STRUCTUUR, INVARIANTIE, EN TAAL Johan van Benthem Institute for Logic, Language and Computation ILLC UvA open college, 8 october 2003 Hoe Wiskunde Werkt

Grootte en bijecties A B  x  A  y  B: f(x) = y  y  B  x  A: f(x) = y  x  A  y  A: x  y  f(x)  f(y) Bewaart grootte, maar niet extra ordening <. Gehele getallen, breuken: even groot, andere <: x f(x) f

Ordeningen en isomorfisme Grafen: punten met pijlen (relatie) 1a1a G H 23bc23bc Bijecties van G op zichzelf: 3x2x1 = 6 Ordebewarende bijectie: isomorfisme: x < y  f(x) < f(y) Slechts 3 van de 6 bijecties isomorfismen. Géén isomorfisme tussen G en H!

Algemene transformaties A B Transformatie f bewaart ook structuur in A en B. Voorbeeld: meetkundige structuur: Driehoeken en bewaren van ‘tussen’ relaties. PprqPprq q r p p x f(x) f y f(y)

Een rijker isomorfisme Isomorfismen tussen rijkere structuren (ook met operaties):soms verrassend 30 {a, b, c} {b, c} {a, c} {a, b} {c] {b} {a} 1  Delers van 30P({a, b, c} ) x deelt y x  y x = GGD(y, z) x = y  z

Transformaties en invarianten Functies/transformaties tussen verzamelingen: van ‘ruwer’ tot ‘fijner’ Bewaren meer of minder structuur Anders gezegd: transformaties leiden tot invariante eigenschappen Bijecties bewaren altijd de cardinaliteit |A|, niet altijd de ordening (isomorfismen wél) Vind structuurverschil bij niet-bijectie: Bijv. breuken dicht, gehele getallen niet:  x  y(x<y  z (x<z  z<y))

Invarianties genereren Taal! Eigenschappen te formuleren in taal bijv. dichtheid als globale orde-eigenschap, of een speciale relatie tussen objecten als y is onmidellijke opvolger van x: x<y   z (x≤z  z<y) Beide bewaard onder orde-isomorfismen Invariantie voor orde-isomorfisme f tussen A en B, en beweringen E in de taal van Week 1: E geldt voor d in A  E geldt voor f(d) in B

Invariantie en taal, vervolgd We zagen dus: de wiskundige taal is invariant voor isomorfismen t.b.v de basispredikaten. ‘Erlanger Programma’ (Felix Klein): kies willekeurige klasse transformaties, en maak enkele basis-invarianten tot kernpredikaten in de wiskundige taal. Helmholtz: meetkunde en perceptie: translaties, rotaties en menselijk bewegen: basispredikaten “tussen”, “even ver”, e.d.. Idee doorgedrongen in natuurkunde, informatica, psychologie, taalkunde,...

Is de taal expressief volledig? We zagen: een goed gekozen taal definieert alleen maar eigenschappen die invariant zijn voor de gegeven transformaties. Expressieve volledigheid: Het omgekeerde: Kan onze taal ook iedere invariante eigenschap van objecten definiëren? Antwoord: In het algemeen niet, soms wel. Als eindige grafen A, B dezelfde eigen- schappen hebben in de taal van Week 1, dan is er orde-isomorfisme tussen A, B. Maar i.h.a. zijn er allerlei invarianten om ons heen die niet in onze taal worden ‘herkend’!

Fijnstructuur: vergelijkingsspel Gelijkenis-speler G tegen Verschil-speler V spelen met twee structuren A, B: Stadium: even lange eindige rijtjes objecten: a uit A, b uit B. Geeft een partiële functie f. Ronde: V kiest een graaf en een object a erin; G kiest een object b in de andere graaf. Nieuw stadium: a, b + nieuwe link a–b V wint als f geen ‘partieel isomorfisme’ is. Spel kan in principe oneindig door gaan. We kiezen meestal een eindig aantal rondes.

Voorbeelden 1a A B 23bc23bc V heeft 2 rondes nodig om spel te winnen. A gehele getallen B breuken G wint het spel over 2 rondes; wie wint met 3? Wie wint tussen breuken en reële getallen?

Winnende strategieën en definieerbare verschillen Week 6: In ieder spel tussen A, B heeft één van de twee spelers G, V een winnende strategie. Kan niet allebei! Winnende strategie voor G is een structurele ‘analogie’, bijv. een isomorfisme. Winnende strategie voor V gekoppeld aan taal: Bijv.  x ¬  y x<y in het eerste geval, en in het tweede spel weer: dichtheid. Verband: duur van spel, vorm van formule...

Spel-invariantie en taal Fundamentele stelling, spelen van lengte k: De volgende twee condities zijn equivalent: G heeftwinnende strategie in het A,B-spel A, B maken dezelfde beweringen waar die hoogstens k geneste kwantoren bevatten. Of G of V heeft een winnende strategie! Verband: win-strategieën voor V, formules van nesting ≤k waar in A en onwaar in B.

Clinton’s principe “It all depends on what you mean by ‘is’”… Éénzelfde wiskundig onderwerp wordt vaak bestudeerd met heel verschillende maten van structuurgelijkheid. Voorbeeld: tellen versus ordenen, meetkunde versus topologie, enz. Evenzo in andere vakgebieden: bijv. taalkunde: verschillende begrippen van zinsstructuur – of informatica, verschillende genres processen...

Wanneer zijn processen gelijk? Grafen als procesdiagrammen: Punten = toestanden, pijlen = overgangen. Zijn de volgende paren processen gelijk? aa a b bc c

Bisimulatie van processen Bisimulatie voor A, B: relatie E die begin- toestanden verbindt, en ook als xEy, dan (a)x, y hebben zelfde locale eigenschappen (b1)als x  a z, dan  u: y  a u & zEu, (b2) als y  a u, dan  z: x  a z & zEu. ‘Zigzag eigenschap’: proces-simulatie Voorbeelden vorige slide: wel en niet?

aa a b bcc NEE!

Speciale eigenschappen Elke graaf opgevat als proces heeft een grootste ‘bisimilair’ proces: boom van alle mogelijke proces-verlopen. Elke graaf heeft ook een kleinste bisimilair proces: de ‘bisimulatie-contractie’ Gebruik in theorie van processen, en praktische simplifikatie van processen.

Een modale taal van processen De niet-bisimilaire paren hebben intuïtief verschillende proces-eigenschappen Uitdrukbaar in een taal! Bisimulatie is ‘grover’ dan isomorfie, dus die taal ‘armer’ dan de wiskundige taal tot nu toe Modale logica geeft de juiste invarianten: <a  ‘  geldt in minstens één a-opvolger’ [a]  ‘  geldt in alle a-opvolgers’ Voorbeelden: zie college-tekst homepage.

Modale bisimulatie in meetkunde Zwakkere talen met ruwere simulaties zijn ook te bedenken voor de meetkunde en andere wiskundige theorieën.

Samenvatting Keuze van transformaties definieert een klasse van wiskundige structuren, en hun theorie Transformaties leiden tot invarianten Invariante predikaten genereren taal Soms talen ‘expressief volledig’, vaak niet. Invers verband: meer transformaties, minder invarianten, zwakkere taal Diverse niveaus: wiskundige taal, modale taal Fijnere structuurvergelijking met spelen!