Metingen met spreiding Ik verricht N metingen meetresultaten: theorie: praktijk:

Het gemiddelde Hoe goed lijkt het gemiddelde van een meetserie op de werkelijke waarde? Van belang zijn: De spreiding in de metingen (hangt samen met de breedte van de p(x)-kromme) Het totaal aantal metingen N

Spreiding in meetwaarden Spreiding in meetwaarden rond : is onbekend Standaarddeviatie van de losse metingen

Herhaling van de meetserie

Herhaling van de meetserie Bij iedere nieuwe meetserie krijg je een nieuw (verschillend) gemiddelde Als de losse metingen Gaussisch verdeeld zijn, zijn de gemiddelden dat ook De verdeling van de gemiddelden is smaller dan die van de losse metingen

Verdeling van losse metingen en gemiddelden

Verdeling van losse metingen en gemiddelden theoretisch: praktijk:

Theorie vs. praktijk Kansdichtheid Histogram/(intervalbreedte * aantal metingen)

Theorie vs. praktijk gemiddelde: verwachtingswaarde: standaardafwijking:

Theorie vs. praktijk 68% kans ca. 68% van de metingen

Het middelen van meetresultaten kansverdeling voor losse metingen kansverdeling voor gemiddelden Het middelen van meetresultaten hangt niet af van het aantal metingen in de meetserie hangt wel af van het aantal metingen in de meetserie

Hoe hangt m af van het aantal metingen?

Onzekerheden  is de onzekerheid in een losse meting m is de onzekerheid in een gemiddelde wordt benaderd door wordt benaderd door

68%-intervallen  (S) is het 68%-onzekerheidsinterval in een losse meting  is meestal niet bekend S kun je alleen maar bepalen via een meetserie m (Sm) is het 68%-onzekerheidsinterval in het gemiddelde Sm kun je bepalen uit één meetserie

Een opgave (tentamen 2000) Een fabrikant maakt kogels voor kogellagers. Wanneer hij ze verkoopt, moet hij natuurlijk de diameter opgeven en de onzekerheid daarin. Hij heeft een partij waarvan bij meting blijkt dat de diameters een normale (Gaussische) verdeling hebben. Omdat hij 68%-betrouwbaarheid niet nauwkeurig genoeg vindt, geeft hij 95%-betrouwbaarheid op (2S-gebied). Om een waarde voor de diameter op te kunnen geven en de onzekerheid, meet hij 10 verschillende kogels zeer precies op. De resultaten van deze metingen zijn: 4.995 - 5.004 - 4.998 - 5.001 - 4.989 - 5.007 - 5.001 - 5.001 - 4.999 - 5.004 mm. De onzekerheden in deze individuele metingen zijn verwaarloosbaar. Welke waarde geeft hij op voor de diameter van de kogels en wat voor de onzekerheid in de diameter? Geef aan hoe deze waarden worden berekend (formules geven). Hint: de kogels worden los verkocht en iedere kogel moet voldoen aan de opgegeven specificaties.

Oplossing De onzekerheid in 1 kogel wordt gegeven door

Ingewikkelde manier : 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 5.004 4.999 5.001 5.007 4.989 4.998 4.995 0.0041 -0.0009 0.0011 0.0071 -0.0109 -0.0019 -0.0049 1.681 10-5 0.081 10-5 0.121 10-5 5.041 10-5 11.881 10-5 0.361 10-5 2.401 10-5 49.999 2.349 10-4

Conclusie diameter van de kogels:

Iets simpeler manier

Iets ‘simpeler’ manier , maar wel gevaarlijk 5.004 10 4.999 9 5.001 8 7 5.007 6 4.989 5 4 4.998 3 2 4.995 1 25.0400 24.9900 25.0100 25.0700 24.8901 24.9800 24.9500 25.04002 24.99000 25.01000 25.07005 24.89012 24.98000 24.95003 AFRONDINGSFOUTEN 49.999 249.99024 249.9901

Gebruik de toetsen en n-1 van je rekenmachine Simpelste methode Gebruik de toetsen en n-1 van je rekenmachine

Rekenregels voor 68%-intervallen Algemene rekenregel: gemeten zijn berekend wordt vraag: wat is ? antwoord:

Voorwaarden Onzekerheden moeten onafhankelijk zijn Onzekerheden moeten klein zijn

Speciale gevallen optellen van gemeten grootheden: aftrekken van gemeten grootheden: vermenigvuldigen van gemeten grootheden: delen van gemeten grootheden:

Allerlei onzekerheden is de onzekerheid in één losse meting is de onzekerheid in het gemiddelde is de onzekerheid in is de onzekerheid in

Waar is dat nou goed voor? afronding van meetresultaten Voorbeeld: gevonden wordt We ronden dit af naar 0.4. Bij wat voor meetserie is dat erg? Het is erg als de afrondingsfout

Een opgave (tentamen 2000) In sommige gevallen is een 68%-interval niet nauwkeurig genoeg. Er is immers nog steeds 32% kans dat de werkelijke waarde van de onderzochte grootheid buiten dit gebied ligt. Als alternatief wordt dan ook vaak twee maal de standaardafwijking van het gemiddelde (dus 2Sm) als onzekerheid opgegeven. Dit is dan het 95%-interval. Laat zien dat de algemene rekenregel voor deze 95%-intervallen gelijk is aan die voor 68%-intervallen.

Oplossing algemene rekenregel voor 68%-intervallen: invullen definieer 95%-intervallen:

Een opgave (hertentamen 1999) De grootte van een (onbekende) weerstand R wordt gemeten door er een spanning V over aan te leggen en de stroom I te meten. De aangelegde spanning V is 3 Volt en erg (oneindig) nauwkeurig bekend. De stroom I wordt 10 keer gemeten en er blijkt spreiding te zitten in de meetresultaten. Uit deze metingen wordt berekend . Hoeveel metingen moeten extra worden verricht om de weerstand met een relatieve nauwkeurigheid van 5% te kunnen bepalen? Merk op dat we hier 68%-intervallen hebben.

Oplossing R wordt berekend via omdat in V geen onzekerheid zit, wordt de onzekerheid SR in R gegeven door Deze relatieve onzekerheid moet 0.05 (=5%) worden, dus keer zo nauwkeurig . Er moeten dat 1.742=3.03 keer zoveel metingen worden verricht. Dus totaal 31 metingen nodig, dus nog 21 extra metingen.