Sterkteleer … ik lust er pap van ! 2 kN A C E Fs B DH DV Fs·cos 71,6° Fs·sin 71,6° 740 400 280 Sterkteleer … ik lust er pap van ! les 5 Spanning en vervormingen bij buigbalken (2) les 5

Inwendige buigende koppels Hoe groot is het buigend koppel Mb ter plaatse van x? P L les 5

Inwendige buigende koppels Haal het gedeelte links van de doorsnede weg. P L- Hoe brengen we het overblijvende deel weer in evenwicht? les 5

Inwendige buigende koppels Haal het gedeelte links van de doorsnede weg. P L- P les 5

Inwendige buigende koppels 100 Mb (Nmm) 1000 500 les 5

Inwendige buigende koppels 90 10 Mb (Nmm) 1000 500 les 5

Inwendige buigende koppels 80 20 Mb (Nmm) 1000 500 les 5

Inwendige buigende koppels 70 30 Mb (Nmm) 1000 500 les 5

Inwendige buigende koppels 60 40 Mb (Nmm) 1000 500 les 5

Inwendige buigende koppels 50 50 Mb (Nmm) 1000 500 les 5

Inwendige buigende koppels 40 60 Mb (Nmm) 1000 500 les 5

Inwendige buigende koppels 30 70 Mb (Nmm) 1000 500 les 5

Inwendige buigende koppels 20 80 Mb (Nmm) 1000 500 les 5

Inwendige buigende koppels 10 90 Mb (Nmm) 1000 500 les 5

Inwendige buigende koppels 100 Mb (Nmm) 1000 500 les 5

Ingeklemde balk met dwarskracht op uiteinde F L Conclusie: Aan het uiteinde van een ingeklemde balk is het inwendige buigende koppel altijd nul; Bij de inklemming is het inwendige buigende koppel maximaal en gelijk aan de kracht maal de lengte van de balk; Tussen beide punten verloopt het koppel lineair; De grafiek van het verloop van een koppel langs een balk noemt men een “buigend moment-lijn”. Een betere benaming zou zijn: “buigend koppel-lijn”; F·L F L 14 Nm 0,2 m 70 N getallenvoorbeeld les 5

Oefening 1 5 N L=0,3 m les 5

Oefening 2 Teken de buigend-momentlijn voor deze paal, rechtgehouden door een schoor (de schuine staaf). Het scharnier zit op de helft van de hoogte. 28 N 1,6 m 30° les 5

Inwendige buigende koppels 500 Nmm 10 N 50 50 Mb (Nmm) 1000 500 Bedenk dat een koppel eigenlijk een samenstel van twee krachten is: even groot, evenwijdig, en tegengesteld gericht. les 5

Inwendige buigende koppels 10 mm 10 N 50 N 50 N 10 N 50 50 Mb (Nmm) 1000 500 Bedenk dat een koppel eigenlijk een samenstel van twee krachten is: even groot, evenwijdig, en tegengesteld gericht. les 5

Inwendige buigende koppels les 5

Inwendige buigende koppels De situatie van de vorige slide zou van toepassing zijn op een balk die vrijwel helemaal is doorgezaagd, op twee “uiterste vezels” na. les 5

Inwendige buigende koppels In werkelijkheid wordt het inwendige buigende koppel niet alleen in de “uiterste vezels” overgebracht, maar ook ertussenin. neutrale lijn 10 N Het koppel wordt a.h.w. “uitgesmeerd” tot een lineair verlopende normaalspanning. les 5

Inwendige buigende koppels De maximale trek- en drukspanningen hangen af van het buigende moment ter plaatse. Is het buigende moment kleiner (dus meer naar het uiteinde) dan zijn de maximale trek- en drukspanningen ook kleiner. les 5

Inwendige buigende koppels NB: De buigspanning hangt dus af van: de x-coördinaat, dus de afstand tot de inklemming, d e y-coördinaat, dus de afstand tot de neutrale lijn. les 5

Inwendige buigende koppels Spanningsanalyse van een ingeklemde balk, gemaakt met NX Nastran. Afmetingen balk: 50 x 8 x1 mm. (De symbolen voor de inklemming en de kracht zijn later ingetekend, deze zie je normaal niet) Merk op dat de spanningsverdeling bij het rechter uiteinde inderdaad “vreemd” doet. Er is daar niet voldaan aan het principe van De Saint Venant. Helemaal links klopt het ook niet helemaal. les 5

Inwendige buigende koppels Kleuren vormen een alternatieve manier om de buigspanningen in kaart te brengen. Ze corresponderen met de pijllengtes. les 5

Inwendige buigende koppels Merk op dat de contour van de spanningsverdeling hier sterker “gekanteld” is. les 5

