BOEK Website (zie Pag xxix in boek) www.prenhall.com/giancoli Natuurkunde 1 (trim 1.1a) Mechanica Natuurkunde 2 (trim 1.2) H 21-23 electrostatica H 10-11 rotaties H 14-15 trillingen en golven Natuurkunde 3 (trim 2.1) Magnetisme, optika,… Website (zie Pag xxix in boek) www.prenhall.com/giancoli

College 6: rotaties -Boek hoofdstuk 10 Vandaag leer je hoe je rotaties kunt beschrijven

begrippen Solide objecten/ solid body Rotatie as Rotatie hoek Radiaal

begrippen R versus r

Vogel op 100 m hoogte kan scherp zien tot 3 10-4 rad Vogel op 100 m hoogte kan scherp zien tot 3 10-4 rad. Kan hij de muis zien? l= 3cm

definities Snelheid hoeksnelheid versnelling hoekversnelling

relaties

Omega constant V groter als R groter

Versnelling heeft 2 componenten

Versnelling heeft 2 componenten w = 2p /T T = 1/f w = 2p f

Bewegings vergelijkingen Bij constante versnelling geldt: Bij constante hoekversnelling geldt:

Draaiingsas bij rollen

Wieldiameter = 68 cm V0 = 8.4 m/s Bepaal w0 w0= 8.4/0.34 = 24.7 rad/s v = wR

Wieldiameter = 68 cm V0 = 8.4 m/s Bepaal a (bij constante vertraging over 115 m) t=27.4 s

rechterhandregel

Krachtmoment t

Krachtmoment t

Krachtmoment t

Wat is het totale krachtmoment op dubbele cylinder (R1=30 cm; R2= 50 cm)

Traagheidsmoment I F =ma F=mRa

Traagheidsmoment I Meer dan een massa:

Bereken massamiddelpunt traagheids moment door centrale as

Bereken massamiddelpunt (2.3 m) traagheids moment door centrale as

Bereken traagheids moment door as

Bereken traagheids moment door as

translatie rotatie relatie x q x= qR v w v=wR a a=aR m I I=R2dm F t samenvatting translatie rotatie relatie x q x= qR v w v=wR a a=aR m I I=R2dm F t t=Ia

Horizontale staaf kan vrij scharnieren Horizontale staaf kan vrij scharnieren. Bepaal op moment van loslaten hoekversnelling en lineaire versnelling van eindpunt staaf

Bepaal traagheidsmoment van holle cylinder

Bepaal traagheidsmoment van holle cylinder

I=ICM+Mh2 I=1/2 MR2+MR2 I=3/2MR2 Parallelle as theorema: voor een rotatie-as op afstand h parallel aan een as door het MMP geldt voor het traagheidsmoment van object met massa M: I=ICM+Mh2 I=ICM+Mh2 I=1/2 MR2+MR2 I=3/2MR2

I= mi{(xi-xA)2 +(yi-yA)2} Parallelle as theorema: voor een rotatie-as op afstand h parallel aan een as door het MMP geldt voor het traagheidsmoment van object met massa M: I=ICM+Mh2 Bewijs: I= mi{(xi-xA)2 +(yi-yA)2} =mi{xi2+yi2-2xAxi –2yAyi+xA2+yA2} =mi{xi2+yi2+xA2+yA2} =ICM+Mh2

Loodrechte as theorema: voor een dun of een 2 dimensionaal object geldt dat de som van traagheidsmomenten van twee loodrechte assen in het vlak gelijk is aan de het traagheidsmoment van de loodrecht daarop staande as: Iz=Ix+Iy Bewijs Iz = mi (xi2 +yi2)=Iy+Ix

Loodrechte as theorema: voor een dun of een 2 dimensionaal object geldt dat de som van traagheidsmomenten van twee loodrechte assen in het vlak gelijk is aan de het traagheidsmoment van de loodrecht daarop staande as: Iz=Ix+Iy Voorbeeld bepaal Ix van platte schijf Iz = ½ MR2 Ix=Iy=1/4 MR2

impulsmoment: L = Iw impulsmoment Krachtmoment t=Ia t=dL/dt Impuls p=mv Eenheid: kg m2 /s Eenheid kgm/s Krachtmoment t=Ia Kracht F=ma t=dL/dt F= dp/dt Als er geen netto externe kracht is blijft impuls behouden Als er geen netto extern krachtmoment is blijft het impulsmoment behouden: L = Iw = constant

