Van aantrekken en afstoten tot chaos: limietgedrag bij discrete, dynamische systemen Johan Deprez 12de T3-symposium, Oostende, augustus 2009 tekst: zie T3-cahier 19 (www.t3vlaanderen.be) slides: www.t3vlaanderen.be en www.ua.ac.be/johan.deprez

Overzicht Voorbereiding: lineaire recursievergelijkingen Tabel Webgrafiek Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt Limietgedrag bij lineaire recursievergelijkingen Limietgedrag bij niet-lineaire recursievergelijkingen: voorbeeld workshop gaat over de laatste paragraaf uit het cahier daarom niet onmiddellijk zelf aan het werk, maar is voorbereiding nodig

Voorbereiding: lineaire recursievergelijkingen

Lineaire recursievergelijkingen ? rij zn zo dat zn=azn-1+b (a en b getallen, a niet 0) voorbeeld: zn=2zn-1+5 rij is slechts éénduidig vastgelegd als een beginwaarde z0 gegeven is voorbeeld (bis): z0=10, zn=2zn-1+5 10, 25, 55, 115, 235, ... voluit: lineaire recursievergelijking van de eerste orde met constante coëfficiënten en constant rechterlid (met beginvoorwaarde) voorbeelden ...

Lineaire recursievergelijkingen ? rij zn zo dat zn=azn-1+b (a en b getallen, a niet 0) ... voorbeelden aantal deelnemers aan het T3-symposium: An=0.8An-1+20, A1=60 (An = aantal deelnemers op n-de symposium, 80% komt het jaar nadien terug, elk jaar 20 nieuwe deelnemers) medicijnspiegel: Hn=0.75Hn-1+1500, H0=1500 (Hn = hoeveelheid medicijn in bloed na n dagen, elke dag inname van 1500 mg, per dag verdwijnt 25%) sparen via annuïteit: Bn=1.04Bn-1+1000, B0=0 (Bn = bedrag op rekening na n jaar, elk jaar 1000 EUR storten, elk jaar 4% intrest) b=0: zn=azn-1, meetkundige rijen met reden a a=1: zn=zn-1+b, rekenkundige rijen met verschil b

Lineaire recursievergelijkingen ? rij zn zo dat zn=azn-1+b (a en b getallen, a niet 0) ... van een rij die beschreven wordt door een dergelijke recursievergelijking (van dit type!) met beginvoorwaarde kan de expliciete vergelijking gemakkelijk bepaald worden (zie cahier)

Tabel voorbeeld: Voorlopig geen zorgen maken over de bediening van de rekenmachine!

Grafische voorstellingen: TIME- en WEB-grafiek voorbeeld: z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ... TIME-grafiek = ‘gewone grafiek’ n op de horizontale as, zn op de verticale as grafiek bestaat uit punten, die hier verbonden zijn door lijnstukjes verloop: gedempt schommelend met limiet 20 Voorlopig geen zorgen maken over de bediening van de rekenmachine! WEB-grafiek = type grafiek specifiek voor (sommige) rijen die bepaald worden door een recursievergelijking

Grafische voorstellingen: WEB-grafiek voorbeeld: z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ... gebaseerd op de recursievergelijking 1ste bissectrice (komt in elk webdiagram terug)

Grafische voorstellingen: WEB-grafiek voorbeeld: z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ... x-coördinaat van de cursor is z0 y-coördinaat van de cursor is z1 1ste bissectrice

Grafische voorstellingen: WEB-grafiek voorbeeld: z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ... x- en y-coördinaat van de cursor zijn z1 1ste bissectrice

Grafische voorstellingen: WEB-grafiek voorbeeld: z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ... x-coördinaat van de cursor is z1 y-coördinaat van de cursor is z2 1ste bissectrice

Grafische voorstellingen: WEB-grafiek Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt voorbeeld: z0=25, z1=16, z2=23.2, z3=17.44, ... naar binnen gaande spiraal rond snijpunt (20,20) van de twee rechten y=0.8x+36 en y=x opeenvolgende waarden van z: zie x-waarden van opeenvolgende verticale lijntjes OF - zie y-waarden van opeenvolgende horizontale lijntjes (op beginterm na) op deze slide moet de aandacht aanvankelijk gericht zijn op het afronden i.v.m. WEB-grafiek en moet de aandacht gaandeweg verschuiven naar limiet enz. verloop: gedempt schommelend met limiet 20

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt voorbeeld: andere beginwaarde, zelfde verloop!

