrag van 1000 euro zich bij een vaste rente van 5% verdubbeld.

Exponentiele functies

Exponentiele functies Transformaties De grafiek van de standaard exponentiele functie, y = b * gx, kunnen we verschuiven in horizontale en verticale richting. Ook kunnen we de grafiek verticaal vermenigvuldigen t.o.v de x-as. Als de grafiek y=gx bij een positieve p horizontaal p eenheden naar links wordt geschoven, dan heeft de grafiek het functievoorschrift y = gx+p. Als de grafiek van y=gx bij positieve p horizontaal p eenheden naar rechts wordt verschoven, dan heeft de grafiek het functievoorschrift y = gx-p Als de grafiek y=gx met een positieve factor t.o.v. de x-as wordt vermenigvuldigd, dan heeft de grafiek het functievoorschrift y = p * gx Als de grafiek y=gx bij positieve p verticaal p eenheden naar boven wordt geschoven, dan heeft de grafiek het functievoorschrift y = p + gx Als de grafiek van y=gx bij positieve p verticaal p eenheden naar beneden wordt verschoven, dan heeft de grafiek het functievoorschrift y = -p + gx

y = 5 * 2x y = 2x+5 y = 2x-5 y = 5 + 2x y=2x y = -5 + 2x

Exponentiele functies

Exponentiele functies Gevraagd: Teken de grafiek y = 1+ 1,5 * 2x+2 De standaardfunctie is: y = 2x Deze wordt met een factor 1,5 t.o.v x-as vermenigvuldigd, zodat: y = 1,5 * 2x Vervolgens wordt de grafiek 2 eenheden naar links verschoven, zodat: y = 1,5 * 2x+2 Daarna schuiven we de grafiek één eenheid omhoog, zodat: y = 1 + 1,5 * 2x+2 Stappen: grondtal met een factor vermenigvuldigen het grondtal met een extra exponent tot macht verheffen de gehele factor met een getal vermeerderen of verminderen.

Exponentiele functies

Exponentiele functies Voor een grafiek met de functie: y = p * g ax+b + q herschrijven we deze tot: y = p * (ga)x + b/a + q

Exponentiele functies Het berekenen van het snijpunt van twee exponentiele functie komt neer op het oplossen van een exponentiele vergelijking. Exponentiele vergelijkingen worden opgelost met de eigenschap: gp = gq → p = q We moeten er dus voor zorgen dat het linker- en het rechterlid wordt geschreven als één macht, beide met hetzelfde grondtal. Indien een exponentiele vergelijking geen gelijke grondtallen heeft gebruiken we logaritmen om een oplossing te vinden.

Exponentiele functies Voorbeelden: 5x = 25√5 → 5x = 52 * 5 ½ → x = 2 ½ 3 * ( ½ )x + 4 = 28 → ( ½ )x = 8 → 2-1* x = 23 → x = 3 / -1 → x = -3 3x = 4 → Log3x = Log4 → x * Log3 = Log4 → x = Log4 / Log3 → x = 1,26 3x + 2 + 3x = 810 → 3x * 32 + 3x = 810 → 9 * 3x + 3x = 810 → 10 * 3x = 810 → 3x = 81 → 3x = 34 → x = 4

Exponentiele functies Exponentiele ongelijkheden Grafische oplossing Teken de grafieken van de functies uit het linker – en het rechterlid van de ongelijkheid. Bereken de snijpunten van de beide grafieken. Lees de oplossing af uit de tekening Algebraïsche oplossing Schrijf linker- en rechterlid als één macht, beide met hetzelfde grondtal. Gebruik de volgende eigenschappen: a. als g > 1 geldt: ga > gb ↔ a > b b. als 0 < g < 1 geldt: ga > gb ↔ a < b

Exponentiele functies Voorbeeld: ½ x-1 ≤ ½ 3x -5 Oplossing ½ x-1 ≤ ½ 3x -5 ↔ x – 1 ≥ 3x – 5 ↔ (0 < g < 1, teken klapt om) -2x ≥ -4 ↔ x ≤ 2 (merk op dat het teken twee keer is omgeklapt)

Exponentiele functies

EINDE Docent: M.J.Roos WWW.HRO.MROOS.COM