Bemonstering & digitale signaalanalyse Bemonsteren van analoge signalen Wiskundige beschrijving Theorema van Shannon & Nyquist frequentie Aliasing Analyse van bemonsterde discrete signalen Discrete (& fast) Fourier transform Window functie bij FFT Ruissynthese

Bemonsteren bekeken in Fourier domein In tijd-domein vermenigvuldiging met:  (t-nTsample) In frequentie-domein convolutie met:  ( -nsample) Dus periodiek !!

Simpele demonstratie van Aliasing fdetected = fsignal - N fsample

Theorema van Shannon & Aliasing Geen informatie verlies wanneer bemonsterfrequentie (fsample) groter is dan twee keer de maximale signaalfrequentie (fmax) Wanneer bemonsterfrequentie te laag is treedt er aliasing op: fdet  [-fsample/2, fsample/2] fdet = f - N . fsample (à la Brillouin zone) vb fx => fx - fsample => fsample - fx Nyquist frequentie = fsample/2

Praktische omzetting analoog => digitaal Extra low-pass filter (waarom?) Extra sample-hold circuit (waarom?) Verschillende types ADC (Analog-Digital Converter) Tracking ADC Successive approximation ADC Flash ADC Integrating ADC

Waarom extra laagdoorlaat filter ? Antwoord: om effecten van aliasing te beperken voor: stoorsignalen & ruis

Waarom extra sample-hold circuit ? Antwoord: om ADC voldoende tijd te geven vooromzetting Zonder sample-hold moet ADC onrealistisch snel zijn: driehoek ramp 0 - Vref - 0 in tijdsduur t resolutie VLSB = Vref / 2n voor n bits ADC verandering over VLSB binnen t / 2n+1 vb n = 12, t = 20 s => f < 6 Hz Met sample-hold circuit: eindige schakeltijd (acquisition time) + weglek (droop)

Uitvoering sample-hold circuit Bij praktische uitvoering: bufferversterker + externe R en C Fig. 15.10 & 15.11

Digitale signaalanalyse Digitaal filteren middelen volgens blok filter of exponentieel filter, zoals yi =  xi integreren volgens yi = xi + yi-1 differentiëren volgens yi = xi - xi-1 of gladder Digitale Lock-in versterker (experiment SVR4) Spectrale analyse (experiment SVR4) Discrete Fourier transformatie (Fast Fourier Transform = FFT)

Discrete Fourier transformatie Time-domain signal sampled at discrete times t = nT for n=0 ... N-1 Two consequences: 1. Sampling with sampling period T gives potential aliasing  frequency components only known up to multiples of 1/T we can’t distinguish between x() and x(+2/T) 2. Truncation of signal over range NT gives truncation errors  nearby frequencies “can’t be resolved” if (f1-f2) < 1/(NT) 1&2  Only N relevant data points in frequency interval   [0, 2/T]  divide interval [0, 2/T] in N equal segments

Discrete Fourier transformatie (2) Time-domain signal sampled at discrete times t = nT for n=0 ... N-1 Frequency domain [0, 2/T] divided in N equal segments  time domain x(t) and xn becomes periodic !! Parceval:

Hoe werkt de FFT = Fast Fourier Transform ? Trying to find regularities in N equations containing N terms each etc... Speedup FFT from N2 operations to N.ln(N) already 100x faster for N=1024

Invloed van afkap (truncation window) Multiplication in time domain = Convolution in frequency domain  Spectral leakage Example: “square” or “block” truncation window

Voorbeelden van enkele afkapvensters Geen afkap = (impliciet) vierkant venster Hanning filter snelle afval voor grote (verschil)frequenties  1/3 Hamming filter beter contrast voor kleinere frequentie verschillen  Flat top filter, Blackman, ....

Spectral leakage (1000 Hz in 1 s window) Square window: Hanning window:

Other windows (1000 Hz in 1 s window) Hamming window: Flat-top window:

Discretisatie & Afkapvensters De exacte relatie tussen frequentie f0 en windowlengte NT is belangrijk, omdat 1. signaal (impliciet) periodiek wordt voortgezet  enkel geen extra frequenties als f0.NT integer is; anders wel t.g.v. stap bij aansluiting 2. dit bepalend is voor de ligging van discrete frequenties fm = m/(NT) rond de centrumfrequentie f0;  “flat-top” filter kan handig zijn voor bepaling pieksterkte

Synthese van ruis Ruissynthese uit som van sinusvormen Veel vrijheid (zie SVR4) v.b. alle ai = 1 v.b. ai ei complex Gauss v.b. beperk N(t) “uniform”

Samenvatting laatste college SVR Bemonsteren via xn = x(nT) kan leiden tot aliasing (frequentie onzeker op veelvoud 1/T) Shannon theorema: OK voor frequenties < 1/(2T) {Nyquist} Digitale dataverwerking na bemonsteren Discrete Fourier transformatie Analyse doet alsof signaal periodiek wordt herhaald !! Vorm van afkapvenster (truncation window) kan belangrijk zijn CENTRALE BOODSCHAP COLLEGE: De ruis is net zo belangrijk als het signaal enkel de signaal-ruis verhouding S/N telt