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt voorbeeld: rij is constant systeem is in evenwicht 20 is evenwichtswaarde het evenwicht is stabiel: als het systeem uit evenwicht gebracht wordt, keert het terug naar het evenwicht op de vorige slides was 20 de limietwaarde

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt voorbeeld: ‘trap’ met groeiende treden die weggaat van snijpunt (10,10) van de twee rechten y=1.2x-2 en y=x verloop: versneld stijgend met limiet plus oneindig beginwaarde 5 i.p.v. 15: versneld dalend met limiet min oneindig

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt voorbeeld: rij is constant 10 is evenwichtswaarde het evenwicht is labiel: als het systeem uit evenwicht gebracht wordt, keert het niet terug naar het evenwicht

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt overzicht (versie 1) een getal E is een evenwichtswaarde van een recursievergelijking asa de rij met z0=E constant is stabiel versus labiel evenwicht evenwicht wordt bepaald door het snijpunt van de twee rechten uit het WEB-diagram ALS er een eindige limietwaarde is, is deze gelijk aan de evenwichtswaarde

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt recursievergelijking de recursievergelijking bepaalt één rechte uit WEB functie f: y=-0.8x+36 snijpunt van de twee rechten uit het WEB-diagram bepalen: we zoeken een vast punt (dekpunt) van f, 20 is een vast punt (dekpunt) van f

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt recursievergelijking baan van 25: 16 17.44 20 23.2 25 20 is een aantrekkend vast punt

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt recursievergelijking baan van 15: 10 15 16 17.2 18.64 10 is een afstotend vast punt

Limiet, evenwicht, snijpunt en vast punt overzicht (versie 2) getal E is een evenwichtswaarde van een recursievergelijking asa de rij met z0=E constant is stabiel versus labiel evenwicht evenwicht wordt bepaald door het snijpunt van de twee rechten uit het WEB-diagram ALS er een eindige limietwaarde is, is deze gelijk aan de evenwichtswaarde een recursievergelijking bepaalt een functie f de ene rechte uit het WEB-diagram is de grafiek van deze functie evenwichtswaarde is een vast punt van de functie f stabiel evenwicht geeft een aantrekkend vast punt labiel evenwicht geeft een afstotend vast punt

Lineaire recursievergelijkingen: limietgedrag zn = azn-1 + b (a en b getallen, a niet 0) a<0 a>0 eventueel wijzen op ontbreken van evenwichtswaarde als a=1, rekenkundige rijen eventueel wijzen op het geval b=0 (meetkundige rijen): evenwicht is 0 |a|<1 |a|=1 |a|>1 stabiel evenwicht aantrekkend vast punt limietwaarde labiel evenwicht afstotend vast punt geen limietwaarde

Lineaire recursievergelijkingen: limietgedrag zn = azn-1 + b (a en b getallen, a niet 0) verloop van de rij wordt bepaald door de helling van de tweede rechte uit de webgrafiek: positief/negatief absolute waarde groter/kleiner dan 1

Leerplan geen verplichte leerstof! past wel binnen het onderwerp discrete wiskunde (verplicht in aso 6u vrij onderwijs) keuzeonderwerp iteratie uit aso 6u, aso 4u, tso 6u, ... vrije ruimte

Limietgedrag bij niet-lineaire recursievergelijkingen: voorbeeld

De recursievergelijking expliciet voorschrift is niet gekend! niet lineair omwille van het kwadraat! (b een positief getal) oorsprong: discrete versie van logistische groei (cfr. cahier), maar we zullen de recursievergelijking buiten dat domein ook gebruiken betekenis van b nog opzoeken

Voorbeeld: b=0.75 limietwaarde 1, in de omgeving van 1: ‘trap’ met kleiner en kleiner wordende treden eerste bissectrice en parabool y=1.75x-0.75x2 limietgedrag wordt bepaald door de helling van de raaklijn aan de parabool in 1