Inwendige buigende koppels Samenvattend: De grootte van het inwendige buigende koppel langs een ingeklemde balk verloopt van nul bij het uiteinde tot maximaal bij de inklemming Formule M=F·(L-x) (waarbij x=0 bij inklemming) De buigspanning over de doorsnede van een ingeklemde balk verloopt van maximaal positief (trekspanning) via nul op de neutrale lijn naar maximaal negatief (drukspanning) Formule volgt nog! les 5

alleen horizontale draaimogelijkheid Oefenopgave maten in m Gegeven: Een tandartslamp van 8 kilogram hangt aan het plafond van een tandartspraktijk. De balken zijn massief met een vierkante doorsnede van 40 x 40 mm. Gevraagd: a. Het verloop van de buigend-momentlijn b. Het verloop van de normaalspanning in balk A-B c. Het verloop van de normaalspanning in balk B-C (NB: bij b en c wordt gevraagd het verloop van de normaalspanning te schetsen, niet te berekenen. De formules zijn immers nog niet bekend) A 2,25 B C alleen horizontale draaimogelijkheid 1,50 les 5

alleen horizontale draaimogelijkheid Oefenopgave maten in m Stap 1 Bepaal de dwarskracht in C. Dit is het gewicht van de lamp, dus F= m·g = 8·9,81 = 78,48 N A 2,25 B C alleen horizontale draaimogelijkheid 78,48 N 1,50 les 5

Oefenopgave maten in m Stap 2 Omdat de horizontale balk in B star verbonden is met de verticale balk (er is geen scharniermogelijkheid in het vlak van het papier), werken er in B in principe een horizontale kracht (blijkt 0 te zijn) een verticale kracht een koppel We vinden: ΣFx=0 HB=0 ΣFy=0 VB=78,48 N ΣM=0 MB=117,72 Nm B C 117,72 Nm 78,48 N 78,48 N 1,50 les 5

Oefenopgave maten in m Stap 3 In B is het buigend koppel 117,72 Nm. In C moet het nul zijn, dit is immers een vrij uiteinde. We kunnen nu de M-lijn gaan intekenen in de figuur. Om de grafiek straks niet door de (nu weggelaten) verticale balk te laten gaan tekenen we hem onder de balk. 78,48 N B C 117,72 Nm 78,48 N 117,72 Nm 1,50 les 5

Oefenopgave maten in m Stap 4 We willen nu weten hoe de buigend koppel lijn in het verticale deel verloopt. We maken daartoe een doorsnede in een punt ergens boven B. A 2,25 B C 78,48 N 1,50 les 5

Oefenopgave Stap 4 (vervolg) maten in m Stap 4 (vervolg) We brengen dit deel weer in evenwicht door een verticale kracht en een buigend koppel toe te voegen. Het benodigde buigend koppel bedraagt: 78,48 · 1500 = 117720 Nmm A 78,48 N 2,25 117720 Nmm B C 78,48 N 1,50 les 5

Oefenopgave Stap 4 (vervolg) maten in m 78,48 N Stap 4 (vervolg) Wanneer we de doorsnede hoger (bijvoorbeeld vlak onder A) maken vinden we hetzelfde resultaat. Het benodigde buigend koppel bedraagt ook daar: 78,48 · 1500 = 117720 Nmm Kennelijk is het inwendige buigende koppel langs de hele balk gelijk aan 117720 Nmm. A 117720 Nmm 2,25 B C 78,48 N 1,50 les 5

Oefenopgave maten in m 117,72 Nm Stap 5 We voegen nu het verwijderde verticale deel van de constructie weer toe, en tekenen de bijbehorende M-lijn in. Het is verder gebruikelijk om met boogjes aan te duiden hoe de buiging zal zijn. A B C 78,48 N 117,72 Nm les 5

Berekenen van drie soorten spanningen Nieuw! les 5

Berekenen van een buigspanning buigend moment F op x mm van de inklemming: bij de inklemming: Nieuw! weerstandsmoment tegen buiging Dit is een oppervlakte-eigenschap die afhangt van de vorm en grootte van de doorsnede. les 5

stap A: Voor de hele, ongedeelde constructie: Stappenplan voor het berekenen van de maximale buigspanning in een balk stap A: Voor de hele, ongedeelde constructie: Teken een VLS en bereken reactiekrachten en/of -koppels stap B: Voer per balk de volgende stappen uit Teken een VLS en bereken reactiekrachten en/of -koppels creëer balkelementen door de balk vlak naast een tussenkracht of tussenkoppel door te snijden stap C: Voer per balkelement de volgende stappen uit: Teken het VLS; Bereken de krachten en koppels die op de uiteinden werken; Teken de M-lijn Lees uit de M-lijn de waarde van af Bereken het traagheidsmoment van de balkdoorsnede Bereken het weerstandsmoment tegen buiging volgens: Bereken de maximale buigspanning volgens: les 5