Voorbeeld: koppelingsplaten Ma = 6 kg, Mb=9kg, R=0.6 m Ma begint met draaien en na 2 s is wa= 7.2 rad/s Bepaal impulsmoment van Ma L=Iw =½mr2w =1/2 6 0.62 7.2= 7.8 kgm2/s

t=dL/dt t=DL/Dt t=7.8/2 = 3.9 Nm Voorbeeld: koppelingsplaten Ma = 6 kg, Mb=9kg, R=0.6 m Ma begint met draaien en na 2 s is wa= 7.2 rad/s  La=7.8 kgm2/s Bepaal krachtmoment nodig om Ma te versnellen t=dL/dt t=DL/Dt t=7.8/2 = 3.9 Nm

Voorbeeld: koppelingsplaten Ma = 6 kg, Mb=9kg, R=0.6 m, wa= 7.2 rad/s  La=7.8 kgm2/s Ma en Mb bewegen wrijvingsloos zonder extern krachtmoment. Wat gebeurt er als we de stilstaande plaat Mb in kontakt brengen met de draaiende plaat Ma. Bepaal wab Lab=constant=La=7.8 kgm2/s Iabwab=Iawa wab= Ia /Iab wa = Ma/(Ma+Mb)wa wab= 6/15 wa=2.9 rad/s

Voorbeeld: supernova explosie en vorming neutronenster Ster met straal van zon R=7 105 km, massa = 2Mzon, T=10 dagen Wordt neutronenster met R=10km Wat wordt Tneut Impulsmoment behoud: L=Iw=constant Ibol=2/5 MR2 2/5MsterR2ster wster= 2/5MneutR2neut wneut R2ster 2p/Tster= R2neut 2p/Tneut Tneut= R2neut /R2ster Tster=102/(7 105)2 10 24 3600 Tneut=0.17 ms of f = 6000 Hz

Speeltuinvoorbeeld: man (m) begint te lopen op ronde plaat (I) Geef relatie tussen vman en wplaat. Impulsbehoud Lplaat =-Lman I wplaat=mR2v/R=mvman R wplaat=mvman R/I

Erot= ½ I w2 Rotationele kinetische energie Ekin=1/2 mv2 K=  Ekin=(1/2 mi vi 2) K= ½  mi (w Ri) 2 K= ½  miRi2 w 2 Erot= ½ I w2

Erot= ½ I w2 Rotationele kinetische energie

Erot= ½ I w2 = ½ I w22- ½ I w12 Rotationele kinetische energie Arbeid – energie principe voor rotaties

½ mv2=½ I w22 ½ mauto v2=½ ( ½ mwiel R2) w2 w=160 rad/s Voorbeeld: Het vliegwiel Een vliegwiel is een ronddraaiende schijf die gebruikt wordt om energie in op te slaan, bv in auto. Stel ik heb een schijf met m=200 kg, R=30 cm. Hoe hard gaat die draaien als ik alle kinetische energie van een auto (m= 1200 kg, v=50 km/h) erin stop. ½ mv2=½ I w22 ½ mauto v2=½ ( ½ mwiel R2) w2 ½ 1200 (50/3.6)2 = ¼ 200 0.32w2 w=160 rad/s f=25 Hz

=½ I w2 ½ Mgl=½ 1/3 Ml2 w2 w =(3g/l)1/2 v=w l=(3gl)1/2 Voorbeeld: Wat is de snelheid van de top van een vallende stok in verticale positie =½ I w2 Wg=Mg ½ l I=1/3 Ml2 ½ Mgl=½ 1/3 Ml2 w2 w =(3g/l)1/2 v=w l=(3gl)1/2 Voor een “gewoon”vallende stok: ½ mv2=mgl Dus v=(2gl)1/2

Samengestelde bewegingen ECM= ½ mvCM2 Erot= ½ ICM w2 E=ECM + Erot

Waarom gaat de neus van een remmende auto omlaag?

translatie rotatie relatie x q x= qR v w v=wR a atan=aR arad = w2R m I I=R2dm F t tnet=Ia t=RF sinq p L L=Iw tnet=dL/dt Etrans Erot Erot=1/2 I w2 P P=tw