de wereld van lage Reynoldsgetallen Hoofdstuk 5: Leven in de wereld van lage Reynoldsgetallen (deel 2: pag. 172 en verder)

Voor situaties met een laag Reynoldsgetal is fext ≈fvisc is laag. de externe kracht is dus veel lager dan de kritische kracht, en dus treedt laminaire stroming op. Voor situaties met een hoog Reynoldsgetal is fext ≈finertial is hoog. de externe kracht is nu juist veel hoger dan de kritische kracht; turbulente stroming.

Symmetrie t.a.v. tijdsinversie: t => -t Bij vlakke geometrie: stationair V0 d z x elke vloeistoflaag is een denkbeeldige vlakke ‘plaat’ die met constante snelheid beweegt op de bodem: v=0 netto kracht op elke ‘plaat’ = 0  ‘laminair uitsmeren’

Maar ook: het inverse proces! (‘mengen’) Maar ook: het inverse proces! (‘ontmengen’)  Belangrijk punt: Newtoniaanse massatraagheid: ‘tijds-reversibel’ Viskeuze kracht: ‘tijds-irreversibel’

Vergelijking viskeuze vloeistof - vaste stof t.a.v. glij-krachten: Ander voorbeeld: Vergelijking viskeuze vloeistof - vaste stof t.a.v. glij-krachten: stationair V0 d z x stationair ∆z Uit Wet v Hooke (Serway): Vaste stof: glijmodulus G, ∆z (=‘statische vervorming’) ‘geheugen’ invariant onder -t Vloeistof: viskositeit , v (=‘verandering’) géén geheugen niet invariant onder -t

Biologische toepassingen: • bacterieel zwemmen • bloedstroom • viskeuze krachten rond het DNA molecuul Het probleem voor de zwemmende bacterie: Het effect van een kracht in een viskeuze omgeving wordt tenietgedaan door de inverse tijds-geïnverteerde kracht. Bacterie ‘a’ (peddel) komt niet vooruit (‘ontmenging’)

Snelheid peddels (v t.o.v. lichaam) door het water: hangt af van v en u. In de eerste helft van de cyclus: Afgelegde afstand: In de tweede helft van de cyclus: en Omdat de peddels terug naar hun beginpositie gaan moet Hieruit volgt onontkoombaar dat

Een periodieke beweging die wél tot voortbeweging leidt is de ‘zweepslag’: dit kan met ‘ciliae’ (flexibele draden) of via een ‘schroefbeweging’ met ‘flagellae’ (stijve draden) cilium Beweging vnl loodrecht op haar Beweging vnl parallel met haar Idee: de viskeuze kracht op een lange staaf is evenredig met snelheid van de staaf, en met de oppervlakte loodrecht op de snelheidsvector. Gevolg:

Fig. 2.10

de truc van flaggelae flagellum Voor een snelheidsvector in willekeurige richting is de resulterende viskeuze kracht niet parallel aan v gericht, maar altijd dichter naar f (volgt uit de geometrie). De bacterie maakt hiervan gebruik.

De flagellum wordt aan de basis door een moleculaire motor in rotatie gebracht, wat leidt tot voortbeweging van de E-coli bacterie

Roterende flagellum: werkt als een soort propeller Merk op dat de netto krachtvector df niet parallel aan v ligt. (krachtcomponenten van df in het xy-vlak vallen allemaal tegen elkaar weg). Hierdoor zal de bacterie zich in de +z-richting voortbewegen (reactiekracht t.g.v. viskositeit vloeistof).

Stroming door aderen Meercelligen kunnen niet via diffusie voedsel door hun lichaam transporteren. Dat gaat via een vatenstelsel, bijv. de bloedsomloop. De stroming door de vaten is vnl. laminair. We passen de Wet van Newton en de viskeuze krachten op een dunne cylindrische vloeistofmantel toe op de situatie in evenwicht (constante snelheid)

Buis lengte L, straal R, stroming a. g. v Buis lengte L, straal R, stroming a.g.v. een drukverschil over de buis. Totale kracht op cylindrische vloeistofschil met dikte dr, straal r: Gebruik Taylor:

Sommeren van de krachten (en uitschrijven Taylor tot 2e orde): Substitueer: Stroom door de totale buisdoorsnede per tijdseenheid: Wet van Poiseuille Z = de hydrodynamische weerstand van het systeem is de hydrodynamische vorm van de Wet van Ohm

Met Poileuille’s wet kunnen hele stromingsnetwerken worden doorgerekend. Bijv. drie situaties, gelijk drukverschil: A Q A Q 2A 4Q A Q De bloedsomloop: Z1 Z3 Z2 Z4 Z5 Z7 Z6 Z8 Z9 Z10 Z11 Z12 ∆p

Toepassing op moleculair niveau: DNA replicatie Model: een lange dunne roterende staaf in een viskeuze omgeving Vraag: als het lange DNA molecuul roteert, om zich te splitsen, hoeveel viskeuze tegenkracht ondervindt het dan?

Voor een vlakke beweging hadden we: Voor een roterende beweging wordt dit een moment: De arbeid die nodig is om één volledige rotatie te maken is dan: Voor een rotatiesnelheid van 600 rad/s en een straal van 1 nm volgt dan De energie die door één ATP molecuul kan worden geleverd is ongeveer 20kBT = 8•10-20 J. => Zolang L < 2mm zal één ATP molecuul de helix een volledige rotatie kunnen laten maken (en dus is het viskeuze verlies verwaarloosbaar!).