Voorbeeld: b=0.75 vaste punten? 0 en 1 snijpunten van parabool en rechte? 0 en 1 (0,0) en (1,1) helling raaklijn is 1.75: 0 is afstotend vast punt helling raaklijn is 0.25: 1 is aantrekkend vast punt

Opdracht 1: b=1.75 Onderzoek het limietgedrag van de rij a.d.h.v. een tabel TIME-grafiek WEB-grafiek en geef een verklaring voor het limietgedrag m.b.v. de vaste punten. Hulp bij de rekenmachinetechnische aspecten: zie blad Het maken van een tabel, TIME- en WEB-grafiek gebeurt in SEQ-modus. Onderzoek naar de vaste punten gebeurt in de FUNC-modus (of met het blote hoofd).

Opdracht 1: b=1.75 voor n groot: gedempt schommelend met limiet 1

Opdracht 1: b=1.75 voor n groot: gedempt schommelend met limiet 1 in 0: helling raaklijn is 2.75, afstotend vast punt in 1: helling raaklijn is -0.75, aantrekkend vast punt met schommelende convergentie

Opdracht 2: b=2.25 Onderzoek het limietgedrag van de rij a.d.h.v. een tabel TIME-grafiek WEB-grafiek en geef een verklaring voor het limietgedrag m.b.v. de vaste punten.

Opdracht 2: b=2.25 1 is geen limietwaarde meer ook 1 is nu een afstotend vast punt

Opdracht 2: b=2.25 een nieuw fenomeen: 2 limietwaarden! aantrekkende 2-cykel ophopingspunten! f(c1)=c2 en f(c2)=c1 f(f(c1))=c1 en f(f(c2))=c2 c1 en c2 zijn vaste punten van f2 met f2(x)=f(f(x))

f2 heeft 4 vaste punten: 0 (!), c2, 1(!) en c1 Opdracht 2: b=2.25 f2 heeft 4 vaste punten: 0 (!), c2, 1(!) en c1

Opdracht 2: b=2.25 f2 heeft 4 vaste punten: 0 (!), c2, 1(!) en c1 kleine opmerking maken over het gelijk zijn van de twee afgeleiden c1 en c2 zijn aantrekkende vaste punten van f2 0 en 1 zijn afstotende vaste punten

Opdracht 3: b=2.5 Onderzoek het limietgedrag van de rij a.d.h.v. een tabel TIME-grafiek WEB-grafiek en geef een verklaring voor het limietgedrag m.b.v. vaste punten.

(veelterm van de 16-de graad!) Opdracht 3: b=2.5 aantrekkende 4-cykel! bepaald door de aantrekkende vaste punten van f4, met f4(x)=f(f(f(f(x)))) (veelterm van de 16-de graad!)

Opdracht 3: b=2.5 0 en 1: afstotende vaste punten van f en f2 en f4 en ... c1=0.6 en c2=1.2: afstotende vaste punten van f2 en f4 en ... d1=0.53..., d2=1.15..., d3=0.70... en d4=1.22...: aantrekkende vaste punten van f4 en ...

ophopingspunten (= ‘limietwaarden’ van de rij) En verder? twee ophopingspunten ophopingspunten (= ‘limietwaarden’ van de rij) b > 2.692... : chaos vier ... limiet 1 b = 1.75 b = 2.25 b = 2.5 b (tussen 1.625 en 2.85)

En verder? TI84-programma: voor ‘elke’ waarde van b worden de punten (b,zn) met 50<n100 uitgezet (cfr. cahier) b = 1.75 b = 2.25 b = 2.5 b (tussen 1.625 en 2.85)

Niet in het cahier! paragraaf 10 a lijkt niet toevallig heel erg op paragraaf 10 b! recursievergelijking uit paragraaf 10 a gaat over in die uit paragraaf 10 b via de volgende substituties: tn=(a-1)/a  zn b=a-1

Bedankt voor uw aandacht! slides (binnenkort) op www.ua.ac.be/johan.deprez en www.t3vlaanderen.be