Bereken de maximale buigspanning in nevenstaande balk; Voorbeeld 1 maten in m 0,20 0,10 340 N A C Gevraagd: Bereken de maximale buigspanning in nevenstaande balk; Teken het verloop van de buigspanning in de hoogst belaste doorsnede. B 1,10 3,00 les 5

stap A: Voor de hele, ongedeelde constructie: Voorbeeld 1 maten in m 0,20 0,10 340 N A C B 1,10 3,00 stap A: Voor de hele, ongedeelde constructie: Teken een VLS en bereken reactiekrachten en/of -koppels 340 N A C HA B VA 1,10 VC 3,00 les 5

stap A: Voor de hele, ongedeelde constructie: Voorbeeld 1 maten in m 0,20 0,10 340 N A C B 1,10 3,00 stap A: Voor de hele, ongedeelde constructie: Teken een VLS en bereken reactiekrachten en/of -koppels 340 N A C HA B 215,33 N 124,67 N 1,10 3,00 les 5

stap B: Voer per balk de volgende stappen uit Voorbeeld 1 maten in m 0,20 0,10 340 N A C B 1,10 3,00 stap B: Voer per balk de volgende stappen uit Teken een VLS en bereken reactiekrachten en/of -koppels creëer balkelementen door de balk vlak naast een tussenkracht of tussenkoppel door te snijden 340 N De “constructie” bestaat uit maar één balk, dus het VLS van de constructie is gelijk aan het VLS van de balk; We gaan de balk pal rechts van punt B doorsnijden. “Pal rechts” wil zeggen niet in punt B maar een oneindig klein stukje rechts van B. A C HA B 215,33 N 124,67 N 1,10 3,00 les 5

stap C: Voer per balkelement de volgende stappen uit: Teken het VLS; Voorbeeld 1 stap C: Voer per balkelement de volgende stappen uit: Teken het VLS; Bereken de krachten en koppels die op de uiteinden werken; 340 N VB A B C HB HB 215,33 N MB MB VB 124,67 N 1,10 1,90 les 5

Alternatief: Snij de balk pal links van punt B door. Voorbeeld 1 Alternatief: Snij de balk pal links van punt B door. 340 N B A B C HB HB 215,33 N MB MB VB VB 124,67 N 1,10 1,90 les 5

Voorbeeld 1 samen te voegen tot: C A 236,87 Nm 236,87 Nm B 124,67 N - 236,87 Nm -236,87 Nm 1,10 1,90 215,33 N 340 N samen te voegen tot: -236,87 Nm 1,10 1,90 Het buigend koppel is ter plekke van de last van 340 N het grootst (in absolute zin): met deze waarde (236,87 Nm = 236867 Nmm) gaan we rekenen om de buigspanning te vinden. les 5

Tekenafspraak voor M-lijnen Voorbeeld 1 Tekenafspraak voor M-lijnen Het inwendig buigend koppel is: negatief wanneer de bolle kant van de balk naar onderen wijst, er staat dat een minteken bij de “y-as” 236,87 Nm 236,87 Nm –236,87 Nm –236,87 Nm les 5

Tekenafspraak voor M-lijnen Voorbeeld 1 Tekenafspraak voor M-lijnen Het inwendig buigend koppel is: negatief wanneer de bolle kant van de balk naar onderen wijst, er staat dat een minteken bij de “y-as” positief wanneer de bolle kant van de balk naar boven wijst 236,87 Nm 236,87 Nm 236,87 Nm 236,87 Nm les 5

stap C: Voer per balkelement de volgende stappen uit: Voorbeeld 1 Tot nu toe gevonden: 340 N 1,10 1,90 stap C: Voer per balkelement de volgende stappen uit: Bereken het traagheidsmoment van de balkdoorsnede Bereken het weerstandsmoment tegen buiging volgens: Bereken de maximale buigspanning volgens: les 5

Dwarsdoorsnede van de balk: Voorbeeld 1 Dwarsdoorsnede van de balk: 0,10 h 0,20 b Het traagheidsmoment ten opzichte van de x-as door het zwaartepunt berekenen we volgens: Eenheid van het traagheidsmoment I: mm4 les 5

Voorbeeld 1 0,10 h 0,20 b 340 N -236,87 Nm 1,10 1,90 les 5

Het weerstandsmoment tegen buiging Wb berekenen we volgens: Intermezzo: Theorie Het weerstandsmoment tegen buiging Wb berekenen we volgens: Hierin is e de afstand van de neutrale lijn tot het uiterste punt van de doorsnede, dat wil zeggen het punt dat het verst verwijderd is van de neutrale lijn. De neutrale lijn is de lijn die gaat door het zwaartepunt van de doorsnede Deze afstand wordt ook wel genoemd de uiterste vezelafstand en wordt gemeten in mm. Bij een doorsnede waarvan het profiel symmetrisch (bijvoorbeeld een rechthoek of een cirkel) is ten opzichte van de neutrale lijn is geldt dat les 5

Voorbeeld 1 0,10 e h 0,20 b les 5

buigspanning op het rechterdeel Voorbeeld 1 buigspanning op het rechterdeel buigspanning op het linkerdeel 340 N -236,87 Nm 1,10 1,90 les 5