Korstste pad van A (in phase 1) naar B (in phase N+1=5) Welke pijlenreeks x i (i=1,2,..4) ? A B aantal mogelijke paden >2 N-1 bv: x 1 =(pijl naar) 2, x 2 =1, x 3 =1 en x 4 =1 kost =49 phase2 N.B. In toestand 2 van phase 2 is geen optimaal vervolg

A B Stel bekend: optimale vervolglengten vanuit 1 en 2 uit phase 2 Dan optimale keuze in A: x* 1 = naar 1 (15+21 < 11+26)

21 te vinden als oplossing van 3-staps subprobleem, te bepalen via: oplossingen van 2-stapsproblemen B Hoe: 21 ? ? ? ? te bepalen via: oplossingen van 1-stapsproblemen

A B nog 4 stappen phase 1 De kleinste vervolgproblemen in laatste beslissingsfase N=4 zijn triviaal nog 3 stappen phase 2... klaar eind N+1 nog 1 stap phase N

DP-methode: met start achteraan A B Eerst alle één-staps problemen in phase N=4 oplossen nog 1 stap phase N=

DP-methode A B Phase n=3: drie problemen, uit S 3 =1,2 en 3 resp. kosten 16, 13 en stapsproblemen phase n= =min {13+7,11+5} 13 18

DP-methode A B Phase 2: twee problemen: vanuit S 2 =1 en S 2 =2 kosten 21 en stappers phase n=

Hoofdprobleem van S 1 =A naar B A B 36 bij x* 1 =1 (want 36= ) 21 bij x* 2 =1 (want 21=5 + 16); etcetera: x* 3 =2, x* 4 = stapper phase n= Het 4-staps probleem vanuit S 1 =1 heeft oplossing 36

Kenmerken DP-aanpak Probleem wordt verdeeld over 'phases' 1,2,..N+1 zó, dat over phases k, k+1,..N+1 (k>1) een kleiner analoog probleem ontstaat Eerst alle kleinere subproblemen oplossen, daarmee grotere subproblemen oplossen totdat hoofdprobleem aangepakt kan worden De 'begintoestand' S 1 in phase 1 verandert onder invloed van beslissingen x 1, x 2,..., x N in eindtoestand S N+1 Beslissing x=x n en toestand S=S n in phase n, bepalen volgens een transformatieregel de volgende toestand S'=S n+1 in phase n+1 Backwards recursion: Eerst x* N vanuit toestanden S N is triviaal

Terminologie iedere toestand S: een knoop iedere beslissing: een pijlkeuze x toelaatbaarheid van beslissing en aantal beslissingen kan afhangen af van toestand (niet evenveel pijlen uit elke knoop) S in phase n heet kortweg: S n en x heet daar x n Het gewichtsgetal bij pijl x uit S in phase n heet: c n (S,x) het staat voor de direkte kosten (danwel opbrengst) verbonden met deze beslissing

Terminologie F n (S) =minimale kosten (bij optimale beslissingen) over phases n, n+1,... N+1 startend uit toestand S in phase n ; A B =F 3 (1) =F 4 (2) 9=c 2 (2,3) c n (S, x)= kosten in phase n, als in S n =S beslissing x n =x genomen wordt

DP1 oplossing als langste pad, schetsmatig (de overige besissingen in phase 2,3 zijn weggelaten) winkel 1 phase 1 toestand : nog 6 kratten te verdelen over winkels 1,2,3 winkel 3 phase 3 toestand: 4 kratten over voor winkels 3 en 4 A B beslissing: verkoop 3 (van de 5) kratten aan winkel 3