1 Prof. Dr. Martine De Cock academiejaar Eenvoudige wiskundige uitdrukkingen

2 Overzicht Alfabet en syntax Substitutie Afleidingsregels Formeel redeneren Toekenningsopdracht

3 Alfabet A = V [ C 0 [ C 1 [ C 2 [ {(,)} veranderlijken V = {x,y,z} binaire operatoren C 2 = {+,.,=,<} unaire operatoren C 1 = {succ, iszero} constanten C 0 = {a,b,0,1,2,3,4,5}

4 Syntax vmet v in V c met c in C 0 (  e) met  in C 1 en e in E (d F e) met F in C 2, d in E en e in E 4 GEDAANTES E: verz. van alle uitdrukkingen

5 Reductie van haakjes - buitenste haakjes 'x + 1' - haakjes rond applicatie die argument is van een binaire operator met lagere prioriteit 'x+1 = succ x' - binaire operatoren zijn linksassociatief 'x + y + z'

6 Overzicht Alfabet en syntax Substitutie Afleidingsregels Formeel redeneren Toekenningsopdracht

7 Substitutie uitdrukking veranderlijke

8 Substitutie (vervolg) meervoudige substitutie hoogste prioriteit z + y [z,y := a,b] (z + y)[z,y := a,b] (x + y)[x,y := z ¢ a, y ¢ b] (x + y)[x,y = y,x] (x + y)[x := y][y := x]

9 Overzicht Alfabet en syntax Substitutie Afleidingsregels Formeel redeneren Toekenningsopdracht

10 Afleidingsregels Afleidingsregel 1: Symmetrie van gelijkheid voor e en e' in E Afleidingsregel 2: Transitiviteit van gelijkheid voor e, e' en e" in E

11 Afleidingsregels Afleidingsregel 3: Principe van Leibniz voor d, d', en e in E en v in V - gelijken vervangen door gelijken - verschil met substitutie

12 Overzicht Alfabet en syntax Substitutie Afleidingsregels Formeel redeneren Toekenningsopdracht

13 H ` q Zij H een collectie van formules. Formule q is een conclusie van H indien - ofwel: q behoort tot H - ofwel: en H ` t voor elke t in T T q

14 axioma, stelling We duiden enkele formules aan als axioma's b.v. 'x + y = y + x' ' x ¢ y = y ¢ x' ' succ x = x + 1' Een stelling is de conclusie van een afleiding waarbij de aannames axioma's zijn. een afleidingsregel is strikt indien alle premissen stellingen zijn

15 Instantiatie van een stelling Afleidingsregel 4: Instantiatie v.e. stelling voor elkestelling p lijst van veranderlijken v lijst van uitdrukkingen e p[v := e] is opnieuw een stelling

16 Calculationele stijl e = h p i e' consequent premisse

17 Overzicht Alfabet en syntax Substitutie Afleidingsregels Formeel redeneren Toekenningsopdracht

18 Toekenningsopdracht {iszero x} x := x + a {x = a} toestand: waarden van alle veranderlijken op een gegeven moment veranderlijke uitdrukking v := e Hoare-triplet preconditiepostconditie

19 Preconditie uit postconditie {d[v := e]} v := e {d}

20 Kennen en kunnen De volgende begrippen kunnen uitleggen: - afleidingsregel- stelling - afleiding- bewijs Het verband tussen substitutie en toekenningsopdracht kunnen uitleggen. Substitutie correct kunnen uitvoeren. Afleidingen in calculationele stijl kunnen geven voor uitdrukkingen, gebruik makend van de 4 geziene afleidingsregels. Voor een gegeven toekenningsopdracht en postconditie, de preconditie kunnen berekenen.